概述

超椭圆属$第页$-膜配分函数

解释椭圆属（尤其是威滕属)作为配分函数的二维超热场理论（或Landau-Ginzburg模型)–尤其是杂化串（“H-string”）或II型超弦 世界概况理论有前兆

• A.N.Schellekens公司,尼古拉斯·P·华纳,弦理论中的反常现象和模不变性，《物理快报》B 177（3-4），317-3231986(doi:10.1016/0370-2693（86）90760-4)

• A.N.Schellekens公司,尼古拉斯·P·华纳,异常、字符和字符串，核物理B卷2871987，第317-361页(doi:10.1016/0550-3213（87）90108-8)

• 沃尔夫冈·勒奇,本特·尼尔森,A.N.Schellekens公司,尼古拉斯·P·华纳,椭圆亏格的反常抵消项，核物理B卷299，第1期，1988年3月28日，第91-116页(doi:10.1016/0550-3213（88）90468-3)

然后严格来源于：

• 爱德华·维滕,椭圆属与量子场论，公共数学。物理学。第109卷，第4期（1987年），525-536。(欧几里德：cmp/1104117076)

• 爱德华·维滕,关于兰道-金兹堡描写$N=2$最小模型，国际期刊修订版。物理学。A9:4783-48001994年(arXiv:hep-th/9304026)

• Toshiya Kawai先生,山田康彦、宋基扬、，椭圆Genera和$N=2$超变换场理论，编号。物理学。B414:191-212，1994年(arXiv:hep-th/9306096,doi:10.1016/0550-3213（94）90428-6)

• Sujay K.Ashok、Jan Troost、，一个扭曲的非紧椭圆亏格，JHEP 1103:0672011年(arXiv：1101.1059)

• 马修·安多,埃里克·夏普,非平凡空间上Landau-Ginzburg模型的椭圆亏格高级Theor。数学。物理学。16 (2012) 1087-1144 (arXiv:0905.1285)

审查范围：

• 米兰达·程,弦论和月亮线中的（模拟）模数形式，2016年课堂讲稿(pdf格式)

• 凯特琳·温德兰，第2.4节：共形场理论快照，单位：量子场论的数学方面数学物理研究。斯普林格2015(arXiv公司：1404.3108,doi:10.1007/978-3-319-09949-14)

重点是球形的CFTs公司：

• Sujay K.Ashok，Jan Troost公司,非紧模型的Orbifold椭圆广义[arXiv:2405.08370]

配方

通过超顶点算子代数

配方通过超顶点算子代数:

• Hirotaka Tamanoi，椭圆广义与顶点算子超代数，Springer 1999年(doi:10.1007/BFb0092541)

• 董崇英，刘克峰马晓楠，椭圆亏格与顶点算子代数阿尔盖布。地理。白杨。1 (2001) 743-762 (arXiv:数学/0201135,doi:10.2140/agt.20011.743)

对于拓扑扭曲 二维（2,0）-超正规QFT（该异源字符串具有增强的超对称性）通过顶点算子代数的带在里面

• 张伯曼（Pokman Cheung）,Witten亏格与顶点代数(arXiv:0811.1418)

基于手征微分算子:

• 瓦西里·戈尔博诺夫,费奥多·马利科夫,瓦迪姆·谢赫特曼,手征微分算子的Gerbes，数学。Res.Lett公司。7(1), 55–66 (2000) (arXiv:math/9906117,arXiv:math/0003170,arXiv:math/0005201)

关于纠错代码：

• 川端康成、川端新一郎、，经典纠错码的椭圆属 $[$arXiv:2308.12592$]$

通过自由循环空间上的Dirac-Ramond算子

暂定解释为指数属于Dirac-Ramond运算符像预期的那样光滑环空间上的Dirac算子:

• 爱德华·维滕,循环空间中Dirac算子的指数，单位：代数拓扑中的椭圆曲线和模形式，数学课堂笔记1326，施普林格（1988）161-181[[doi:10.1007/BFb0078045](https://doi.org/10.1007/BFb0078045),尖顶]

  源自：

  爱德华·维滕，第92-94页，英寸：弦理论中的全局异常，in：W.Bardeen和A.White（编辑）异常、几何、拓扑专题讨论会，《世界科学》（1985）61-99[pdf格式，塔尖：214913]

• 奥兰多·阿尔瓦雷斯，T.P.Killingback，米开朗基罗·曼加诺，保罗·文代,弦理论中的Dirac-Ramond算子和循环空间指数定理，核物理。B程序。补充，1A:189–2151987，in：场论中的非微扰方法, 1987 (doi“10.1016/0920-5632（87）90110-1)

• 奥兰多·阿尔瓦雷斯、T.P.Killingback、Michelangelo Mangano、，保罗·文代,弦论和循环空间索引定理，公共数学。物理。，111(1):1–10, 1987 (欧几里德：cmp/1104159462)

• 格雷戈里·兰德韦伯,循环空间上的Dirac算子，博士论文（哈佛1999）(pdf格式)

• 奥兰多·阿尔瓦雷斯,保罗·文代,Dirac-Ramond算子族的分析指数，程序。国家。阿卡德。科学。美国，107（11）：4845–4850，2010(arXiv:0904.4748)

通过共形网

暂定配方通过共形网:

• 克里斯·道格拉斯,安德烈·恩里克,拓扑模形式和共形网，英寸希沙姆·萨蒂,Urs Schreiber公司（编辑），量子场和微扰弦理论的数学基础《纯粹数学研讨会论文集》，AMS（2011）(arXiv:1103.4187,doi:10.1090/pspum/083)

tmf-上同调的猜想解释

由此产生的建议大致上是变形类(协调类）的二维SCFT具有目标空间 $X（X）$是广义上同调属于$X（X）$具有系数在中光谱属于拓扑模形式(tmf（tmf）):

• 斯蒂芬·斯托尔茨,彼得·泰克纳,超对称场理论与广义上同调，英寸希沙姆·萨蒂,Urs Schreiber公司（编辑），量子场论和弦论的数学基础《纯粹数学研讨会论文集》，第83卷，AMS 2011(arXiv:1108.0189)

以及更明确的建议，即在这种识别下Chern-Dold角色从tmf（tmf）到模块化形式，发送一个二维SCFT至其配分函数/椭圆属/超对称指数：

• 大卫·盖奥托,西奥·约翰逊-弗雷德，第5节：小指数全纯SCFT，《加拿大数学杂志》(arXiv:1811.00589,doi:10.4153/S0008414X2100002X)

这个观点也在Gukov、Pei、Putrov和Vafa 18岁.

讨论二维SCFT（即超对称 SU（2）-WZW-型号)在这种推测的认同下，推测地对应于$\mathbb{Z}/24$ $\西马克$ $tmf^{-3}（\ast）=\pi3（tmf）$ $\西马克$ $\pi_3（\mathbb｛S｝）$（该球面的第三稳定同伦群):

• 大卫·盖奥托,西奥·约翰逊-弗雷德,爱德华·维滕，第17页，共页：关于一些二维极小超对称模型的注记, (arXiv公司：1902.10249)在S.Novikov等人。可积性、量子化和几何：II。量子理论与代数几何，程序。纯数学专题讨论会。，103(2), 2021 (国际标准图书编号：978-1-4704-5592-7)

• 大卫·盖奥托,西奥·约翰逊-弗雷德,模模性与次椭圆亏格(arXiv公司：1904.05788)

• 西奥·约翰逊-弗雷德,拓扑Mathieu Moonshine(arXiv:2006.02922年)

通过适当讨论（2,1）维欧氏场论:

• 丹尼尔·贝威克·埃文斯,场理论如何检测拓扑模形式的扭转？ $[$arXiv公司：2303.09138$]$

• 丹尼尔·贝威克·埃文斯,场理论如何检测拓扑模形式的扭转？，在QFT与合作主义,CQTS公司（2023年3月）$[$网状物，视频：年初至今$]$

另请参阅：

• 林英勋，杜培,全纯CFT与拓扑模形式[[arXiv:2112.10724](https://arxiv.org/abs/2112.10724)]

• Jan Albert、Justin Kaidi、Ying-Hsuan Lin、，超级月亮的拓扑模块性 $[$arXiv公司：2210.14923$]$

• 立川裕二,山下美子,Kazuya Yonekura公司,关于mod-2椭圆亏格的注记 $[$arXiv:2302.07548$]$

• Yuji Tachikawa先生张浩，在上$\马特布{Z} 3个$-10d杂波弦理论中的有值离散拓扑项[arXiv:2403.08861]

• 西奥·约翰逊-弗雷德,山下美子,关于谱SQFT的576倍周期性：利用Anderson对偶对证明下限[arXiv公司：2404.06333]

• Vivek Saxena，非超对称异质串的T-对偶性及其拓扑模形式的含义[arXiv:2405.19409]

弦论中的发生

H弦椭圆亏格

关于椭圆亏格的进一步讨论杂化串成为威滕属:

解释等变椭圆属作为配分函数属于参数化WZW模型在里面杂色弦理论:

• 雅克·迪斯特勒,埃里克·夏普，第8.5节一般群和一般层的具有主丛的杂优紧化高级Theor。数学。物理学。14:335-398, 2010 (arXiv:hep-th/0701244)

• 马修·安藤,等变椭圆上同调与Distler和Sharpe的光纤WZW模型,2007年谈话(课堂讲稿pdf)

关于提升威滕属到拓扑模形式:

• Yuji Tachikawa先生,拓扑模的形式和不存在一个异源全局异常，《理论与实验物理学进展》，20224（2022）04A107$[$arXiv公司：2103.12211,doi:10.1093/ptep/ptab060$]$

• Yuji Tachikawa先生,山下美子,拓扑模形式和所有杂合全局异常的缺失，公共数学。物理学。402(2023) 1585-1620$[$arXiv:2108.13542,doi:10.1007/s00220-023-04761-2$]$

• Yuji Tachikawa先生,山下美子,拓扑模形式的Anderson自对偶性及其微分几何表现和顶点算子代数 $[$arXiv:2305.06196$]$

M5-平面椭圆亏格

上M5-平面椭圆亏格:

A类二维SCFT争辩着描述KK压缩的M5-起重机在上4-歧管（具体而言：a复杂曲面)起源于

• 胡安·马尔达西那,安地·斯特罗明格,爱德华·维滕,M理论中的黑洞熵，JHEP 9712:0021997年(arXiv:hep-th/9711053)

讨论结果椭圆属(二维SCFT 配分函数)来源于：

• 大卫·盖奥托,安地·斯特罗明格,西阴,M5-布朗椭圆属：模块性和BPS状态，JHEP 0708:0702007年(2010年7月6日)

• 大卫·盖奥托,西阴,M5 Brane椭圆Genera的例子，JHEP 0711:0042007(arXiv:hep-th/0702012)

进一步讨论：

• 穆拉德·阿利姆，巴巴克·哈希亚特迈克尔·赫赫特，阿尔布雷希特·克莱姆马可·劳赫、托马斯·沃奇克、，多重M5骨架的跨壁全纯异常和模拟模块性，公共数学。物理学。339(2015) 773–814$[$arXiv:1012.1608,doi:10.1007/s00220-015-2436-3$]$

• 谢尔盖·古科夫,杜培,帕维尔·普特罗夫,瓦法,4-流形和拓扑模形式，J.高能物理。202184 (2021)$[$arXiv公司：1811.07884,doi:10.1007/JHEP05（2021）084,塔尖：1704312$]$

M串椭圆亏格

上椭圆属属于M字符串里面M5-起重机:

• 斯特凡·霍恩格尔,阿默尔·伊克巴尔,M字符串、椭圆泛型和$\数学{N}=4$字符串振幅《物理学报》第62卷第3期(arXiv:1310.1325)

• 斯特凡·霍恩格尔,阿默尔·伊克巴尔、Soo-Jong Rey、，M串、单极串和模形式，物理。版本D 92，066005（2015）(arXiv公司：1503.06983)

• M.Nouman Muteeb先生，畴壁和M2-平面配分函数：M理论和ABJM理论(arXiv:2010.04233号)

• Kimyeong Lee、Kaiwen Sun、Xin Wang、，扭曲椭圆Genera[[arXiv:2212.07341](https://arxiv.org/abs/2212.07341)]

E弦椭圆属

上椭圆属属于E字符串作为包裹 M5-起重机:

• J.A.Minahan、D.Nemeschansky、，瓦法，N.P.Warner，电子串和$N=4$拓扑Yang-Mills理论，编号。物理学。B527（1998）581-623(arXiv:hep-th/9802168)

• 蔡文和、黄敏欣、孙凯文、，关于三个E弦和杂弦的椭圆亏格，J.高能物理。2015, 79 (2015). (arXiv:1411.2801,doi:10.1007/JHEP01（2015）079)

上椭圆属属于E字符串作为M2-起重机 结束于 M5-起重机:

• Joonho Kim、Seok Kim和Kimyeong Lee，Jaemo公园,瓦法,E字符串的椭圆亏格，JHEP 1709（2017）098(arXiv:1411.2324号)