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想法

Currying是一个将两个变量上的操作转换为一个变量上操作的过程，该操作返回以第二个变量为参数的函数。该术语用于计算机科学和λ演算在这种情况下，一次只对一个变量进行操作在技术上通常很重要。但是范畴理论也将其视为自然同构在一个闭单体范畴，即普遍性的指数对象; 因此，它也被称为指数转置.

这个反向操作是，以简单的方式计算机科学，已调用解开褶皱.

Currying以以下名称命名哈斯凯尔·加里，根据斯蒂格勒同名律，因为它是由发明的莫西·施芬克尔（Moses Schönfinkel）（也许Curry帮助推广了lambda微积分的应用？）

定义

In-set理论

在集合论，currying转换功能在上定义产品集函数中的值功能集也就是说，从

我们咖喱 $（f）$生产

根据公式

这只是应用功能集 $Z^Y轴$.

依赖型理论

在依赖型理论，currying转换在依赖对类型到一系列元素，这些元素在相关函数类型也就是说，从

我们咖喱 $（f）$生产

根据公式

这只是应用依赖函数类型 $\prod_{y:y（x）}Z（x，y）$.

在lambda微积分和CCC中

类似地，在λ演算，currying是一种将多个参数中函数的研究简化为一个参数中的函数的方法。例如，如果$\φ$是lambda项，其中的变量$x个$和$年$自由发生（以便$\φ$实际上是的“功能”$x个$和$年$)，lambda演算语法支持currified表达式$\λx.λy.φ$，表示直观的表达$x\mapsto（y\mapsto\phi）$一次提取一个变量。

后来（由Lawvere）观察到，这只是一个更普遍的“curryfication”的特例笛卡尔闭范畴（例如猫或不错的空间类别)，其中有一个自然的语素双射：

实际上，笛卡尔闭范畴是lambda演算的模型。

一般来说

事实上，咖喱可以用任何（右）闭单体范畴。在这种情况下，currying转换态射谁的来源是一个张量积到一个态射目标是一个内部hom也就是说，从

我们咖喱 $（f）$生产

咖喱在$十、 Y、Z$; 也就是说，$f\mapsto\hat{f}$是一个自然同构（在任何封闭的单体类中）。

当前使用哪个变量？

按照惯例，咖喱总是在最后的变量。这很好地符合了这样一个惯例，即产品在左侧关联，而内部homs在右侧关联。更明确地说，如果我们使用“$\次$'对于产品（即使它不是笛卡尔）和'$到$'表示内部hom（因此我们必须使用另一个符号，例如'$\vdash公司$'，对于外部hom），那么我们不需要括号来概括currying

生产

通过咖喱几个$n-1个$一次又一次，我们转身

进入之内

这并不能概括为$n=0$，这是一种方法，可以看出即使是非类型化的lambda演算也实际上有两个对象，其中一个是终端对象 $1$其中一个可以发挥其他作用。

在一个封闭的编织单体类（例如关闭对称单体范畴，并包括笛卡尔闭合范畴，如$设置$以及lambda微积分的模型），我们还可以“curry through the first variable”或“co-curry”来生成映射

但计算机科学家（甚至是非常谨慎的数学家）会将此视为一种复合运算，其第一步是作文使用编织 $Y次X次X次Y次$.

在左闭单体范畴中，咖喱不存在，但协同咖喱存在。也许这个产品应该在右边的左闭单体类别中关联？

另请参阅

• 笛卡尔积,功能集
• 编入索引的不相交联合，已编制索引笛卡尔积
• 成对类型,函数类型
• 依赖对类型,相关函数类型
• 产品,指数对象
• 相依和,从属产品

参考文献

为了讨好依赖型理论，请参阅

• 第1.2和1.4节同伦类型理论：数学的单叶基础、单价基础项目高级研究所，2013年。(网状物,pdf格式)

• 埃格伯特·里杰克，第4.6节同伦类型理论简介《剑桥高等数学研究》，剑桥大学出版社(arXiv:2212.11082)