此条目是关于某种形式化的方法高等几何。有关变体和更多背景信息，请参阅。

目录

想法和动机

对于$T型$一劳弗尔理论，的几何学建模于$T型$编码在层拓扑关于形式二元论T-代数s.例如$T型=$ 卡特斯普我们有$T型$-代数是光滑代数s和在其上建模的几何体是综合微分几何.

此语句概括为（∞，1）范畴理论：用于$T型$一个（∞，1）-代数理论和$C\子集T Alg^{op}$一（∞，1）-位置形式对偶的$\英菲$-上的代数$T型$，其中一个说（∞，1）-拓扑 $\mathbf{H}=\infty Sh（C）$结束$C类$编码衍生几何图形建模于$T型$.的对象$\矩阵{H}$也被称为派生堆栈秒在$C类$.

这里的“衍生”一词意在与∞-堆栈只在一个1类网站上。即使$T型$恰好是一个普通的Lawvere理论，被认为是1-截断的 $（\infty，1）$-理论$\英菲$-地形$算法^{op}$行为与刚才大不相同$算法^{op}$.

一个物体$X（X）$在派生几何体中∞-广群内部对称以及$\英菲$-函数代数:

1. 从一堆地形穿过场地到$\英菲$-堆在那个场地上上极限秒举止得体上同调例如，单数商成为球形的.

2. 通过使站点成为真正的导出几何图形$（\infty，1）$-类别制造商限制秒在上同调中表现良好。例如，非-横向的 光滑歧管当将其视为导出光滑流形第条。

非传递性示例的中心类拉回导出几何图形中的是导出循环空间物体。对于$X\在T算法^{op}中$一个普通的空间，它自由循环空间对象在未成年人中计算$\英菲$-地形覆盖$算法^{op}$存在，但只是与$X（X）$，因为$X（X）$为0-截断的在那里。但自由循环空间对象$\马查尔{五十} X（X）$属于$X（X）$在中计算$\英菲$-地形覆盖$算法^{op}$可能很富有：它$\英菲$-函数代数是Hochschild同源属于$X（X）$。此外，上的函数$\马查尔{五十} X（X）$在正则内点下是不变的圆圈-行动是关闭 卡勒差速器上的表单$X（X）$.

派生空间的示例早就作为配置空间出现在规范理论。什么叫做BV-BRST复合体规范理论的函数代数无穷小内部对称为规范变换s和其函数复合体提供分辨率物理运动方程解的轨迹。

最近，衍生几何的动机大多来自于对Goerss-Hopkins-Miller定理表明存在导出椭圆曲线的导出模空间，它携带结构∞层属于E-∞-环，以及全局部分其中的s表示环形谱的广义上同调理论打电话tmf（tmf）.

计划

粗略的计划是

1. 谈谈以下章节中的一些相关剩余主题高等地形理论，继续我们离开的地方最后一次?;

2. 然后讨论$\英菲$-导出几何图形的位置；

3. 最后看看派生光滑差速器几何图形。

以下是详细会谈时间表的开始。前几次会谈现在已经确定，以后的会谈将随着我们的进展而确定。

$\英菲$-来自的站点$\英菲$-代数理论

• 2010年10月15日

  代数理论/劳弗尔理论

  这个理论属于组s中，戒指s中，$k个$-代数s中，C-∞-环s等是以下示例代数理论.比尔·劳弗尔众所周知，这些理论是按类别编码的$T型$对于乘积，其所有对象都是生成对象的笛卡尔幂$x个$一个人说到劳弗尔理论.一个代数 $A类$Lawvere理论被认为是一个产品-保存的共同前提

  $$A:T\设置\,.$$

  这里是值$A（x）$用代数的基本集和任何态射来标识$f:x^n\到x$在里面$T型$态射$A（f）：A（x^n）\simeq A（x）^n至A（x$是一个$n个$-代数中的进位运算。的功能性$A类$编码所有这些操作的兼容性，例如关联性。

  带余预升的代数的识别产生了伊斯贝尔对偶，这自然会识别相反的情况$算法^{op}$属于所有类别$T型$-具有一类测试空间的代数：层拓扑 $第（C）页$关于一个小的完整子范畴$C\hookrightarrow T算法^{op}$是几何体所在的上下文$T型$发生。对于$T型=$ 卡特斯普理论光滑代数s、 这是综合微分几何.

• 2010年10月22日

  （∞，1）-代数理论

  有一个$\英菲$-概念的范畴化劳弗尔理论和Lawvere理论上的代数对此的一般抽象讨论隐藏在高等地形理论.

  这个想法很明显：我们说

  • 一个$（\infty，1）$-代数理论是一个（∞，1）-范畴 $T型$具有（∞，1）-乘积第条。

  • 一个$（\infty，1）$-代数结束$T型$是一个（∞，1）-函子 $A:T\至$ ∞Grpd保存这些产品；

  • 这个$（\infty，1）$-所有类别$T型$-代数是完整的子（∞，1）范畴 $\infty T Alg\hookrightarrow\infty函数（T，infty Grpd）$的（∞，1）-共树的（∞、1）-范畴关于那些保存乘积的函子。

• 2010年12月17日

  E-∞代数的（2,1）-代数理论

  一个重要的例子（∞，1）-代数理论超越普通1-代数理论是（2,1）-类别属于跨度第个，共个有限集合s.其代数结果是E-∞代数第条。

  这是由于

  • 詹姆斯·克兰奇,代数理论和$（\infty，1）$-类别(arXiv公司)

接下来，为了处理$\infty T Alg公司$并将其与其他已知结构进行比较目前用a表示模型类别这是下一部分的主题。

的模型$\英菲$-普通代数理论上的代数

• 2010年10月29日

  同伦T-代数秒

  我们从简单预升模型结构每个（∞，1）-函子 $A:T\ to \ infty集团$由严格函子建模$T\至$ sSet（设置）.A型同伦$T型$-代数是这样一个函子，它将乘积保持到弱等价吗$n\in\mathbb{n}$正则态射

  $$\prod_{i=1}^n A（p_i）：A（x^n）\到（A（x））^n$$

  是一个弱等价性.

  这种同伦有一个模型结构$T型$-代数，由左给出Bousfield本地化射影的简单预升模型结构在形态上$\连杆_ F_T（1）至F_T$，其中$F_T（n）$是免费的吗$T型$-上的代数$n个$发电机。

  但事实证明，我们可以进一步限制这一点：单纯形T-代数是严格函子$T\设置$这也保持了所有产品的同构性。有一个单形T-代数的模型结构回到奎伦，在那里弱等价物和fibrations是单形集的对象等价物。

  还有一个奎伦等效同伦的这些模型结构之间$T型$-代数与单形$T型$-代数。

  这种Quillen等价物在

  • 伯纳德·巴齐奥赫,同伦理论中的代数理论数学年鉴，155（2002），895-913(JSTOR公司)

  严格单形代数模型的结果$\英菲$-$T型$-代数也在

  • 朱莉·伯格纳,多分类理论上代数的刚性化《代数和几何拓扑》，2007年7月。

• 2010年11月5日、19日

  单体Dold-Kan对应和dg-代数的模型结构

  我们已经看到单形T-代数的模型结构模型$\英菲$-T-代数。什么时候？$T型$是一个阿贝尔的Lawvere理论$T型$-代数有一个基础阿贝尔群，考虑归一化链复合体简单的$T型$-代数：配备杯形产品这是一个dg-代数（非负度）。

  有一个标准dg-代数的模型结构这在很多文学作品中都很流行。例如，在其双重形式中，这是传统上用于有理同伦理论.

  这个单体Dold-Kan对应声称至少对于$T型$一个普通交换代数的理论，有一个奎伦等效

  $$T Alg_{proj}^{\Delta^{op}}\simeq dgAlg^+_{proj}$$

  单形代数上的模型结构与链dg-代数上的非负度模型结构之间的关系。这是对标准的一元改进Dold-Kan通信确定单纯阿贝尔群s与链式复合体e.证据基于关于单体Quillen附加第条。

  这意味着dg-代数是（某些）的另一个等价模型$\英菲$-代数。在应用中，沿着这种等价关系来回传递是很方便的：单纯形代数更直接地连接到抽象理论，但dg-代数可用的定理和技术工具集要大得多，而且通常更容易处理。

• 2010年11月12日

  操作数上代数的模型结构

  代数理论也可以由操作人员s.相应地$\英菲$-代数可以被视为（∞，1）-运算域上的∞-代数。还有一个模型类别-可用于呈现以下内容的结构：操作数上代数的模型结构.

  许多经典的例子$\英菲$-代数由此捕获，例如A-∞代数秒/A-∞空间s中，E-∞代数s中，L-∞代数第条。

衍生几何体$\inft-C^\信息$-环

• 2010年11月27日至12月3日

  导出循环空间秒

  类比如何大量的现象学堆栈s已经由弱商 $*//G公司$我们已经发现，导出几何的许多现象学已经被自由循环空间对象秒$\马查尔{五十} X（X）$派生空间的$X（X）$：（∞，1）-回撤对角线的$X（X）$沿着它本身

  $$\马查尔{五十} X（X）：=X\times_{X\times X}X\,.$$

  什么时候？$X（X）$是包含中的普通对象$（\infty，1）Sh（T Alg^{op}）\hookrightarrow（\inft，1）Sh（T Alg_\infty^{op{）$一个电话$\马查尔{L} X$为了强调导出循环空间属于$X（X）$.

  由于这种拉回最大程度上是非横向的，因此导出的自由循环空间与在$（\infty，1）Sh（T Alg^{op}）$。特别是当$X（X）$是0-截断的（仅仅是一个平面空间，没有群向形态，没有导出的解析）它的欠活循环空间对象只是$X（X）$本身，因此无趣，而其派生循环空间非常丰富：

  人们发现函数代数 $\马查尔{五十} X（X）$是计算Hochschild同源函数代数的$X（X）$:

  $$C（\mathcal{五十} X（X）)\simeq\mathbf{HH}_\项目符号（C（X））\,.$$

  在某种程度上，这只是Hochschild同源性的重言式对偶重新表述为$（\infty，1）$-分类的(派生的)张量积

  $$\马特布夫｛小时｝_\项目符号（A）：=A\otimes_{A\otIMesA}A\,.$$

  但也有一些值得注意的微妙之处。例如，在传统文献中，导出的张量积是在模的上下文中，而不是在代数的上下文中。但可以看出，在同伦模型结构中形成了fibrant替换$T型$-代数将$\英菲$-霍奇希尔德复合体的代数结构。

  导出的循环空间和Hochschild同调之间的这种关系是非常有成果的。它对Hochschild上同调中的许多结构给出了透明的概念解释，并使所有这些标准理论适用于导出几何的研究。

• 2010年12月10日至19日

  导出光滑流形秒

  对光滑微分几何标准模型进行编码的Lawvere理论(综合微分几何)是类别卡特斯普属于笛卡尔空间s和平滑函数在他们之间。它的代数是光滑代数秒/$抄送$-戒指。因此，它$\英菲$-代数用单纯形建模$抄送$-戒指。

  空间在如此平滑中局部环形$\英菲$-代数被称为导出的光滑流形.

示例

• 导出微分几何

工具书类

导出几何的系统描述模型类别-理论工具最早出现于

• 贝特朗·托恩,加布里埃尔·维佐西,

  • 同伦代数几何Ⅰ：拓扑理论(arXiv公司)

  • 同伦代数几何Ⅱ：几何堆栈及其应用(arXiv公司)

这概括了Brown-Jardine-Joyal-简单预升模型结构到富集预升的模型结构超过s现场.

关于导出几何场景的精确集合的一般抽象建议（∞，1）范畴理论-条款是

• 雅各布·卢里,结构化空间

这一点的要点是对所有集合中的特殊驯服对象进行形式化和标识派生堆栈s、 即导出的方案s和结构化（∞，1）-拓扑锿。

的相关性导出循环空间派生词中的s在一系列文章中显著扩增大卫·本·兹维和大卫·纳德勒,

• 大卫·本·兹维,大卫·纳德勒,

  • 循环空间和Langlands参数(arXiv:0706.0322)

  • 派生代数几何中的积分变换和Drinfeld中心(arXiv:0805.0157)

  • 循环空间和连接(arXiv:1002.3636号)

    本文使用了托恩的理论∞堆栈上的函数代数用于显示派生循环空间上的函数复数$\马查尔{五十} X（X）$在温和条件下Hochschild同源复合体$X（X）$因此由Hochschild-Kostant-Rosenberg定理收藏卡勒差速器上的表单$X（X）$和上的函数$\马查尔{五十} X（X）$在规范下是不变的$S ^1$-行动在$\马查尔{五十} X（X）$是关闭形式。这也给出了旧观测结果的几何解释马克西姆·孔采维奇以及其他，德拉姆复合体上的微分和分级可以理解为由奇数行.

  • 循环空间和表示(arXiv:1004.5120)

导出几何在构造tmf（tmf）如所述

• 雅各布·卢里,椭圆上同调综述

文章

• 大卫·斯皮瓦克,导出的光滑流形(arXiv公司：0810.5174)

讨论了$\英菲$-的版本C-oo-圈–Lawvere理论上的代数卡特斯普–和相应的局部环形空间：导出光滑流形第条。

以上部分材料摘自研讨会笔记

• Urs Schreiber公司,导出微分几何讨论会(2010)

调查背景BV形式主义:

• 路易吉·阿方西，§5英寸：物理学中的高等几何，单位：数学物理百科全书第2版爱思唯尔（2024）[arXiv:2312.07308号]