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介绍

两者都有范畴理论和图论研究模式基于图表由节点和边组成。尽管有这种表面印象，但事实上，范畴理论家和图形理论家的科学团体之间几乎没有互动。

本文是一座适度的桥梁，表明类别属于图（在通常的图表-理论者的意义上-参见示例迪斯特尔)有一些非常好的特性。

简单图形作为关系

由简单的图表，我们的意思是设置 $V（V）$其元素被称为顶点，以及一组2元素子集$\{x，y\}$属于$V（V）$; 这些被称为边缘图形的。

形成一类简单图形有多种方法。也许最简单的方法是定义图的形态$G至H$成为一个函数$f： V至W$在顶点集之间，以便$\{f（x），f（y）\}$是的边缘$H（H）$无论何时$\{x，y\}$是的边缘$G公司$.

另一个选项——这是本文选择的选项——首先将一个简单的图视为携带与集合相同的信息$V（V）$配备有对称的 反射的 关系 $E类$的确，这样的关系决定了（并且是由）一个简单的图形$G公司$给定顶点的位置$x、 y\单位：V$，有一个边缘$\{x，y\}$之间$x个$和$年$在里面$G公司$iff两者$E中的（x，y）$和$x\neq年$.我们会写$E（x，y）$意思是$E中的（x，y）$.

然后，在关系公式下，我们定义了一个态射$（V，E）至（W，F）$在简单图之间¹作为函数$f： V至W$保持相关结构，即$E（x，y）$暗示$F（F（x），F（y））$偏爱这种态射概念的一个原因是，例如，它允许考虑简单图的任意边收缩商在类别中（参见。图形次要)在先前的态射概念下是不可能的。

因此，我们将采用后一种采用自反对称关系的态射概念$E类$作为主要用户。由此产生的类别简单图的$SimpGph公司$.

注意，通过将简单图视为特殊类型的预升，如下所示。让$C类$是集合的类别$1\coloneqq\{\ast\}$和$2\coloneqq\{s，t\}$以及它们之间的功能。然后是预治疗$X： C^｛op｝\设置$由集合给出$V=X（1）$和$E=X（2）$和地图

• $d_0:X（2）\stackrel{X（\ast\mapstos）}{\to}X（1）$（源地图），

• $d_1:X（2）\stackrel{X（\ast\mapstot）}{\to}X（1）$（目标地图），

• $i： X（1）\stackrel{X（s，t\mapsto\ast）}{\to}X（2）$（反射贴图），

• $\西格玛：X（2）\stackrel$（对称图）。

满足中等式施加的适当恒等式$C类$.然后可以考虑简单的图形同等地这样就可以在地图

是一个单态在这种情况下，简单图的态射等于自然转化在这种预升之间。

关于图的其他概念的旁白

nLab中定义的“简单图形”（请参见图表)表示边是$V（V）$当然，这并不排除考虑其他类型的图形。一种选择是考虑集合$V（V）$配备有$V（V）$基数为1或2，即允许一些但不一定所有的循环作为边。我们不称这些为“简单图”（图表它们被称为“循环图”），但在直接的态射概念下，它们形成了一个值得尊敬的类别$（f）$（如果$\{x，y\}$是域的边缘，可能具有$x=y$，然后$\{f（x），f（y）\}$是尾波的边缘）。Chih和Scull使用这个类别，他们称之为$每小时Gph$，在他们的论文中图范畴中的同伦.

的属性$SimpGph公司$

类别$SimpGph公司$具有很好的性能。例如，

这很容易描述单糖和上位在里面$SimpGph公司$对于，让$\Gamma=\hom（1，-）：SimpGph\设置$是底层顶点集健忘函子.

我们省略了简单的证明。接下来我们有两个简单的结果：

由此可见$\Gamma:SimpGph\设置$两者都保留并反映了monos和epis。因此，我们可以在$SimpGph公司$例如：

如前所述，存在一系列伴随函子$\Delta\dashv\Gamma\dashv-nabla：设置为SimpGph$。但实际上链中有第四个函子：$\三角洲$有一个左伴随词$\Pi:SimpGph\设置$，的连接的组件函子。如果$E类$是由两个顶点组成的简单图$a、 b条$在它们之间有一个边缘，然后有一个反射叉

和$\圆周率$形成为自反共均衡器诱导图：

均衡器和协均衡器

如果$f、 g \冒号g \ stackrel｛\ to｝｛\ to｝H$地图在吗$SimpGph公司$，然后他们均衡器 $等式（f，g）=i冒号K到g$在顶点级别由以下公式给出

在边缘水平$K（x，y）\左右箭头G（i（x），i（y））$; 换句话说，如果$x、 年$属于$K$他们之间有一个边缘$G公司$那么边缘就在$K$为了表示最后一个条件，我们称之为子图$我$是满的（在边缘级别）。

因此，$我$是普通单声道$SimpGph公司$iff两者$\伽马（i）$monic在$设置$和$我$边缘水平满（参见备注).

这个协调剂属于$（f）$和$克$，说吧$系数（f，g）=q\colon H\to q$，在顶点级别由

并通过拍摄合成物的图像在边缘级别$E_H\hookrightarrow垂直（H）^2\stackrel{q^2}{\to}垂直（q）^2$，所以

因此，$q个$是一个正则同态如果它在顶点和边级别上都是surpjective。

三元因式分解

简单图的类别有一个三元因式分解系统如下所示：每个态射$f\冒号G\至H$因素为

哪里

• $q个$是顶点集之间和边缘层上的满射，即是常规计划免疫;

• $一$导出顶点集之间的恒等式（因此为monic和epic联手?)，但在边缘级别不一定是满的；

• $我$由顶点集之间的注入给出，并且在边缘级别是满的，因此是常规单声道.

因子分解$（f）$进入之内$q个$然后$i \circ循环$是（常规epi）-单因子分解，而$（f）$进入之内$a \circ q（循环q）$然后$我$是epi-（常规单）因式分解。（事实上，正则mono在pushout下是稳定的，用于确保epi-（正则mono）因式分解是正交分解系统，是真的，因为$SimpGph公司$，作为拟拓扑，是一个共角范畴，表示$SimpGph^{op}$是有规律的.）这两种因式分解在顶点集之间的基础函数层次上一致，都是通常的表单因式分解。

特别是，我们有简单的事实

• $（f）$是mono iff$q个$是一个图同构：monos in$SimpGph公司$是在顶点和边上内射的简单图映射，

• $（f）$是epi-iff$我$是一个图同构：epis in$SimpGph公司$是顶点上的简单图映射。

子类别

图论提出了$SimpGph公司$。请参阅从图论的角度看简单图的范畴了解更多详细信息。

自然数对象

类别$模拟Gph$有一个自然数对象; 在抽象的基础上，这是通过应用反射函子而形成的

到中的自然数对象$设置^{C^{op}}$.

工具书类

• 阿达梅克和霍斯特·赫利奇，笛卡尔闭范畴、拟拓扑和拓扑宇宙.公共数学。卡罗尔大学。，第27卷，第2期（1986年），235-257。(网状物)

• Tien Chih公司?,劳拉·斯卡尔,图范畴中的同伦, (arXiv:1901.01619)

• Reinhard Diestel，图论（第二版），数学研究生教材173，Springer（2000）。