n实验室闭合算子

关于拓扑空间子集的闭包，请参见闭子集.

上下文

模式、结束和反思

上的闭包运算符动力装置也称为摩尔闭合。请参阅此处了解更多信息。
摩尔闭包的一个著名例子是拓扑闭包，这正是一个保留有限连接（并集）的Moore闭包。同样，可以查看拓扑内部作为保持有限满足的幂集上的共闭包算子，或对偶作为相反的保持有限的幂集连接（由提供十字路口子集）。
A类Lawvere-Tierney拓扑是上的闭包运算符子对象分类器 $\欧米茄$ 的地形 $E类$ ，视为内部满足半晶格更准确地说，它是一个保持内部有限满足的闭包算子。从外部来看， $\hom（-，\Omega）\colon E^{op}\设置$ 提供了一个示例万能闭包算子.

诱导切片闭合

我们在这里讨论如何在地形可能会诱导每个切片类别.

自始至终，我们的地形表示为 $\数学{C}$ .

给定单子 $\菱形\colon\mathcal{C}\to\mathcal{C}$ 我们写作 $\eta_\diamond\colon id_{\mathcal{C}}\to\diamond$ 对于它单元，然后写入 $\mu_\diamond\colon\diamons\circ\diamont\to\diamond$ 用于其乘法。在进行过程中，我们添加了以下假设 $\金刚石$ ，比如它保留了某些限制和/或它是幂等的.

对于 $X\in\mathcal{C}$ 任何对象，我们写 $\马查尔{C}（C）_{/X}$ 对于切片地形在它上面。对应的基变换几何态射(相依和 $\仪表盘$ 上下文扩展 $\仪表盘$ 从属产品)我们写作

\左(\下划线{X}{\sum}\仪表盘X ^\ast\仪表盘\下划线{X}{\prod}\右侧）\;\冒号\；\马查尔{C}（C）_{/X}\stackrel{\overset{\sum_X}{\to}}{\stackrel{\ overset}X^\ast}{\leftarrow}}{\underset{\prod_X}{\to}}}\数学｛C｝\,.

我们表示一个对象 $p\in\mathcal公司{C}（C）_{/X}$ 在切片中也由相应的同构

p\coloneqq公司\左(\左（\sum_X p\right）\stackrel{p}{\ to}X\右侧）\上校（coloneq）\sum_X\左（p\至\ast_{X}\右）

在里面 $\数学{C}$ ，这是下面的图像相依和的唯一态射 $第页$ 到终端对象在里面 $\马查尔{C}（C）_{/X}$ 相应地，一个态射 $\φ\colon p_1至p_2$ 在切片中，我们也用相应的三角形表示交换图

\左(\阵列{\sum_X p_1&&\stackrel｛\sum_X\phi｝｛\to｝&&\sum_X p_2\\&｛｝_｛\mathllap{p} _1个}\searrow&&\swarrow{\mathrlap{p2}}\\&&X（X）}\右侧）

在里面 $\数学{C}$ .

在这里，我们研究了由总拓扑上的单子诱导的切片上的以下内函子。

定义

对于 $\菱形\colon\mathcal{C}\to\mathcal{C}$ 一个单子在上地形 $\数学{C}$ 、和用于 $X\in\mathcal{C}$ 任何对象，的诱导算子

\金刚石{/X}\colon\mathcal{C}（C）_{/X}\to\mathcal{C}（C）_{/X}

上切片地形 $\马查尔{C}（C）_{/X}$ 是函子发送对象的 $（E\stackrel{p}{to}X）在mathcal中{C}（C）_{/X}$ 到 $（X\underset{\diamond X}{\times}\diamond-E\stackrel{\ta_\diamonds（X）^\ast\diamondp}{\to}X）$ ，因此在拉回图表

\阵列{X\下划线{\diamond X}{\times}\diamont E&\至&\菱形E\\\向下箭头^{\mathrlap{\eta_\diamond（X）^\ast\diamond-p}}&&\down箭头^{\ mathrlap{\diamond-p}}\\X&&stackrel｛\eta_\d菱形（X）｝｛\to｝&&\d菱形X}\,,

被视为 $\马查尔{C}（C）_{/X}$ ，并在这些回调之间向相应的通用映射发送变形：

\金刚石{/X}\;\;\结肠\;\;\左(\阵列{E_1&&\stackrel{\phi}{\to}&&E_2\\&\searrow&&\swarrow\\&&X（X）}\右侧）\;\;\地图\;\;\左(\阵列{X\下划线{\diamond X}{\times}\diamont E_1&&\stackrel｛X｝underset｛\d菱形X｝｛\times｝\d菱形phi｝｛\to｝&&X\ underset｛\d菱形X｝｛\times｝\d菱形E_2\\&\searrow&&\swarrow\\&&X（X）}\右侧）\,.

我们现在想确定以下条件 $\金刚石{/X}$ 本身就是一个单子。首先观察到单元-like map是标准存在的。

提议

在定义的情况下。，有一个自然转化

\eta_{\diamond_{/X}}\;\冒号\；id_{\mathcal{C}（C）_{/X}}\至\金刚石{/X}

从切片上的恒等式到切片上的诱导操作符，其组件位于对象上 $（E\stackrel{p}{to}X）在mathcal中{C}（C）_{/X}$ 是定义的通用同构拉回在定义中。由自然的 $\金刚石$ -单位 $\eta{\钻石}$ :

\阵列{\eta_{\diamond}（E）\colon&E&\stackrel{\sum_{X}\left（\eta_{\diamond_{/X}}\left（p\ right）\right）}{\to}&X\underset{\diamend X}{\times}\diamond E&\至&\菱形E\\&&｛｝_｛\mathllap｛p｝｝\searrow&&\向下箭头^｛\mathrlap｛\eta_\dynamine（X）^\ast\dynamine p｝｝&&\向下箭头^｛\dynamine\mathrlap｛p｝｝\\&&&X&\stackrel{\ta_\diamond（X）}{\to}&\diamondX}\,,

证明

我们必须证明所有的形态

\左(\阵列{E_1&&\stackrel{f}{\to}&&E_2\\&{}{\mathllap{p1}}\searrow&&\swarrow{\mathrlap{p2}}\\&&X（X）}\右侧）

在里面 $\马查尔{C}（C）_{/X}$ 诱导图

\阵列{E_1&\stackrel{\sum_X（\eta_{\diamond_{/X}}（p_1））}{\to}&X\下划线{\diamond X}{\times}\diamont E_1\\\向下箭头^{\mathrlap{f}}&&\down箭头^{\ mathrlap{X\underset{\diamond X}{\times}\diamond-f}}\\E_2&\stackrel{\sum_X（\eta_{\diamond_{/X}}（p2））}{\to}&X\下划线{\diamond X}{\times}\diamont E_2}

在里面 $\数学{C}$ 通勤。对定义回撤图的检查表明，该图中的两种复合物椎体在定义右下角对象的拉回图上。因此，由普遍性他们的撤退必须一致。

接下来，还要对诱导算子进行乘积运算 $\金刚石{/X}$ 我们需要这个 $\金刚石$ 保留一些回调：

提议

假设monad $\菱形\colon\mathcal{C}\to\mathcal{C}$ 保存拉回覆盖图像中的对象。然后针对每个 $X\in\mathcal{C}$ 诱导内函子 $\金刚石{/X}$ 定义的。附带一个自然转化

\mu_{\金刚石_{/X}}\；\冒号\；\金刚石{/X}

对象上的组件 $（E\stackrel｛p｝｛\to｝X）\in\mathcal{C}（C）_｛/X｝$ 是组件的回拉 $\mu_{\钻石}E$ 产品的 $\金刚石$ 自身覆盖组件 $\mu_\菱形X$ 沿着单元组件 $\eta_{\钻石}X$ .

证明

首先我们制作了所声称的组件图，然后我们证明它确实是自然转换的组件。

所以对于 $p\in\mathcal公司{C}（C）_{/X}$ 切片中的一个对象，请考虑 $\金刚石{/X}p$ 来自定义。

\阵列{X\下划线{\diamond X}{\times}\diamont E&\至&\菱形E\\\向下箭头^{\mathrlap{\eta_\diamond（X）^\ast\diamond-p}}&&\downarrow^{\mathrlap}\\X&\stackrel{\ta_\diamond（X）}{\to}&\diamondX}\,.

假设 $\金刚石$ 保留此形式的回调图，应用 $\金刚石$ 生成拉回图

\阵列{\菱形（X\下划线{\diamond X}{\times}\diamont E）&\至&\菱形\菱形E\\\向下箭头^{\mathrlap{}}&&\downarrow^{\mathrlap}\diamond\diamond p}}\\\钻石X&\stackrel{\diamond（\eta_\diamont（X））}{\to}&\diamond\diamond X}\,.

将其左垂直同态的拉回粘贴到此 $\eta_\菱形（X）$ 产量

\阵列{X\underset{\diamond X}{\times}\diamont（X\undreset{\diamond X{\times}\diamend E）&\至&\菱形（X\下划线{\diamond X}{\times}\diamont E）&\至&\菱形\菱形E\\\向下箭头&&\向下箭头^{\mathrlap{}}&&\downarrow^{\mathrlap}\diamond\diamond p}}\\X（X）&\stackrel{\ta_\diamond X}{\to}&\钻石X&\stackrel{\diamond（\eta_\diamont（X））}{\to}&\diamond\diamond X}\,,

其中总矩形也是回调，由粘贴法.

我们现在构建一个图表从基础科斯潘这样，拉回上的诱导映射就是我们正在寻找的自然变换的组成部分，

为此，首先将自然广场单子乘法映射的 $\mu_\diamond\colon\diamons\circ\diamont\to\diamond$ 以获得

\阵列{X\underset{\diamond X}{\times}\diamont（X\undreset{\diamond X{\times}\diamend E）&\至&\菱形（X\下划线{\diamond X}{\times}\diamont E）&\至&\菱形\菱形E\\\向下箭头&&\向下箭头^{\mathrlap{}}&&\downarrow^{\mathrlap}\diamond\diamond p}}&\searrow^{\mathrlap{\mu_{\diamond}（E）}}\\X（X）&\stackrel{\ta_\diamond X}{\to}&\钻石X&\stackrel{\diamond（\eta_\diamont（X））}{\to}&\diamond\diamond X&&\菱形E\\&&&&&\searrow^{\mathrlap{\mu_\diamond X}}&\downarrow^{\methrlap}\\&&&&&&\菱形X}\,,

然后填写显示统一性公理 $\金刚石$ 以获得

\阵列{X\underset{\diamond X}{\times}\diamont（X\undreset{\diamond X{\times}\diamend E）&\至&\菱形（X\下划线{\diamond X}{\times}\diamont E）&\至&\菱形\菱形E\\\向下箭头&&\向下箭头^{\mathrlap{}}&&\downarrow^{\mathrlap}\diamond\diamond p}}&\searrow^{\mathrlap{\mu_{\diamond}（E）}}\\X（X）&\stackrel{\ta_\diamond X}{\to}&\钻石X&\stackrel{\diamond（\eta_\diamont（X））}{\to}&\diamond\diamond X&&\菱形E\\&&&\箭头^{\mathrlap{id_{\diamond X}}\\&&&&\diamond X&\stackrel{id_{\diamont X}}{\to}&\diamend X}\,.

最后粘贴到一个标识方块中，就像明显地展示图的形态一样

\阵列{X\underset{\diamond X}{\times}\diamont（X\undreset{\diamond X{\times}\diamend E）&\至&\菱形（X\下划线{\diamond X}{\times}\diamont E）&\至&\菱形\菱形E\\\向下箭头&&\向下箭头^{\mathrlap{}}&&\downarrow^{\mathrlap}\diamond\diamond p}}&\searrow^{\mathrlap{\mu_{\diamond}（E）}}\\X（X）&\stackrel{\ta_\diamond X}{\to}&\钻石X&\stackrel{\diamond（\eta_\diamont（X））}{\to}&\diamond\diamond X&&\菱形E\\&\searrow^{\mathrlap{id_X}}和&\\&&X&\stackrel{\ta_\diamond X}{\to}&\diamondX&\stackrel{id_{\diamond-X}}{\to}&\damond X}\,.

现在观察一下科斯潘语态是这样的限制圆锥体在它上面是拉回它定义了 $X\下划线{\diamond X}{\times}\diamont E$ .通过的函数性回撤（根据它们的通用属性），这会导致组件同构

\mu_{\diamond_{/X}}\;\冒号\；X\underset{\diamond X}{\times}\diamont（X\underset{\diamend}{\ttimes}\diamend E）\至X\下划线{\diamond X}{\times}\diamont E

如所述。

由于这只是根据通用结构构建的，因此这种态射实际上是自然的如下所示。.

到目前为止，我们已经从一个保持图像中对象上的回调的单子构造了一个切片上的操作符，该操作符配备了类单位和类乘法变换。我们现在声称，这确实会在切片上生成一个单子。

提议

对于 $\菱形\colon\mathcal{C}\to\mathcal{C}$ 一单子哪个可以保存拉回覆盖其图像中的对象 $X\in\mathcal{C}$ 任何物体，自然变换

$\eta_{\diamond_{/X}}\colon id_{\mathcal{C}（C）_{/X}}\到\钻石{/X{$ 道具的。
$\mu_{\diamond_{/X}}\colon\diamone_{/X}\circ\diamond_{/X$ 来自道具。

构成单子结构 $（\diamond_{/X}，\mu_{\diamone_{/X}}，\ta_{\diamond_}/X}}）$ 关于切片算子 $\金刚石{/X}$ 定义的。.

如果此外 $\金刚石$ 是幂等的，那么也是 $\金刚石{/X}$ .

证明

通过形成cospan态射并在相应的回调之间引入映射，这遵循了monad结构 $（\diamond，\mu{\diamond}，\eta{\diamend}）$ 与道具证明中的论点相同。.

备注

如果 $\金刚石$ 是一个幂等单子，因此是一个闭包操作符，然后，通过这里的讨论，monad单元显示了一个范畴的等价性在图像中的对象之间 $\金刚石$ 和 $\金刚石$ -闭合对象。

因此，在这种情况下 $\金刚石$ 在其图像中的对象上保留回调相当于在其上保留回调 $\金刚石$ -闭合对象。在这个表格中，我们将主要在下面说明这种情况。

提议

让 $\菱形\冒号\mathcal｛C｝\到\mathcal｛C｝$ 成为幂等单子保持拉回 $\金刚石$ -闭合对象。然后是闭合的对象 $p\in\mathcal公司{C}（C）_{/X}$ ，定义。诱导幂等单子的 $\金刚石{/X}$ 在任何一个 $X\in\mathcal{C}$ 正是那些物体 $（E \ stackrel{p}{\ to}X）$ 其中自然广场 $\金刚石$ -单位为拉回平方英寸 $\数学{C}$ .

证明

根据定义。我们需要证明 $p\in\mathcal公司{C}（C）_{/X}$ 的相应组件 $\金刚石{/X}$ -单位 $\eta_{\diamond_{/X}}（p）$ 是一个同构准确地说，如果

\阵列{E&\stackrel{\eta_{\diamond}E}{\to}&\diamond E\\\向下箭头^{\mathrlap{p}&&\downarrow^{\mathrlap}\diamond p}\\X&\stackrel{\eta_{\diamond}X}{\to}&\diamond X}

是中的拉回图 $\数学{C}$ .通过道具。和道具。，此图中的通用地图，视为圆锥体在基础上科斯潘，精确到极限锥 $\eta_{\diamond_{/X}}（p）$ 因此，该主张遵循了拉回的普遍性。

作为def的特例。因此，我们现在对以下内容感兴趣。

定义

对于 $\菱形\冒号\mathcal｛C｝\到\mathcal｛C｝$ 一个幂等单元保持拉回 $\金刚石$ -闭合对象，写入

（\mathcal{C}（C）_{/X}）{\金刚石{/X{}\钩右箭头\马查尔{C}（C）_｛/X｝

的完整子范畴的切片地形上 $\金刚石{/X}$ -闭合对象。

n实验室闭合算子

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模式、结束和反思

目录

想法

定义

定义

定义

示例

诱导切片闭合

定义

提议

证明

提议

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提议

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