Cogroup对象

想法

Cogroup对象是组对象在中相反类别，通常人们会选择相反类别将相反类别中的组对象定义为cogroup对象的类别。

cogroup对象的定义属性是形态外面的它的形式组具体来说，如果$C类$是一个类别，那么$G公司$是中的一个cogroup对象$C类$如果$\运算符名{Hom}（G，X）$是任何对象的组$X（X）$在里面$C类$（集团结构必须自然$X（X）$).

有许多cogroup对象的示例。也许最著名的是n维球面在中同伦范畴属于指向拓扑空间,$\操作员姓名{顶部}_*$然后事实是$序号$是中的cogroup对象$\运算符名称{hTop}$正是这种说法同伦群 $\像素_（X）$对于$n \geq 1号机组$确实是一个组，自然在$X（X）$，对于所有拓扑空间$X（X）$.

定义

基本定义如下。

因此，共群对象及其形态可以被视为可表示函子从$C类$到$\运算符名称{Grp}$.

提供$C类$有足够的副产品$G公司$（该$0,1,2,3$精确地说是共幂），上的共群结构的概念$G公司$可以内化。

在这里，短语“另一条路”的意思是：将一个组对象它表示结合性、单位和逆的性质，反转所有箭头，并用副积替换乘积。

与编组对象的关系

例如，类别中的cogroup对象$C类$，只不过是一个组对象在中相反类别:$C^{op}$然而，cogroup类别中的形态则相反。也就是说，使用明显的符号：

与其他对象的关系

当然，这里的团体没有什么特别之处。相同风格的定义适用于任何代数簇在泛代数意义上，其中$C coAlg_T\coloneqq（C^{op}算法_T)^{操作}$.

在以下情况下应注意术语类胡萝卜素，这在任何情况下都有意义单体范畴，而不仅仅是讨论co的一般默认环境cocartesian monoid范畴-$T型$-代数。因此，请与作者核实一下是指哪一个单体乘积；在科莫奈德的情况下，很可能是不意欲中的可可西概念。而在共群的情况下，混淆就不那么可能了：人们需要共流主义结构（共对角等），本质上是因为群的公理涉及变量的重复，而幺半群的公理则不是这样。（参见操作的和劳弗尔理论，后者可以被视为一种“笛卡尔操作”。）

示例

1. 全部n个球体对所有人来说$n个$是cogroup对象同伦范畴属于基于拓扑空间,$\操作员姓名{顶部}_*$.

   这是组上的结构同伦群.它对布朗表示定理.

   更高的球体实际上是阿贝尔的cogroup对象，事实证明$\像素_（X）$阿贝尔是为了$第2页$.

2. 一般来说，任何悬架是一个cogroup对象，以“pinch”映射作为乘法。请参阅悬架是H-cogroup对象.（自$0$-球体不是中的悬浮$\操作员姓名{顶部}_*$，但仅限于$\运算符名称{hTop}$，它不需要是一个cogroup，实际上也不是。）这与（基于）循环空间是组对象$\操作员姓名{顶部}_*$因为有一个附加，内部到$\操作员姓名{顶部}_*$:

   $$\运算符名称{Hom}（\Sigma X，Y）\cong\operatorname{Hom{（X，\Omega Y）$$

3. 以下是中的cogroup空间示例$\操作员姓名{顶部}_*$是的不暂停，见Bernstein&Harper非悬浮物的余群。请注意，cogroups in$\操作员姓名{顶部}_*$与co-H空间它们是额外的（co-）结合的，并且具有（co）逆。

4. 中的Cogroup对象组的类别是自由群给一个自由群一个cogroup对象的结构与选择一个生成集是一样的。这是旧的结果丹尼尔·阚.

5. 另一方面，自$\运算符名称{Ab}$自我充实。的确，在阿贝尔范畴每个对象同时是阿贝尔群对象和阿贝尔共群对象。在$\运算符名称{Ab}$，阿贝尔共群对象结构是唯一的，其乘积由对角态射.

6. 在设置，唯一的cogroup对象（abelian或其他）是空集合。这是因为counit映射必须是来自$X（X）$到终端对象相反类别的.在以下情况下$\操作符名{Set}$，这是空集。

7. 这进一步扩展了：具有忠实函子到$\操作符名{Set}$它保存了初始对象将没有非平凡的cogroup对象。特别是，类别顶部属于无底座的拓扑空间只有空的空间作为cogroup对象。

8. 在某些其他代数变体中，共群和其他一些共物的情况已经被广泛研究Bergman&Hausknecht 1996年.

   特别地，（酉）交换环范畴中的余群是可交换的霍普夫环和（酉）交换范畴中的一个cogroup$k个$-代数是可交换的霍普夫 $k个$-代数；同伦理论中强调的一个事实海恩斯·米勒（鉴于他对交换Hopf代数体s作为交换代数中的共群）对偶Steenrod代数，请参阅(Ravenel 86，附录A)供审查。

工具书类

交换性的讨论Hopf代数作为cogroups：

• 道格·拉文内尔，附录A1复同基与球的稳定同伦群，学术出版社，1986年

Cogroups公司内部到类别（是否分级）结合代数非常罕见（与Hopf代数不同）-事实上，底层代数是自由的；这一点从那时起就很清楚了

• Israel Berstein，关于分次代数范畴中的共群。事务处理。阿米尔。数学。Soc.115（1965），257–269jstor公司

专著：

• 乔治·M·伯格曼Adam O.Hausknecht，结合环范畴中的余群和余环，A.M.S.数学。调查和专著45（1996）[ISBN 0-8218-0495-2，ams:surv-45,MR 97k:16001号,勘误表和更新]

>（也适用于堆芯)

这一事实后来得到了更广泛的观察

• Benoit Fresse公司,操作数上代数中的余群是自由代数，推荐。数学。Helv公司。73:4, 1998, 637-676

  [国防部