n实验室SU（2）（变更）

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上下文

群论

群论

经典群

有限群

分组方案

拓扑组

李群

Super-Lie组

较高级别的组

上同调与扩张

相关概念

谎言理论

∞-李理论(高等几何)

背景

平滑的结构

高等群胚

谎言理论

∞-李群胚

∞-李代数体

形式李群胚

上同调

同伦

相关主题

示例

∞\英菲-李群胚

∞\英菲-李群

∞\英菲-李代数体

∞\英菲-李代数

目录

定义

这个特殊幺正群 SU公司(n个)SU（n）对于n个=2n=2个.

提议

作为一个矩阵群 SU公司(2)SU（2）等效于一般线性群 德国劳埃德船级社(2,ℂ)GL（2，\mathbb{C}）在表格上

(u个 五 −五¯ u个¯)具有|u个| 2+|五| 2=1,\左(\阵列{u&v（&v）\\-\overline{v}和\overline{u}}\右侧）\;\;\;具有\;\;{\vert u\vert}^2+{\vertv\vert{^2=1\,,

哪里u个,五∈ℂu、 v\in\mathbb{C}是复数和(−)¯\上划线{（-）}表示复共轭.

属性

概述

提议

基础歧管属于SU公司(2)SU（2）是微分同胚到3-球 S公司 三序号^3.

提议

有同构属于李群

  1. 属于SU公司(2)SU（2）使用自旋群在里面维3和四元数幺正群一维

    SU公司(2)≃旋转(三)≃服务提供商(1)SU（2）\;\模拟\；旋转（3）\;\模拟\；转速（1）

  2. 的直接产品组属于SU公司(2)SU（2）自身，到旋转（4）

    SU公司(2)×SU公司(2)≃旋转(三)×旋转(三)≃旋转(4)SU（2）\乘以SU（1）\;\模拟\；旋转（3）\次旋转（3\;\模拟\；旋转（4）

    关于它的正则包含旋转(三)↪旋转(4)旋转（3）\hookrightarrow旋转（4）由对角线的地图。

请参阅自旋群–异常同构.

提议

这个最大环面属于SU公司(2)SU（2）是圆形群 U型(1)U（1）.在上面矩阵群表示，这自然与形式的矩阵子群相一致

(t吨 0 0 t吨 −1)具有t吨∈U型(1)↪ℂ.\左(\阵列{t&0（&0）\\0&t^{-1}}\右侧）\;\;具有t在U（1）\hookrightarrow\mathbb{C}中\,.

李代数

提议

这个李代数 𝔰𝔲(2)\mathfrak{su}（2）（另请参阅苏（2）)作为复杂的 矩阵李代数是这些形式矩阵上的子李代数

(我z（z） x个+我年 −x个+我年 −我z（z）)具有x个,年,z（z）∈ℝ.\左(\阵列{iz&x+i y\\-x+iy&-iz}\右侧）\;\;\; 具有\;\;x、 y，z\in\mathbb{R}\,.
定义

标准基础的元素𝔰𝔲(2)\mathfrak{su}（2）由上述演示给出的是

σ 1≔12(0 1 −1 0)\信号1\上校（coloneq）\裂缝{1}{2}\左(\阵列{0 & 1\\-1 & 0}\右侧）
σ 2≔12(0 我 我 0)\西格玛2\上校（coloneq）\裂缝{1}{2}\左(\阵列{0和i\\i&0}\右侧）
σ 三≔12(我 0 0 −我).\西格玛3\上校（coloneq）\裂缝{1}{2}\左(\阵列{i&0\\0和-i}\右侧）\,.

这些被称为泡利矩阵.

提议

这个泡利矩阵满足换向器 关系

[σ 1,σ 2]=σ 三[\sigma_1，\sigma_2]=\sigma_3
[σ 2,σ 三]=σ 1[\sigma_2，\sigma_3]=\sigma_1
[σ 三,σ 1]=σ 2.[\sigma_3，\sigma_1]=\sigma_2\,.

伴随轨道

提议

这个共伴轨道的共同点作用属于SU公司(2)SU（2）在𝔰𝔲(2)\mathfrak{su}（2）等价于上述矩阵的子集x个 2+年 2+z（z） 2=第页 2x^2+y^2+z^2=r^2对一些人来说第页≥0报告0.

这些是有规律的共伴轨道第页>0r\gt 0.

有限子群

这个SU（2）的有限子群有一个ADE分类。请参阅这个定理.

G公司G公司-结构和特殊几何形状

旋转（8）-子组和减少到特殊几何形状

减少从自旋群到最大 子组
自旋（7）-结构旋转（8）旋转（7）
G2-结构旋转（7）G2级
CY3结构旋转（6）SU（3）
SU（2）-结构旋转（5）SU（2）
广义的 减少从Narain群到直接产品组
广义自旋（7）结构旋转(8,8)自旋（8,8）旋转(7)×旋转(7)旋转（7）\次旋转（7
广义G2结构旋转(7,7)旋转（7,7）G公司 2×G公司 2G_2\乘以G_2
广义CY3旋转(6,6)旋转（6,6）SU公司(三)×SU公司(三)SU（3）\乘以SU（三）

另请参见：n-球面上的陪集空间结构

表象理论

记录线性的 表象理论属于SU（2）.

(…)

引理

我们有

∧ 24≃三⋅1⊕1⋅三∈反渗透(服务提供商(1))\楔形^2\mathbf{4}\;\模拟\；3\cdot\mathbf{1}\;\oplus\；1\cdot\mathbf{3}\;\;\;\在\；中；\mathrm{RO}（\mathrm{Sp}（1））
证明

考虑规范线性基础

(1)4≃⟨{q个 0,q个 1,q个 2,q个 三}⟩ ℝ\mathbf{4}\;\模拟\；\big\langle\{q_0，q_1，q_2，q_3\}\big\rangle_{mathbb{R}}

通过标准正交 四元数

q个 0,q个 1,q个 2,q个 三∈ℍq0，q1，q2，q3\;\在\；中；\mathbb{H}
q个 0=1, q个 我q个 我=−1=−q个 0对于我∈{1,2,三}, q个 σ(1)q个 σ(三)=sgn公司(σ)q个 σ(三),对于σ∈Sym公司(三)\开始{对齐}&q_0=1\，，\\&q_i q_i=-1=-q_0\；\；\文本{表示{1,2,3\}\中的}i\，，\\&q{\sigma（1）}q{\sigma（3）}=\mathrm{sgn}（\sigma）q{\sigma（3）{\,,\文本{for}\sigma\in\mathrm{Sym}（3）\结束{对齐}

在这个问题上行动通过Sp（1）

服务提供商(1)≃{q个∈ℍ|q个q个¯=1}\数学{Sp}（1）\;\模拟\；\{q\in\mathbb{H}\;\垂直\；q\bar q=1\}

在左边四元数 乘法.

然后考虑以下内容线性基础属于4∧4\mathbf{4}\楔形\mathbf}:

4∧4≃⟨{一 1 +:=q个 0∧q个 1+q个 2∧q个 三, 一 2 +:=q个 0∧q个 2+q个 三∧q个 1, 一 三 +:=q个 0∧q个 三+q个 1∧q个 2,一 1 −:=q个 0∧q个 1−q个 2∧q个 三, 一 2 −:=q个 0∧q个 2−q个 三∧q个 1, 一 三 −:=q个 0∧q个 三−q个 1∧q个 2}⟩\mathbf{4}\楔形\mathbf}\;\模拟\；\左侧语言\左\{\阵列{a_1^+:=q_0\楔形q_1+q_2\楔形q_3，\\a_2型^+:=q0\楔q_2+q_3\楔q_1，\\a_3型^+:=q_0\楔形q_3+q_1\楔形q_2，}\阵列{a_1^-:=q_0\楔q_1-q_2\楔q_3，\\a_2型^-:=q_0\楔q_2-q_3\楔q_1，\\a_3型^-:=q_0\楔形q_3-q_1\楔形q_2}\右\｝\右范围

具有诱导的𝔰𝔭(1)\mathfrak{sp}（1） 李代数作用由提供

q个 我⋅(q个 j个∧q个 k个)=(q个 我q个 j个)∧q个 k个+q个 j个∧(q个 我q个 k个).q_i\cdot（q_j\wedget q_k）\;=\;（q_i q_j）\楔形q_k+q_j\楔（q_i q_k）\,.

从这里我们发现

q个 1⋅一 1 ± =q个 1⋅(q个 0∧q个 1±q个 2∧q个 三) =(q个 1∧q个 1⏟=0+q个 0∧(−q个 0)⏟=0)±(q个 三∧q个 三⏟=0+q个 2∧(−q个 2)⏟=0) =0\开始{对齐}q_1\cdot a_1^{\pm}& = \;问题1\cdot（光盘）\大(q_0\楔块q_1\下午q_2\楔形q_3\大）\\& =\;\大(\低于{= 0}{\下撑杆{q_1\楔形q_1}}+\低于{= 0}{\下撑杆{q_0\楔形（-q_0）}}\大）\下午\大(\低于{= 0}{\下撑杆{q_3\楔形q_3}}+\低于{= 0}{\下撑杆{q_2 \楔形（-q_2）}}\大）\\& =\;0\结束{对齐}

和

q个 1⋅一 2 ± =q个 1⋅(q个 0∧q个 2±q个 三∧q个 1) =(q个 1∧q个 2⏟=q个 1∧q个 2+q个 0∧q个 三⏟=q个 0∧q个 三)±((−q个 2)∧q个 1⏟=q个 1∧q个 2+q个 三∧(−q个 0)⏟=q个 0∧q个 三) ={2一 三 + 0\开始{对齐}q_1\cdot a_2^{\pm}& =\;问题1\cdot（光盘）\大(q_0\楔形q_2\下午q_3\楔形q_1\大）\\& = \;\大(\低于{=q_1\楔q_2}{\下撑杆{q_1\楔形q_2}}+\低于{=q_0\楔形q_3}{\下撑杆{q_0\楔形q_3}}\大）\下午\大(\低于{=q_1\楔形q_2}{\下撑杆{（-q_2）\楔q_1}}+\低于{=q_0\楔形q_3}{\下撑杆{q_3\楔形（-q_0）}}\大）\\& =\;\左\{\开始{数组}{l}2 a_3^+\\0\结束{数组}\对。\结束{对齐}

和

q个 1⋅一 三 ± =q个 1⋅(q个 0∧q个 三±q个 1∧q个 2) =(q个 1∧q个 三⏟=−q个 三∧q个 1+q个 0∧(−q个 2)⏟=−q个 0∧q个 2)±((−q个 0)∧q个 2⏟=−q个 0∧q个 2+q个 1∧q个 三⏟=−q个 三∧q个 1) ={−2一 2 + 0.\开始{对齐}q_1\cdot a_3^{\pm}& =\;问题1\cdot（光盘）\大(q_0\楔形q_3\下午q_1\楔形q_2\大）\\& = \;\大(\低于{=-q_3\楔形q_1}{\下撑杆{q_1\楔形q_3}}+\低于{=-q_0\楔形q_2}{\下撑杆{q_0\楔（-q_2）}}\大）\下午\大(\低于{=-q_0\楔形q_2}{\下撑杆{（-q_0）\楔形q_2}}+\低于{=-q_3\楔形q_1}{\跑道不足{q_1\楔形q_3}}\大）\\& =\;\左\{\开始{数组}{l}-2 a_2^+\\0\结束{数组}\对。\结束{对齐}\,.

因为这里的一切都是不变量在下面循环置换在三个非零指数中，通常遵循以下原则

(12q个 我)⋅一 j个 +=∑k个ϵ 我j个k个一 k个 +,(12q个 我)⋅一 j个 −=0对所有人来说我,j个∈{1,2,三}（\tfrac｛1｝｛2｝q_i）\cdot a_j^+\；=\；\underset{k}{\sum}\epsilon{ijk}ak^+\,,\;\;（\tfrac{1}{2}q_i）\cdot a_j^-\；=\；0\;\;\文本{forall}i，j\in\{1,2,3\}

但这意味着

⟨{一 1 +,一 2 +,一 三 +}⟩≃三,aa公司⟨{一 我 −}⟩≃1∈反渗透(服务提供商(1)).\大范围\;\模拟\；\mathbf{3}\,,\幻影{aa}\大\langle\{a^-i\}\big\rangle\;\模拟\；\mathbf{1}\;\;\;\英寸\mathrm{RO}（\mathrm{Sp}（1））\,.

\换行符

引理

我们有

∧ 三4≃4∈反渗透(服务提供商(1)).\楔形^3\mathbf{4}\;\模拟\；\mathbf{4}\;\;\RO中（Sp（1））\,.
证明

考虑以下内容线性基础

∧ 三4≃ ℝ⟨{b条 0:=+q个 1∧q个 2∧q个 三 b条 1:=−q个 0∧q个 2∧q个 三 b条 2:=+q个 0∧q个 1∧q个 三 b条 三:=−q个 0∧q个 1∧q个 2}⟩.\楔形^3\mathbf{4}\;\simeq_{\mathbb{R}}\；\左侧语言\左\{\开始{数组}{l}b_0:=+q_1\楔形q_2\楔形q_3\\b_1:=-q_0\楔形q_2\楔形q_3\\b_2:=+q_0\楔q_1\楔q_3\\b_3:=-q_0\楔q_1\楔q_2\结束{数组}\右\｝\右范围\,.

我们声称，就这些基本要素和(1)这个同构由提供b条 0↦q个 0b_0\映射到q_0,b条 我↦q个 我b_i\mapsto q_i。随后进行直接检查。例如，对于李代数作用属于q个 1问题1我们发现：

q个 1⋅b条 0 =q个 1⋅(q个 1∧q个 2∧q个 三) =(−q个 0)∧q个 2∧q个 三⏟=b条 1+q个 1∧q个 三∧q个 三⏟=0+q个 1∧q个 2∧(−q个 2)⏟=0 =b条 1\开始{对齐}q_1\cdot b_0& \; = \;q_1\cdot（q_1\楔q_2\楔q_3）\\& \; = \;\低于{=b_1}{\下撑杆{（-q0）\楔形q2\楔形q3}}\;+\;\低于{= 0}{\下撑杆{q_1\楔形q_3\楔形q_3}}\;+\;\低于{= 0}{\下撑杆{q_1\楔形q_2\楔形（-q_2）}}\\&\;=\;b_1\结束{对齐}
q个 1⋅b条 1 =q个 1⋅(−q个 0∧q个 2∧q个 三) =−q个 1∧q个 2∧q个 三⏟b条 0−q个 0∧q个 三∧q个 三⏟=0−q个 0∧q个 2∧(−q个 2)⏟=0 =−b条 0\开始{对齐}q_1\cdot b_1& \;=\;q_1\cdot（-q0\楔q_2\楔q_3）\\& \;=\;-\低于{b_0（b_0）}{\下撑杆{q_1\楔形q_2\楔形q_3}}-\低于{= 0}{\下撑杆{q0\楔q3\楔q3}}-\低于{= 0}{\跑道不足{q_0\楔形q_2\楔形（-q_2）}}\\& \;=\;-b_0（b_0）\结束{对齐}
q个 1⋅b条 2 =q个 1⋅(q个 0∧q个 1∧q个 三) =q个 1∧q个 1∧(−q个 2)⏟=0+q个 0∧(−q个 0)∧q个 三⏟=0+q个 0∧q个 1∧(−q个 2)⏟=b条 三 =b条 三\开始{对齐}q_1\cdot b_2& \;=\;q_1\cdot（q_0\楔q_1\楔q_3）\\&\;=\;\低于{= 0}{\下撑杆{q_1 \楔形q_1\楔形（-q_2）}}+\低于{= 0}{\下撑杆{q_0\楔形（-q_0）\楔形q_3}}+\低于{=b_3}{\下撑杆{q_0\楔q_1\楔（-q_2）}}\\& \;=\;b_3\结束{对齐}
q个 1⋅b条 三 =q个 1⋅(−q个 0∧q个 1∧q个 2) =−q个 1∧q个 1∧q个 2⏟=0−q个 0∧(−q个 0)∧q个 2⏟=0−q个 0∧q个 1∧q个 三⏟=b条 2 =−b条 2\开始{对齐}q_1\cdot b_3& \;=\;q_1\cdot（-q_0\楔q_1\楔q_2）\\& \;=\;-\低于{= 0}{\下撑杆{q_1\楔形q_1\楔形q_2}}-\低于{= 0}{\下撑杆{q_0\楔形（-q_0）\楔形q_2}}-\低于{=b_2}{\下撑杆{q0\楔q_1\楔q_3}}\\& \;=\;-b2类\结束{对齐}

旋转组在里面低的 尺寸:

Dynkin标签sp.orth公司。组自旋群引脚组半自旋群
SO（2）旋转（2）销（2）
地下一层SO（3）旋转（3）销（3）
D2类SO（4）旋转（4）销（4）
地下二层SO（5）旋转（5）销（5）
第3天SO（6）旋转（6）
地下三层SO（7）旋转（7）
第4章SO（8）旋转（8）SO（8）
B4类SO（9）旋转（9）
第5天SO（10）旋转（10）
B5公司SO（11）旋转（11）
第6天SO（12）旋转（12）
⋮\视频短片⋮\视频短片
D8日SO（16）旋转（16）半旋转（16）
⋮\视频短片⋮\视频短片
第16天SO（32）自旋（32）半旋转（32）

另请参见

工具书类

  • 哈沃德·乔吉，§3英寸：粒子物理中的李代数，韦斯特维尤出版社（1999），CRC出版社（2019）[[doi:10.1201/9780429499210](https://doi.org/10.10201/9780429499210)]

    着眼于应用于标准模型第页，共页）粒子物理学

上共伴轨道属于SU公司(2)SU（2）:

另请参见

上次修订时间：2023年9月7日12:37:18。请参阅历史获取所有贡献的列表。

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