n实验室结束

已从“coend”重定向。

这篇文章是关于范畴理论.对于中的端拓扑，请参阅端部紧化.

上下文

范畴理论

丰富的范畴理论

极限和结肠炎

一个经典的例子结束是 $V（V）$ -的对象自然变换之间 $V（V）$ -富足函子在里面丰富范畴理论也许端点和辅数最常见的产生方式是通过（广义）模的homs和张量积及其近亲、加权极限和加权共线。这些概念是丰富范畴理论的基础。

定义

在普通范畴理论中

通过超自然变换定义

普通情况下范畴理论，给定函子 $F： C^｛op｝\乘以C\到X$ ，一个结束属于 $F类$ 在里面 $X$ 是一个对象 $e（电子）$ 属于 $X$ 配备有普遍的超自然转化从 $e（电子）$ 到 $F类$ 这意味着给定对象的任何超自然变换 $x个$ 属于 $X$ 到 $F类$ ，存在唯一的地图 $x到e$ 尊重超自然的转变。

更详细地说： $F类$ 传统上表示 $\int_{c:c}F（c，c）$ 以及普遍超自然转化的组成部分，

\pi_c:\int_｛c:c｝F（c，c）\到F（c，c）

被称为投影地图结束时。然后，给定组件的任何超自然变换

\θ_c:x\到F（c，c），

有一张独特的地图 $f： x到e$ 这样的话

\θc=\pi c f

对于每个对象 $c（c）$ 属于 $C类$ .

概念共同（coend）对目的的概念是双重的。的coend $F类$ 已写入 $\整数^{c:c}F（c，c）$ ，并配备了具有组件的通用超自然转换

\iota_c\冒号F（c，c）\to\int^{c:c}F（c、c）

明确的定义

我们解开了超自然变换的定义，以获得对目的的更明确描述。

定义

让 $F： C^{op}\乘以C\到X$ 成为函子.A型楔子 $e： w至F$ 是一个对象 $w个$ 和地图 $e_c:w\到F（c，c）$ 对于每个 $c（c）$ ，以便给定任何态射 $f： c\到c'$ ，下图通勤：

\阵列{w&&覆盖集｛e_｛c'｝｝｛\to｝&F（c'，c'）\\^\数学圈{e_c}\向下箭头&&\向下箭头^\数学圈{F（F，c'）}\\F（c，c）&\下集{F（c、F）}{\到}&F（c和c'）}

给一个楔子 $e： w\至F$ 和一张地图 $f： v至w$ ，我们得到一个楔子 $e f：v至f$ 通过成分。然后我们将结束定义如下：

定义

让 $F： C^{op}\乘以C\到X$ 做一个函子。安结束属于 $F类$ 是一个通用楔，即楔 $e： w\至F$ 这样任何其他楔子 $e'：w'至F$ 因素通过 $e（电子）$ 通过独特的地图 $w'至w$ .

对偶，牛角由地图给出 $F（c，c）至w$ 满足相似的交换条件，coend是一个泛cowedge。

结束为右伴随函子

完全类比如何限制是对角线函子的右伴随函子，端点是hom函子的右伴函子。

更详细地说，假设 $C类$ 和 $X$ 是类别。

如果有图表 $C^{op}\乘以C\到X$ 承认结束，那么我们有一个函子

结束\冒号趣味（C^{op}\乘以C，X）\到X

其左伴随是hom函子

hom\colon X\ to Fun（C^{op}\乘以C，X）

发送对象 $x中的x$ 到函子 $hom（x）\冒号C^{op}\乘以C\到x$ 发送 $（c、d）$ 到 $\coprod_{hom（c，d）}x=hom（c，d）\otimes x$ .（对于coends，使用 $x ^｛hom（c，d）｝$ 相反。）

这直接意味着关于端点和辅数的Fubini定理。

在丰富范畴理论中

有一个定义结束在里面丰富范畴理论，如下所示。

的结尾 $V（V）$ -值函子

让 $V（V）$ 成为对称单体范畴，并让 $C类$ 成为 $V（V）$ -丰富的类别.假设 $V（V）$ 也是闭单体, $V（V）$ 可被视为 $V（V）$ -富集；在这种情况下，假设 $F： C^{op}\otimes C\到V$ 是一个 $V（V）$ -富足函子.

然后特别是有一个协变行动属于 $C类$ 在 $F类$ ，带组件

\λ_{c，d，e}:F（c，d）\otimes c（d，e）\ to F（c、e），

（其中 $C（d，e）$ 是人-物体 $\hom_C（d，e）$ 属于 $C类$ 在里面 $V（V）$ )和的反变作用 $C类$ 在 $F类$ ，带组件

\rho_{c，d，e}:F（d，e）\otimes c（c，d）\ to F（c，e）。

具体来说，协变作用是辅助态射的

（F（c，-）\结肠C（d，e）至[F（C，d），F（C、e）]）\英寸Hom_V（C（d，e），[（C，d），F（C，e）]）

在Hom-附加

Hom_V（C（d，e），[（C，d），F（C，e）]）\stackrel{\simeq}{\longrightarrow}Hom_V（C（d，e）\otimes F（C，d），F（C、e））

在里面 $V（V）$ 同样适用于反变作用。

备注

即使 $V（V）$ 不是闭单胞的，我们仍然可以定义概念协变的 $C类$ -动作，有时称为“左” $C类$ -模块，由函数组成 $F\冒号Ob（C）\至Ob（V）$ 与 $Ob（V）\倍Ob（V）$ -语态的索引集合

F（c）\乘以c（c，d）\到F（d）

满足一些明显的单位和结合性公理，并将此概念视为 $V（V）$ -函子 $C至V$ 类似地，我们有一个明显的逆变概念 $C类$ -作为替补 $V（V）$ -函子 $C^{op}\到V$ ; 注意，我们甚至不需要对称来理解这一点。最后，我们可以将这些概念组合成 $C类$ -双模块，其中我们有一个函数 $F\冒号Ob（C）\乘以Ob（C）\到Ob（V）$ 以及一组形态

C（a，b）\时间F（b，C）\时间C（C，d）\到F（a，d）

带有双模结构的明显公理，作为 $V（V）$ -形式函子 $C^{op}\otimes C\到V$ .

A类 $V（V）$ -超自然转化

\θ：v\stackrel{\bullet}{\to}F

从 $v（v）$ 到 $F类$ 由中的一系列箭头组成 $V（V）$ ,

\θc：v到F（c，c），

在对象上建立索引 $c（c）$ 属于 $C类$ ，这样对于每对对象 $（c、d）$ 在里面 $C类$ ，（1）和（2）的复合物同意：

v \otimes C（C，d）\stackrel{\theta_C\otimes1}{\to}F（C，C）\otimemes C（C，d）\stackrel{\lambda_{C，C，d}}{\to}F（C,d）\qquad（1）

v \otimes C（C，d）\stackrel{\theta_d\otimes1}{\to}F（d，d）\times C

A类 $V（V）$ -富集的结束属于 $F类$ 是一个对象 $\int_{c:c}F（c，c）$ 属于 $V（V）$ 配备有 $V（V）$ -超自然转化

\pi:\int_{c:c}F（c，c）\stackrel{\bullet}{\to}F

这样的任何 $V（V）$ -超自然转化 $\θ$ 从 $v（v）$ 到 $F类$ 通过拉回 $\圆周率$ 沿着 $f： v\to\int_{c:c}f（c，c）$ ，对于一些独特的地图 $（f）$ 也就是说，

\θc=\pi c f

对于所有对象 $c（c）$ 属于 $C类$ .

的结尾 $C类$ -值函子 $C\in V\Cat语言$

如果 $X$ 是任何 $V（V）$ -丰富的类别和 $F： C^{op}\otimes C\到X$ 是一个 $V（V）$ -富余函子，然后结束属于 $F类$ 在里面 $X$ 是一个对象（如果存在） $\int_{c:c}F（c，c）$ 属于 $X$ 那个代表函子

\int_{c:c}X（-，F（c，c））\，。

这意味着结束 $\int_{c:c}F（c，c）$ 配备有 $Ob（C）$ -索引箭头族

\pi_c:I\到X（int_{c:c}F（c，c），F（c、c））

在里面 $V（V）$ ，这样对于每个对象 $x个$ 属于 $X$ ，地图系列

X（X，\pi_c）：X（X

投影图实现了吗 $X（X，\int_{c:c}F（c，c））$ 作为对应端 $\int_{c:c}X（X，F（c，c））$ 在里面 $V（V）$ .

作为均衡器结束

作为均衡器的普通端

现在我们激励并定义结束在里面丰富范畴理论依据均衡器.

回忆一下结束时的讨论限制那个限制超过（普通，即未浓缩）函子

F:C^{op}\设置

由均衡器属于

\对象（c）中的prod_{c}F（c）\Mor（c）}（f（f）\circ p_{t（f）}）}{\to}中的stackrel{\prod_{f\\prod_{f\在Mor（C）}中F（s（F））

和

\对象（c）中的prod_｛c\｝F（c）\莫尔（c）}（p_{s（f）}）}{to}中的stackrel{\prod_{f\\prod_{f\在Mor（C）}中F（s（F））\,.

如果我们想将这样的表达式推广到丰富范畴理论必须用在丰富的类别.

为此，请注意我们有一个规范同构（仍然是集合的）

\Mor（c）｝f（c_1）中的prod_｛（c_1\stackrel｛f｝｛\to｝c_2）｝\西马克\对象（c）}F（c1）^{c（c1，c2）}中的prod_{c1，c_2\,.

如果我们为霍姆塞特相反

[C（c1，c2），F（c1）]：=F（C_1）^{C（C_1，C_2）}

具有 $[-,-]$ 这个内部hom在里面设置，然后该表达式开始在任何 $V（V）$ -丰富的类别.

同样地，我们建议重写上面的内容，现在得到了超过 $F类$ 作为均衡器属于

\对象（c）中的prod_{c}F（c）\stackrel{\stackrel{\rho}{\to}}{\stackerel{\lambda}{\to}}\对象（c）}中的prod_{c1，c2\[C（C_1，C_2），F（C_1）]\,,

其中在组件中

\rho_{c_1，c_2}:F（c_1）\至[c（c_1，c_2），F（c_1）]

是辅助属于

C（c1，c2）到*到[F（c1），F（C_1）]

（最后一张地图辅助属于 $Id_{F（c_1）}$ )以及在哪里

\λ{c_1，c_2}:F（c_2）到[c（c_1、c_2），F（c_1]

是辅助属于

F_{c_1，c_2}:c（c_1、c_2）\至[F（c_2），F（c_1]\,.

因此，为了明确起见，我们正在研究的均衡器是

\rho:=\prod_{c1，c2\在c}\rho_{c1、c2}\circ pr_{F（c1）}中

和

\λ：=\prod_{c1，c2\在c}\lambda_{c1、c2}\circ pr_{F（c2）}中

用这种方式编写限制清楚地表明拥有 $\λ$ 和 $\ρ$ 在平等的基础上。这导致了以下定义。

丰富的结局 $V（V）$ -值函子作为均衡器

对于 $V（V）$ 一对称单体范畴, $C类$ 一 $V（V）$ -丰富的类别和 $F\冒号C^{op}\乘以C\到V$ 一 $V（V）$ -富足函子，的结束属于 $F类$ 是均衡器

（1）

\c}中的int_{c\F（c，c）\长向右箭头\对象（c）中的prod_{c}F（c，c）\过盈不足{\underset{\lambda}{\longrightarrow}}{\重叠{\rho}{\longrightarrow}}{}\对象（c）}中的prod_{c1，c2\[碳（c1，c2），氟（c1、c2）]

具有 $\ρ$ 在给定的组件中

\rho_{c_1，c_2}\冒号F（c_1、c_1）\右长箭头[c（c.1，c_2），F（c.1、c_2）]

成为辅助属于

F（c1，-）\冒号c（c1、c2）\右长箭头[F（c_1，c_1），F（c.1，c_2）]

和

\lambda_{c1，c2}\冒号F（c2，c2）\右长箭头[c（c1，C2），F（c1、c2）]

成为辅助属于

F（-，c_2）\冒号c（c_1，c_2\,.

这个定义明显地展示了结束作为左右动作的均衡器由编码经销商 $F类$ .

Dually是 $F类$ 是共均衡器

(2)

\coprod_{c_1，c_2}c（c_2，c_1）\otimes F（c_1、c_2）\，\rightrightarrow\，\coprod_c F（c，c）\，\到\，\整数^c F（c，c）

由两个动作再次诱导的平行态射 $F类$ .

以加权限额结束

的结束 $V（V）$ -值为的函子 $V（V）$ 服务，除其他外，定义加权限额，而加权极限又用更一般的值定义了分叉子的端点 $V（V）$ -类别。

对于 $C类$ 和 $D类$ 二者都 $V（V）$ -类别和 $F:C^\op\times C\到D$ 一个 $V（V）$ -富足函子，的结束属于 $F类$ 是加权限额属于 $F类$

\int_{c\在c}F（c，c）中\上校（coloneq）\{Hom_C，F\}=极限^{Hom_C}F\,,

带重量 $Hom_C:C^{op}\次C\到V$ . The共同（coend）属于 $F类$ 是大肠杆菌

\int^{c\在c}F（c，c）\coloneqq Hom_{c^{op}}\ast F=\colim^{Hom_}c^{op}}}F

属于 $F类$ 由hom函子加权 $C^{op}$ .

连接两个定义

如果 $C类$ 是一个 $V（V）$ -范畴，然后是hom函子 $C（-，-）\冒号C^{op}\乘以C\到V$ 是共均衡器在里面

\连杆{c，c'}c（-，c）\乘以c（c，c'）\乘以c（c'，-）\，\右箭头\，\coprod_c c（-，c）\乘以c（c，-）\，\到\，c（-、-）

这也是一个普遍事实（参见示例。凯利，第3章)加权（co）极限在其权重上是共连续的：即，

\{W\ast V，F\}\cong\{W，\{V-，F\{}\}

和

（W\ast V）\ast G\cong W\ast（V\ast G）

这意味着 $\{-，F\}$ 将上面的coequalizer转换为均衡器，在对米田引理，与同构（1）同样， $（-\ast F）$ 采用类似的协等式表示 $C^{op}（-，-）$ 到(2).

属性

$设置$ -作为普通结肠炎的富集系数

让丰富的类别 $\数学{V}=$ 设置。在这种情况下，我们描述了一种特殊的方法来表示加权限额/就元素类别的普通（co）极限而言的共鸣。

考虑

$C类$ 一 $设置$ -丰富的类别/局部小类别张量的结束设置;
$D类$ 成为小类别;
$F:D\到C$ 函子；
$W:D^{op}\设置$ 另一函子；
$el W（埃尔·W）$ 这个元素类别属于 $W公司$ .

提议

（合并为上极限结束元素类别)
有一个自然同构在里面 $C类$

\整数^{d\in d}W（d）\cdot F（d）\西马克\lim{\到}(（el W）^{op}\到D\stackrel{F}{\到}C)

在coend和上极限超过相反的的元素类别属于 $W公司$ .

这是方程式（3.34）in(凯莉)鉴于（3.70）。

推论

任何连续函子保留端点，任何共连续函子都保留余数。特别是对于函子 $F： D^{op}\乘以D\到C$ 和 $c \以c表示$ ，我们有同构

\开始{对齐}C（\nint^x F（x，x），C）和\cong\int_x C（F（x、x），C）\\C（C，\int_x F（x，x））和\cong\int_x C（C、F（x、x））\结束{对齐}

例子

如果 $W=D（-，e）$ 是一个可表示函子，然后

（el-W）^{op}=D/e

是超类别在表示对象上 $e（电子）$ 。这有一个终端对象，即 $（e \ stackrel{Id}{\ to}e$ ). 因此

\lim_\to（D/e到D\stackrel{F}{to}C）\simeq F（e）\,.

因为这在 $e（电子）$ ，上述命题断言自然同构

F（-）\simeq\int^{k\in D}D（k，-）\cdot F（k）\,.

此语句有时称为co-Yoneda引理.

端部和端部的交换性

普通限制如果两个限制分别存在，我们可以相互通勤。类似的语句也适用于ends和coends。因为它看起来像两个积分的交换性，所以它被称为福比尼定理用于末端（例如凯利，第29页).

提议

（端部Fubini定理）
让 $\数学{V}$ 成为对称单体范畴.让 $\数学{A}$ 和 $\数学{B}$ 规模小 $\数学{V}$ -丰富的类别.

让

T\冒号（\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}）^{op}\otimes（\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}）\至\数学{V}

成为 $\数学{V}$ -富足函子然后：

如果针对所有对象 $B、 B'\in\mathcal{B}$ 结束 $\int_{A\in\mathcal{A}}T（A，B，A，B'）$ 存在，那么

\int_{（A，B）\in\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}}T（A，B，A，B）\西马克\int_{A\in\mathcal{A}}\int_{B\in\mathcal{B}}T（A、B、A、B）

如果任何一方存在。特别是，因为 $\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}\simeq\mathcal{B}\times\mathcal{A}$ 这意味着

\int_{B\in\mathcal{B}}\int_{A\in\mathcal{A}}T（A、B、A、B）\西马克\int_｛A\in\mathcal｛A｝｝\int_{B\in\mathcal{B}}T（A、B、A、B）

如果任何一方存在。

示例

自然转化

提议

让 $F、 G:C\至D$ 是仿函数在两个类别之间，并让 $[C，D]（F，G）$ 是一套自然变换他们之间。那么我们有

[C，D]（F，G）=\int_{C\ in C}D（F（C），G（C））。

证明

元素 $\c}D（F（c），G（c））中的int_{c\$ 根据定义是一个集合 $\tau_c:F（c）至G（c）$ 中的形态 $D类$ 对于任何态射 $f： c至d$ 在里面 $C类$ ，以下广场通勤：

\阵列{F（c）&\覆盖{F（F）}{\到}&F（d）\\^\金属圈{\tau_c}\向下箭头&&\向下箭头^\金属圈{\t au_d}\\G（c）和底部｛G（f）｝｛\to｝和G（d）}

根据定义，这是一种自然转变 $F至G$ .

丰富函子范畴

根据提议，我们可以为定义自然变换对象富足函子作为目的：

对于 $C类$ 和 $D类$ 二者都 $V（V）$ -丰富的类别，的 $V（V）$ -富足函子范畴 $[中、日]$ 是 $V（V）$ -丰富的类别谁的

对象是 $V（V）$ -富足函子 $F:C\至D$ ;
人-物体在里面 $V（V）$ 由最终公式给出 $[C，D]（F，G）：=\int_{C\ in C}D（F（C），G（C））$ .

例子

对于 $V=设置$ 这当然再现了普通函子范畴.

例子

对于 $V=\mathbb{右}_{\geq 0}\cup\{\infty\}$ 通过加法得到一元乘积，a $V（V）$ -富集类别 $X$ 是一个度量空间，与点之间的距离 $x、 y\在x中$ 由提供 $X（X，y）$ .给定两个度量空间 $十、 Y（Y）$ 和地图 $f、 g:X\到Y$ ，地图之间的距离为

[X，Y]（f，g）=\int_{X\in X}Y（f（X），g（X））=\sup_{X\ in X}Y。

Kan扩展

如果 $V（V）$ -丰富的类别 $D类$ 是张量ed结束 $V（V）$ ，然后是（左）Kan扩展的函子 $F:C\至D$ 沿着函子 $p:C\至B$ 由coend给出

局域网F:b\mapsto\int^{c\in c}hom（p（c），b）\cdot F（c）\,.

请参见Kan扩展了解更多详细信息。

几何实现

Kan扩展示例的一个特例是几何实现.

一般来说，几何实现是函子的左Kan扩张 $F:C\至D$ 沿着Yoneda嵌入 $Y:C\到[C^{op}，V]$ .

物体的“几何实现” $X\在[C^｛op｝，V]中$ 关于 $F类$ 那么是coend

|X|：=\int^{c\in c}F（c）\cdot hom（Y（c），X）\simeq\int^{c\in c}F（c）\cdot X（c）\,,

右边的最后一步使用米田引理.

更具体地说，传统上认为这适用于以下情况 $C=\增量$ 是单纯形范畴以及在哪里 $F:\增量\到顶部$ 考虑到抽象 $n个$ -单工作为标准单工拓扑空间.

函子的张量积

如果 $S:C^\op\到D$ 和 $T:C\至D$ 是函子，它们的张量积是coend

S\otimes_C T=\int^C S（C）\otimes T（C），

其中右侧的张量积表示单分子结构在 $D类$ .

（Co）端演算

（co）的形式属性以命题结束,和允许我们通过以下方式证明某些结果抽象的胡言乱语.

例子

让 $F：选择“设置”$ 做一个函子。我们证明了co-Yoneda引理，那个

F（c）\simeq\int^{c'\在c}c（c，c'）中\乘以F（c'）

我们执行以下操作，其中每个同构都是自然的：

\开始{对齐}集合（c}c（c，c'）中的集合（int^{c'\次F（c'），y）和c}集合中的集合\\&\在c}集合（c（c，c'），集合（F（c'，y））中的simeq\int_{c'\\\&\simeq[C，集]（C（C，-），集（F（-），y））\\&\simeq集（F（c），y）。\结束{对齐}

所以通过米田引理，我们有

F（c）\simeq\int^{c'\在c}c（c，c'）中\乘以F（c'）。

有关更多示例，请参见例如。洛雷基安（2021）.

	同伦	上同调	同源性
	$[S^n，-]$	$[-，A]$	$（-）\注释A$
范畴理论	协变的霍姆	逆变的霍姆	张量积
同调代数	提取	提取	托尔
丰富范畴理论	结束	结束	共同（coend）
同伦理论	导出hom空间 $\马特布{R} 霍姆（序号，-）$	自行车 $\马特布{R} 霍姆（-，A）$	导出张量积 $（-）\音符^{\mathbb{L}}A$

工具书类

（共同）结束的概念如中所述

Nobuo Yoneda公司第4节：关于外序列和精确序列（博士论文），《科学院学报》第一卷。8东京大学（1960）507–576[pdf格式,CiNii:naid/500000325773]

着眼于应用于单纯拓扑空间的几何实现:

桑德斯·麦克莱恩，第2节：作为函子张量积的Milgram条结构，收录人：F.P.Peterson（编辑）斯坦罗德代数及其应用：庆祝N.E.斯坦罗德六十岁生日的会议，数学课堂笔记168，施普林格1970(doi:10.1007/BFb0058523,pdf格式)

教科书帐户：

马克斯·凯利,丰富范畴理论的基本概念，伦敦数学。Soc.Lec公司。票据系列64剑桥大学出版社（1982年），《范畴理论与应用的再版》10(2005) 1-136 [国际标准化组织：9780521287029,塔克：tr10,pdf格式]
- 的结尾 $V（V）$ -第2.1节讨论了有值双分裂子
- 第2.2节讨论了它们所产生的丰富函子范畴；
- 丰富加权限额关于丰富函子范畴，见第3.1节
- 将军的末日 $V（V）$ -关于加权极限的富集函子见第3.10节。
弗朗西斯·博尔塞克斯，定义6.6.8英寸：范畴代数手册，第2卷：类别和结构，数学百科全书及其应用50剑桥大学出版社（1994）(doi:10.1017/CBO9780511525865)
艾米丽·里尔第4.1节：范畴同伦理论，剑桥大学出版社（2014）[doi:10.1017/CBO9781107261457,pdf格式]
福斯科·洛雷吉,Coend演算，剑桥大学出版社（2021）[arXiv公司：1501.02503,数字标识代码：10.1017/9781108778657，国际标准图书编号：9781108778657）]

另请参见：

末端, $n个$ -类别咖啡厅讨论。

中的应用程序共形场理论:

尤尔根·富克斯,克里斯托夫·施魏格特,共形场理论中的系数(arXiv:1604.01670)

上次修订时间：2024年4月4日18:14:16。请参阅历史获取所有贡献的列表。

n实验室结束

上下文

范畴理论

概念

通用结构

定理

扩展

应用

丰富的范畴理论

背景

基本概念

通用结构

额外的材料、结构、财产

局部局部富集