证明

一方面，如果$第页^*$是完全忠诚的，那么议会$p_！p^*\至\Id$是同构的，所以我们有$p！（*）\cong p_！（p^*（*））\cong*$; 因此$p_！$保留终端对象。

另一方面，假设$p_！$保留终端对象。为了简单起见，假设$F=设置$.然后是任何设置$A类$是副产物 $\连杆_A*$属于$A类$终端对象的副本。但是$第页^*$和$p_！$两者都保留了副产品（因为它们是左伴随）和终端对象（因为$第页^*$是精确的，根据假设$p_！$)，所以我们有

因此$p_！p^*\至\Id$是同构的，所以$第页^*$是完全忠实的。

什么时候？$F类$不是$设置$，我们只需用“$F类$-索引副积”，关于$E类$和$F类$作为$F类$-索引类别.

（这是中的C3.3.3大象.)

证明

如中所述本地连接站点，何时$C类$是局部连通的，左边的伴随$\Pi_0\冒号Sh（C）\设置$只需取结肠炎结束$C^{op}$现在由co-Yoneda引理，的上极限超过任何代表性预处理是一个单子（即中的终端对象设置):

但如果$C类$有一个终端对象，那么该终端对象表示终端预剪切，它也是终端预剪切。因此，在这些条件下，$\圆周率_0$保留终端对象，因此$第（C）页$已连接。

证明

由于函子$Topos^{op}\到猫$向自身发送拓扑，向自身发送几何态射逆像函子是2-full-faithful（一个等效在家庭类别)，连通态射是有代表性的共同完全忠诚在里面$托普斯$.

因此，对于2-范畴正交性，只要表明在任何可交换（最多iso）平方中

几何形态的$对$已连接并且$q个$是etale，存在填充物$h\冒号C\至B$使得$h p \聪f$和$q小时\cong g$.

然而，如果$D中的X$是这样的$B\cong D/X公司$（根据定义存在$q个$是etale），那么对于任何拓扑$E类$具有几何形态$k\冒号E\到D$，电梯$k个$沿着$q个$等同于语态$*\至k^*（X）$在里面$C类$特别是，$（f）$由地图决定$*\到f^*（q^*（X））$，自$*\cong p^*（p_*（*））$和$第页^*$完全忠实，这张地图来自一张地图$*\至g^*（X）$在里面$C类$，这又决定了几何态射$h\冒号C\至B$这是所需的填充物。

证明

鉴于$f\冒号E\到S$本地连接，我们可以将其视为$E到S/f！（*）\至S$根据定义，第二个映射是etale，而第一个映射是局部连通的（左伴随基本上是$f！$再次）和连接，因为它保留了终端对象（通过构造）。

证明

对于每个对象$X（X）$，我们有$\数学{E}/X$坐在旁边$\数学{E}$由etale几何态射.

这使得$\数学{E}/X$成为本地连接拓扑.

请注意终端对象属于$\数学{E}/X$是$（X\stackrel｛Id｝｛\to｝X）$.如果现在$X（X）$已连接，则

所以额外的左伴随$\Pi_0\circ X_！$保留终端对象。由上述命题这意味着$\数学{E}/X$也已连接。