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想法

这个李群表示$Sp（n）。转速（1）$(Alekseevskii阿列克谢夫斯基68,灰色69)或者只是$Sp（n）Sp（1）$是商群的直接产品组给定的四元数酉群通过他们对角线的 中心 二阶循环群.

A类光滑歧管属于维 $4个$具有G型结构对于此组$G=Sp（n）。转速（1）$是一个四元数Kähler流形.

同样，对于$自旋（n_1）$,$自旋（n_2）$ 自旋群在某个维度中，表示的组$自旋（n_1）\cdot自旋（n_2）$或者只是$自旋（n_1）自旋（n_2）$是商群的直接产品组 $自旋（n_1）\次自旋（n_2）$由对角线的 中心 二阶循环群.

这些产品$G_1\cdot G_2$是以下示例集团的核心产品.

\换行符

定义

（例如。乔·阿德克·范日拉97，第2节)

类似的定义产生

(McInnes 99a，第9页,Hilgert-Neeb 12号提案。17.3.1)

有时人们会看到符号进一步推广，包括以下情况

• $自旋（n）\cdot U（1）\simeq自旋（n$ 旋转^c,

参见示例1如下所示。

\换行符

属性

作为的有效商$Sp（n）\乘以Sp（1）$作用于$\mathbb{H}^n$

这个直接产品组 $Sp（n）\乘以Sp（1）$有一个规范行动上四元数 向量空间 $\mathbb{H}^n$，其中因子转速（n）充当$n次n$ 四元数幺正 矩阵乘法从左侧，以及$转速（1）$行为依据对角线的 $1\乘以1$每个矩阵的作用$\mathbb{H}$-右边的summand。

例如$n=2个$此操作控制四元数Hopf纤维及其$Sp（2）$ 等方差（请参见那里).

但此操作不是有效的集体行动：精确对角线中心(1)行为琐碎。

然后有一个交换图属于李群

水平地图群同态到旋转（8）和SO（8）左态射分别是定义商投影与右态射双层盖板定义自旋群.

（例如。乔·阿德克·范日拉97，第4页)

提升至$Sp（n）\乘以Sp（1）$

(马奇亚法瓦·罗曼尼76,萨拉蒙82号，约Def.2.1)

(…)

\换行符

示例

$Sp（1）$是$SO（4）$

案例$Sp（n）\cdot Sp（1）$对于$n=1$是特殊的，如本例中的规范包含$Sp（n）\cdot Sp（1）\hookrightarrow SO（4n）$成为同构

使用特殊正交群 SO（4），因此兼容性图(2)现在在顶部展示异常同构 $Sp（1）\times Sp（一）\simeq$ 旋转（4）（请参见那里)

总之：

\换行符

$旋转（n）\cdot旋转（2）$是$旋转^c（n）$

（另请参见示例。Gompf 97，第2页)

试验

(Kollross 02，提案。3.3 (3))

类似地：

(乔·阿德克·范日拉97，第2节)

总之：

\开始{xymatrix}\mathrm{Sp}（1）{\cdot}\mathr m{Sp{dr]\ar@{{（}->}[ll]|-{\iota}\\mathrm{Sp}（2）{\cdot}\mathrm}Sp}|«»««©»»©««¨«{幻影{AA\top AA}}|»»）»>{\iota''}\&\mathrm{Sp}（1）{\cdot}\mathrm{Sp}（2）\ar@{{（}->}[ddrr]|-{\iota'}\\&&\mathrm{SO}（8）&\mathr m{SO{}（3）\times\mathrm}SO}ar@{{（}->}[ll]|-{\iota}\\&\mathrm{Sp}\结束{xymatrix}

$自旋（1）$

请参阅参考资料在下面.

（例如。Bettiol-Mendes 15，（3.1），（3.2），（3.3）)

旋毛虫属

我们有以下产品陪集空间属于自旋群通过上述Spin组的网络产品：

是的空间Cayley 4平面(Cayley 4型-校准子流形8d内欧几里德空间). 这碰巧也是同胚的就在平原上格拉斯曼学派7d内4个平面的Ornea-Piccini第00页，第1页).

同样，

是格拉斯曼的吗Cayley 4平面也是特殊拉格朗日子流形(BBMOOY 96，第7页（第8页，共17页）).

此外，

是格拉斯曼学派8d内3个平面。(Cadek-Vanzura 97，引理2.6).

\换行符

相关概念

旋转组在里面低的 尺寸:

Dynkin标签	sp.orth公司。组	自旋群	引脚组	半自旋群
	SO（2）	旋转（2）	销（2）
地下一层	SO（3）	旋转（3）	销（3）
D2类	SO（4）	旋转（4）	销（4）
地下二层	SO（5）	旋转（5）	销（5）
第3天	SO（6）	旋转（6）
地下三层	SO（7）	旋转（7）
第4章	SO（8）	旋转（8）		SO（8）
B4类	SO（9）	旋转（9）
第5天	SO（10）	旋转（10）
B5公司	SO（11）	旋转（11）
第6天	SO（12）	旋转（12）
	$\视频短片$	$\视频短片$
D8日	SO（16）	旋转（16）		半旋转（16）
	$\视频短片$	$\视频短片$
第16天	SO（32）	自旋（32）		半旋转（32）

另请参见

• 旋转（5）。旋转（3）

• 有限旋转群

• ADE分类

工具书类

$Sp（n）\cdot Sp（1）$

符号的早期出现$Sp（n）\cdot Sp（1）$主要是在讨论伯杰定理对于例外情况全能学:

• 艾尔弗雷德·格雷,关于完整群是Sp（n）子群的流形的注记$\cdot（光盘）$转速（1）密歇根州数学。J.第16卷第2期（1969年），125-128。

• 德米特里·阿列克谢夫斯基,具有例外全息群的黎曼空间，《功能分析及其应用》（1968）2:97。

然而，更早的论文：

• 约瑟夫·沃尔夫，复齐次接触流形与四元数对称空间《数学与力学杂志》，第14卷（1965年），第1033-1048页。

将此结构描述为“本地直接产品“第个，共个拓扑群并将其应用于四元数流形.经典论文中的符号博南对于此组是$V_{4n}[Sp（n）\otimes_\mathbf{H}Sp（1）]$.

早期代数感兴趣的是结构理论文章：

• 斯特凡诺·马奇亚法娃朱利亚诺·罗马尼，格鲁波南部分类$Sp（n）\cdot Sp（1）$，Annali di Matematica Pura ed Applicata 1976年12月，第110卷，第1期，第295–319页(doi:10.1007/BF02418010)

更多关于上同调属于$Sp（n）\cdot Sp（1）$及其分类空间:

• 斯特凡诺·马奇亚法娃（Stefano Marchiafava）、朱利亚诺·罗马尼（Giuliano Romani）、，Alcune ostervazioni sui sottogruppi abeliani del gruppo公司$Sp（n）\cdot Sp（1）$Annali di Matematica 1977年(doi:10.1007/BF02413792)

• 保罗·皮奇尼朱利亚诺·罗马尼，辛Pontrjagin类对具有结构群的向量丛的推广$Sp（n）\cdot Sp（1）$，Annali di Matematica pura ed applicata（1983）133:1(doi:10.1007/BF01766008)

• 保罗·皮奇尼,超Káhler流形和四元数Káhlor流形上的向量场和特征数林西国家学院。科学类Fische，Matematiche e Naturali。伦迪康蒂·林西。Matematica e Applicazioni（1992）第3卷，第4期，第295-298页(电话：244204)

• 德米特里·阿列克谢夫斯基S.Marchiafava，流形上的四元数结构和从属结构，Annali di Matematica pura ed applicata（1996）171:205(doi:10.1007/BF01759388)

关于提升至的讨论$Sp（n）\乘以Sp（1）$出现在中

• S.Marchiafava、G.Romani、，四元数广义结构，Ann.Mat.Pura应用。（四） CVII，131-157（1976）(doi:10.1007/BF02416470)

• 西蒙·萨拉蒙，约Def.2.1英寸四元数Kähler流形《发明数学》（1982）67:143。(doi:10.1007/BF01393378)

$Sp（2）\cdot Sp（1）$

专门针对集团的文章$Sp（2）\cdot Sp（1）$:

• 马丁·卡德克,吉·范日拉，第2节打开$Sp（2）$和$Sp（2）\cdot Sp（1）$-8维向量丛中的结构，《Matemàtiques出版物》第41卷第2期（1997年），第383-401页(jstor:43737249)

• 马丁·卡德克,吉·范日拉,八流形上的几乎四元数结构大阪J.数学。第35卷第1期（1998），165-190(欧几里得：1200787905)

• 安德烈亚斯·科尔洛斯（Andreas Kollross），道具。第3.3页，共页超极性和同质性一作用的分类，《美国数学学会汇刊》第354卷第2期（2002年2月），第571-612页(jstor:2693761)

另请参阅参考资料四元数Kähler流形.

$自旋（n_1）\cdot自旋（n_2）$

一般自旋群的点表示法，$自旋（n_1）\cdot自旋（n_2）$，出现在

• 约阿希姆·希尔格特，卡尔·赫尔曼·内布，道具。17.3.1李群的结构和几何《施普林格数学专著》，施普林格-弗拉格出版社，纽约，2012年(doi:10.1007/978-0-387-84794-8)

识别$\mathrm{<trans\; data-src="Spin">旋转</trans>}\stackrel{<trans\; data-src="\dot{}">\dot{}</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="Spin">旋转</trans>}}<trans\; data-src="\cdot ">\cdot </trans>\mathrm{<trans\; data-src="Spin">旋转</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>$旋转\点\cdot（光盘）旋转（2）具有旋转^c例如，出现在

• 罗伯特·贡普夫,$旋转^c$结构与同伦等价，几何。白杨。1 (1997) 41-50 (arXiv:math/9705218)

关于核心产品自旋群的讨论子组属于半自旋群（动机是对仪表组和Green-Schwarz异常消除属于杂色弦理论)在中

• 布雷特·麦克因斯，第9页，共页弦理论中的半自旋群，J.数学。物理学。40:4699-4712, 1999 (arXiv:hep-th/9906059)

• 布雷特·麦克因斯,规范旋量和弦对偶，编号。物理学。B577:439-4602000年(arXiv:hep th/9910100)

因此，这些也显示为U-对偶群和他们的子组，例如。

• 阿尔扬·凯伦特杰斯，第10页，共页U-对偶（子）群的拓扑，类。数量。重力。21 (2004) 1695-1708 (arXiv:hep-th/0309106)

$自旋（1）$

小组$自旋（4）{Z} _2$（示例2)主要在描述Cayley 4平面，请参阅那里:

• 吴昌祥，吴义祥，表A紧连通经典群的可微作用：Ⅱ《数学年鉴》第二辑，第92卷，第2期（1970年），第189-223页(jstor:1970834号)

• 瑞斯·哈维,H.布莱恩·劳森，定理1.38校准的几何图形《数学学报》。第148卷（1982），47-157(欧几里得：1485890157)

• 罗伯特·布赖恩特,瑞斯·哈维，（3.19）英寸超Kähler几何中的子流形《美国数学学会杂志》第2卷第1期（1989年1月），第1-31页(jstor:1990911)

• Herman Gluck、Dana Mackenzie、Frank Morgan，（5.20）英寸格拉斯曼流形中的体积最小化循环杜克大学数学系。J.卷79，第2期（1995），335-404(欧几里得：1077285156)

• Megan M.Kerr，引理6.2对称空间上的一些新的齐次Einstein度量《美国数学学会学报》，第348卷，第1期（1996年），第153-171页(jstor:2155169)

• 凯特琳·贝克尔,梅兰妮·贝克尔,大卫·莫里森,Hirosi Ooguri公司，Y.Oz，Z.Yin，（3.5）的例外完整流形和Calabi-Yau 4-折叠中的超对称循环，编号。物理学。B480:225-2381996年(arXiv:hep-th/9608116)

• 维克托·卡克A.V.Smilga，约1.10英寸具有任意规范群的超对称Yang-Mills理论中的真空结构，英寸超级世界的许多面孔第185-234页，《世界科学》（2000）(arXiv:hep-th/9902029,doi:10.1142/9789812793850_0014)

• 利维乌·奥尼亚，保罗·皮奇尼,与自旋相关的Cayley 4框架和四元数Kähler约化（7）2000年9月在毕尔巴鄂举行的纪念A.Gray的国际微分几何大会论文集(arXiv:math/0106116)

• 卡斯滕·格罗夫（Karsten Grove）、伯克哈德·威尔金（Burkhard Wilking）、沃尔夫冈·齐勒（Wolfgang Ziller），第30页，共页正弯曲余同质性一流形与3-佐佐克几何(arXiv:数学/0511464)

• Renato G.Bettiol、Ricardo A.E.Mendes、，具有强正曲率的旗流形，数学。Z.280（2015），编号3-4，1031-1046(arXiv:1412.0039)

• 毛里齐奥·帕顿（Maurizio Parton）、保罗·皮奇尼（Paolo Piccinni）、维克托·武列特斯库（Victor Vuletescu）、道具。2.2英寸八元几何中的Clifford系统(arXiv:1511.06239)

讨论$Sp（1）$在…的背景下超李代数和超信息对称位于：

• 彼得·弗伦德，第634页，共页世界拓扑和规范的内部对称性，程序。第19届国际高能物理会议，东京，1978年(塔尖：137780,pdf格式)

可能还有$\马特布{Z} _2$-商未明确表示：

• 彼得·戈达德（授权），彼得·弗伦德，K.T.Mahanthappa，第128页，共页超弦，北约ASI系列175，Springer 1988

• 细枝一郎、李桑民、李成杰、，Jaemo公园，第13张幻灯片，共张新的超变换Chern-Simons理论(pdf格式)