目录

想法

范畴理论是一个工具集，用于描述中的一般抽象结构数学.

将其形式化的概念是类别：可以是组成如果它们相邻

中央建筑

预升

范畴理论的力量很大程度上在于它对自身的反思。例如仿函数在两个类别之间形成一个类别：函子范畴.

这导致了预切类别和层拓扑。范畴理论的大部分是拓扑理论.

低于伊斯贝尔对偶这为数学中与空间和代数以及它们的二元性。

通用结构

虽然它是基本的，但类别支持一组强大的构造：通用结构。这些包括

• 限制和上极限；

• 附加；

• Kan扩展

• 结束和共同（coend）.

所有这些都是彼此的特殊情况，因此反映了一个单一现象的不同方面。应用范畴理论意味着在特定情况下应用这些结构，并使用一般抽象定理来演绎关于具体上下文的陈述。

中心定理

范畴理论有几个中心引理和定理。他们的证明通常很容易，有时几乎是同义反复的。他们的力量在于他们一遍又一遍地应用于数学。许多具体的结构被简化了，因为它们只是范畴理论中这些一般抽象结果的特殊实现。这些中心定理包括

• 首先是：米田引理；

• 伊斯贝尔对偶；

• 这个格罗森迪克建筑；

• 这个伴随函子定理；

• 这个一元性定理；

• 塔纳卡对偶.

应用

有关应用程序的详细列表，请参阅

• （高等）范畴理论的应用.

在纯数学中

除了在数学中的一般作用外，范畴理论还为

• 逻辑/类型理论

• 高等代数

• 高等几何.

数学之外

在纯数学之外，范畴理论在

• 基本的物理学–请参见高等范畴理论与物理学

• 理论的计算机科学

在化学、网络理论和自然语言处理等不同领域中的应用越来越多。有关更多信息，请访问应用范畴理论第页。

与其他物体的理论对比

范畴理论与集合理论

这里假设集合论是集合的通常概念的理论，即材料 集合论.

作为数学的基础，没有一个比另一个更基础。范畴理论是一种整体（结构）的数学方法，可以（通过Lawvere的方法ETCS系统)提供基础数学和（通过代数集合论)再现所有不同的公理集合理论；基本范畴理论不需要集合的概念。集合论是一种分析方法（元素论），只要包含处理大类别的技术（例如通过使用班es而不是集合，或者通过将不可数的无法接近的红衣主教存在，甚至是那样格罗森迪克宇宙存在）。

集合论		范畴理论
成员关系		-
套		类别
元素		物体
-		态射
功能		仿函数
元素之间的方程式		对象之间的同构
集合之间的方程式		类别之间的等价性
函数之间的方程式		函子之间的自然变换

劳弗尔指出，集合论是由二元隶属关系公理化的，范畴论是由三元组合关系公理化成的。

从集合到类别的过程是分类而反向过程是去范畴化.

关于涵盖和比较集合、结构主义（a la Bourbaki？）和范畴的基础的哲学思考，请参阅文章

• 集合、范畴与结构主义——科斯塔斯·德罗索斯

范畴理论与秩序理论

类别可以被认为是分类的偏序集而不是设置; 范畴理论的大部分（但并非全部）也出现在秩序论.

请参见范畴理论与秩序理论更多讨论。

定理

• 米田引理

• 伊斯贝尔对偶

• 格罗森迪克建筑

• 伴随函子定理

• 一元性定理

• 伴随提升定理

• 塔纳卡对偶

• 加布里埃尔·尤默对偶

• 小对象参数

• Freyd-Mitchell嵌入定理

相关概念

• 形式范畴理论

• 丰富范畴理论

• 内部类别理论

• 类型理论

  • 范畴理论与类型理论的关系

• 计算机科学

  • 计算三位一体

工具书类

有关更多信息，请参阅参考资料类别.

历史

以下概念类别,函子和自然转化于引入

• 塞缪尔·艾伦伯格,桑德斯·麦克莱恩,自然等价物通论《美国数学学会学报》582 (1945) 231-294 [doi:10.1090/S0002-9947-1945-00131-6,jstor:1990284]

显然（参见那里)灵感来源：

• 登塔尔,恩特维克伦根·冯·鲁门和伊赫伦·格鲁彭，公司。数学。4(1937) 145-234. [努姆达姆]

引入概念的理性类别就是引入仿函数，引入函子的原因是为了引入自然变换（更具体地说自然当量)为了准确理解“自然”在数学中的含义：

如果拓扑被公开定义为研究在有限交和无限并下闭合的集合族，这将对拓扑学的萌芽学生造成严重伤害。这样一个定义的数学正确性并没有揭示拓扑的任何内容，只不过它的基本公理可以变得相当简单。在范畴理论中，我们面临着同样的教学问题。我们很快将被迫给出的基本公理太简单了。

拓扑的一个更好的（虽然不是完美的）描述是，它是对连续映射的研究；范畴理论也可以更好地描述为函子理论。这两种描述在逻辑上都不能作为最初的定义，但它们更准确地反映了主题的当前和历史动机。

至少从历史上来看，要定义自然变化，就必须定义类别，这样的说法并不太容易误导人。

（来自Freyd 64，第1页)

和

范畴理论是克莱因格言的体现，即地图在数学中起着重要作用。如果这句格言是真的，那么重要的是类别之间的函子，而不是类别。情况就是这样。事实上，范畴的概念是最好的借口，因为为了有函子的概念，它是必要的。但这一进程并没有就此停止。函子之间有映射，它们被称为自然变换。正是为了定义这些，艾伦伯格和麦克莱恩首先定义了函子。

（来自弗雷德65，第二部分开始)

报纸艾伦伯格-麦克莱恩45是抽象概念的冲突代数（Mac Lane）和拓扑/同伦理论（艾伦伯格）。它最初被拒绝，理由是它没有内容，但后来被出版了。从那时起，范畴论几乎发展到了数学的所有领域，在数学之外找到了许多应用，甚至试图建立一个基础数学方面。

这段以及更多的历史在

• 桑德斯·麦克莱恩,透视中的概念和类别、AMS(pdf格式)

• 拉尔夫·克罗默,工具与对象：范畴理论的历史与哲学，科学网络。历史研究32(2007) [doi:10.1007/978-3-7643-7524-9]

另请参阅：

• Jean-Pierre侯爵,什么是范畴理论？，收录于G.Sica（编辑）什么是范畴理论？，Polimetrica（2006）221-256[pdf格式,语义学习者]

• Jean-Pierre侯爵,从几何的角度看范畴理论的历史与哲学，施普林格（2009）[doi:10.1007/978-14020-9384-5]

教科书

基本范畴理论

• 彼得·弗雷德,阿贝尔范畴——函子理论简介，Harper and Row（1964），《范畴理论与应用中的再版》，三(2003) [塔克：tr3,pdf格式]

• 彼得·弗雷德,函子和模型理论，in：会议记录模型理论研讨会北荷兰（1965）[doi:10.1016/C2013-0-11897-1]

• 巴里·米切尔,范畴理论、纯数学和应用数学17，学术出版社（1965）[ISBN:978-0-12-499250-4]

• 桑德斯·麦克莱恩（注释由埃利斯·库珀),范畴理论讲座Bowdoin暑期学校（1969年）

• 彼得·希尔顿（编辑）范畴理论、同调理论及其应用,

  第1卷：数学课堂讲稿86斯普林格（1969）[doi:10.1007/BFb0079380]

  第二卷：数学课堂讲稿92斯普林格（1969）[doi:10.1007/BFb0080761]

  第三卷：数学讲义99斯普林格（1969）[doi:10.1007/BFb0081959]

• 博多·帕雷吉斯,类别和函数、纯数学和应用数学39，学术出版社（1970）[doi:10.5282/ubm/epub.7244,pdf格式]

• 桑德斯·麦克莱恩,数学工作者的范畴，数学研究生课程5施普林格（1971年，第二版，1997年）[doi:10.1007/978-1-4757-4721-8]

• 约翰·格雷,形式范畴理论：伴随$2$-类别，数学课堂讲稿，391，施普林格1974(doi:10.1007/BFb0061280)

  (形式范畴理论在中2类 猫)

• 霍斯特·舒伯特,类别施普林格（1972）[doi:10.1007/978-3-642-65364-3]

• 罗伯特·杰罗赫,数学物理芝加哥大学出版社（1985）[国际标准图书编号：9780226223063]

  （通过以下示例介绍类别：数学物理)

• 吉里·阿达梅克,霍斯特·赫利奇,乔治·斯特雷克,抽象和具体类别，John Wiley and Sons，New York（1990），再版为：类别理论和应用中的再版17(2006) 1-507 [战术：tr17,书籍网页]

• 彼得·弗雷德,安德烈·塞德洛夫,类别、寓言《数学图书馆》第39卷，北荷兰（1990年）(国际标准图书编号978-0-444-70368-2)

• 本杰明·皮尔斯,计算机科学家的基本范畴理论, 1991 20 (出版商)

• 弗朗西斯·博尔塞克斯,范畴代数手册，数学百科全书及其应用50剑桥大学出版社（1994）

• 罗伊·克罗尔,类型的类别，剑桥大学出版社（1994）[doi:10.1017/CBO9781139172707]

  (范畴语义学属于类型理论)

• 巴尔,查尔斯·威尔斯,计算科学的范畴理论《Prentice-Hall计算机科学国际丛书》（1995）；再版：类别理论与应用的再版22(2012) 1-538 [pdf格式,战术：tr22]

  （瞄准计算机科学，请参阅计算三部曲)

• 史蒂夫·阿沃迪,范畴理论，牛津大学出版社（20062010）[doi:10.1093/acprof:oso/9780198568612.001.0001,国际标准图书编号：9780199237180,pdf格式]

• 柏原正树,皮埃尔·夏皮拉,类别和滑轮, 2006

• F.威廉·劳弗尔和斯蒂芬·沙努埃尔,概念数学：范畴导论,$2^{nd}$剑桥大学出版社2009年版(pdf格式)

• 大卫·斯皮瓦克,科学家的范畴理论(arXiv:1302.6946)

• 汤姆·伦斯特,基本范畴理论, 2014

• 艾米丽·里尔,语境中的范畴理论，多佛出版社（2017）[pdf格式]

• 马丁·勃兰登堡,《凯特戈里安托里》中的艾因芙鲁2017年施普林格

  (doi:10.1007/978-3-662-53521-9)

• 布伦丹·方,大卫·斯皮瓦克,应用范畴理论邀请, 2018 (网状物,pdf格式)

• 克里斯·希恩,杰米·维卡里,量子理论的范畴，牛津大学出版社2019(国际标准图书编号：9780198739616)

  （强调单体范畴-着眼于短剑紧范畴下的有限量子力学和量子计算)

• 马克·格兰迪斯,范畴理论与应用：初学者教材，《世界科学》，2021(doi:10.1142/12253)

论中的范畴理论计算机科学/程序设计语言（例如计算机科学中的单子):

• 巴托斯·米洛夫斯基（由Igal Tabachnik编辑），程序员的范畴理论、Blurb（2019）[pdf格式,github,网页,国际标准图书编号：9780464243878]

Topos理论

专著关注拓扑理论:

• 皮特·约翰斯通,拓扑理论, 1977.

• 巴尔,查尔斯·威尔斯,拓扑、三元组和理论格兰德伦数学。Wissenschaften 278斯普林格1983(TAC重印)

  （此处“三重”的意思是“单子”).

• 罗伯特·戈德布拉特,托波伊，逻辑的范畴分析, 1984 (gbnooks公司)

• 科林·麦克拉蒂,基本范畴，基本主题，牛津大学出版社1992(国际标准图书编号：9780198514732)

• 列克·莫尔迪克,莱恩,几何和逻辑中的滑轮施普林格1992

• 皮特·约翰斯通,大象素描第1-2卷，牛津大学出版社2002

高级范畴理论

• 卡洛斯·辛普森,高等范畴的同伦理论(pdf格式)

• 项目描述：高级分类结构及其应用(pdf格式)

• 雅各布·卢里,高等地形理论(pdf格式)

• 汤姆·伦斯特,更高的操作数，更高的类别,数学。CT/0305049

• 尤金妮娅·程,亚伦·劳达,高维类别：插图指南 在线免费

朝着同伦理论:

• 比吉特·里希特,从范畴到同伦理论《剑桥高等数学研究》188，剑桥大学出版社2020(doi:10.1017/9781108855891,书籍网页,pdf格式)

基础

这个基础范畴理论同伦型理论（请参阅同伦类型理论中的内部范畴)在中进行了讨论

• Benedikt Ahrens公司,克里斯·卡普尔金,迈克尔·舒尔曼,单价类别和Rezk完成(arXiv公司：1303.0584)

课程笔记

• 贾普·范·奥斯滕,基本范畴理论(2002) [pdf格式]

• 托马斯·斯特里彻,范畴理论与范畴逻辑导论(2003) [pdf格式,pdf格式]

• 博多·帕雷吉斯,范畴理论（2004年）[数字视频接口,秒,pdf格式]

• 汤姆·伦斯特,关于基本范畴理论的注记(2007) [网状物]

• 大卫·斯皮瓦克,科学家的范畴理论[arXiv:1302.6946]

• 皮特·约翰斯通,范畴理论，剑桥大学David Mehrle的演讲笔记（2015）[pdf格式]

• 保罗·佩罗内,用基础数学中的例子说明范畴理论(2019) [arXiv:1912.10642号]

• 安德烈·乔亚尔,类别

• Benedikt Ahrens公司还有Kobe Wullaert，程序设计的范畴理论（2022年）[arXiv公司：2209.01259]

视频

• Catster，关于范畴理论中各种主题的视频。(YouTube链接)

介绍性视频，涵盖范畴理论的基本概念和结构。卡特斯夫妇尤金妮娅·程和西蒙·威勒顿（还有其他人吗？）。

• 汤姆·拉加塔,范畴理论(视频)

概率理论家所作的充满热情的、大多是非技术性的演讲，使观众对范畴理论一无所知。

与哲学的关系

讨论与动机的关系数学哲学包括

• 科林·麦克拉蒂,希尔伯特《哥廷根》中的最后一位数学家：桑德斯·麦克·莱恩作为数学哲学家，英国。J.Phil.科学。2007 (pdf格式)

更多资源和链接

最初，有几个类别理论家网络在国家层面上组织起来，旨在联合力量组织会议、在线研讨会等：

• 范畴理论家网络.