n实验室预升类别

上下文

地形理论

范畴理论

X_{\bullet}\，\colon\，\mathcal{I}\longrightarrow PSh（\mathcal{C}）\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vdash公司\;\;\;\;\;\;\;\;\;\在Obj（\mathcal｛c｝）｝｛\fall｝中的底部\;\;\;\;\大(\underset{underset}i\in\mathcal{i}}{longrightarrow}}{lim}X_i\大）（c）\;\模拟\；\underset（下标）{underset{i\in\mathcal{i}}{longrightarrow}}{lim}\大(X_i（c）\大）\;\;\;\;\文本{和}；\；\；\大(\underset{\underset}i\in\mathcal{i}}{\longleftarrow}}{lim}X_i\大）（c）\;\模拟\；\underset{\underset}{i\in\mathcal{i}}{\longleftarrow}}{lim}\大(X_i（c）\大）

证明

定义普遍性很容易遵循对象（co-）极限。

提议

形态 $X\xrightarrow{\；f\；}Y$ 预升 $十、 Y\，\in\，PSh（\mathcal{C}）$ 是一个满态或单态确切地说，如果是这样的话对象属于 $\数学{C}$ ，因此，如果它是object-wise灌水或注射分别是。

证明

例如，使用通过推出(本道具。)和单态的拉回(本道具。)，声明后接Prop。.

现在假设 $\数学{C}$ 是一个小类别.

提议

$PSh（\mathcal{C}）$ 是一个笛卡尔闭范畴.

证明

这一点在预应力上的闭合单体结构.

提议

$PSh（\mathcal{C}）$ 是一个地形.

证明

这是的基本情况层拓扑等价于层前拓扑的左精确反射子范畴.

预升的类别 $PSh（\mathcal{C}）$ 是自由共完成属于 $\数学{C}$ .
这个米田引理说的是Yoneda嵌入 $j\colon\mathcal{C}\到PSh（\mathcal{C}）$ 尤其是完全忠实函子.
成型（co）-预升结构延伸至2-函子

$[-，Set]：分类到Topos$

来自2类猫到2类托普斯。（请参阅几何态射该部分预剪切地形之间详细信息。）
A类反射子范畴预升类别的本地可呈现类别如果在以下情况下关闭 $\卡帕$ -定向大肠杆菌s代表一些正规红衣主教 $\卡帕$ （嵌入是可及函子).
A类亚地形预升类别的格罗森迪克地形：a滑轮类别（详情请参阅）。

（共同）家庭专制

从预升到集合族有一个函子 $U:Psh（C）\到集合^{Ob（C）}\cong集合/Ob（C）$ 由遗忘给出 $C$ 。此函子是一元的和共鸣曲的.

功能性

请参见预升类别的功能性.

特征

以下内容吉拉德式定理来源于Marta Bunge的论文（1966）

定理

A类 $E类$ 等价于预处理拓扑当且仅当它是共同完成,精力充沛的,联合动力良好,原子的，以及有规律的.

该特征已被证明适用于丰富的定理4.16中的presheaf范畴Bunge 1969年（推论4.19针对非丰富声明）。

第二个特征使用精确完井可以在Carboni-Vatale中找到(1998)或Centazzo-Vitale(2004):

定理

A类别 $E类$ 等价于预处理拓扑当且仅当它是局部较小,广泛的,准确的有一小部分投射和不可分解发电机.

(1998)与范畴的经典表征也有一个有趣的比较一元的超过设置。

超类别和超类别预升的预升

让 $C$ 成为类别, $c（c）$ 一个对象属于 $C$ 然后让 $信用证$ 成为超类别属于 $C$ 结束 $c（c）$ .写入 $PSh（C/C）=[（C/C）^{op}，集合]$ 对于的类别预应力在 $信用证$ 然后写 $PSh（C）/Y（C）$ 对于超类别属于预应力在 $C$ 在预堆上 $是（c）$ ，其中 $Y:C\至PSh（C）$ 是Yoneda嵌入.

提议

有一个等效类别的

e:PSh（C/C）\stackrel{\simeq}{\to}PSh（C）/Y（C）\,.

证明

函子 $e（电子）$ 拿 $F\单位PSh（C/C）$ 至预治疗 $F'：d\mapsto\sqcup_{F\在C（d，C）}F（F）中$ 具有自然转化功能 $\eta:F'\至Y（c）$ 带组件映射 $\eta_d\sqcup_{f\in C（d，C）}f（f）\to C（d、C）$ .

的弱逆 $e（电子）$ 由函子给出

\巴e:PSh（C）/Y（C）\至PSh（C/C）

它发送 $\eta:F'\至Y（C））$ 到 $F\在PSh（C/C）中$ 由提供

F:（F:d\到c）映射到F'（d）|_c\,,

哪里 $F’（d）|_c$ 是拉回

\阵列{F'（d）|_c到&F'（d）\\\向下箭头&&\向下箭头^{\eta_d}\\pt&\stackrel{f}{\to}&C（d，C）}\,.

例子

假设预兆 $F\单位PSh（C/C）$ 实际上并不依赖于 $C$ 也就是说，假设它通过来自超类别到 $C$ :

F:（C/C）^{op}\到C^{op{\到Set\,.

然后 $F'（d）=\sqcup_{F\在C（d，C）}F（F）中=\sqcup_{f\在C（d，C）}f（d）中\西马克C（d，C）\乘以F（d）$ 因此 $F’=Y（c）\乘以F$ 关于预应力上的闭合单体结构.

另请参见函子和逗号类别.

对于中的模拟语句（∞，1）-范畴理论见

（∞，1）-（∞、1）-预升类别-与超类别的相互作用

备注

考虑 $\int _ C Y（C）$ ，的元素类别属于 $Y（c）：要设置的c^｛op｝\$ 。它有对象 $（第1天，第1天）$ 具有 $p_1\在Y（c）（d_1）中$ ，因此 $第1页$ 只是一支箭 $d_1至c$ 在里面 $C$ 。来自的地图 $（第1天，第1天）$ 到 $（第2天，第2天）$ 只是一张地图 $u： d_1\到d_2$ 这样的话 $p_2\circ u=p_1$ 但这只是来自 $第1页$ 到 $第2页$ 在里面 $信用证$ .

因此，上述命题可以改为 $PSh（\int_C Y（C））\simeq PSh（C）/Y（C$ 这是以下公式的一个实例：

提议

让 $P： C^{op}\设置$ 做一名护士。然后有一个范畴的等价性

PSh（\int_C P）\simeq PSh（C）/P\,.

在需要的对象上 $F:（\int_C P）^{op}\设置$ 到

i（F）（A\ in C）=\｛（p，A）|p\ in p（A），A\ in F（A，p）\｝=\ Sigma_｛p\ in p（A）｝F（A，p）

具有明显的投影 $P（P）$ .逆取 $f:Q\至P$ 到

i^{-1}（f）（A，p在p（A）中）=f_A^{-1{（p）；。

有关证据，请参见卡西瓦拉·夏皮拉（Kashiwara-Schapira）（2006年，引理1.4.12，第26页）有关Grothendieck拓扑切片的更一般的说明，请参见Mac Lane-Moerdijk（1994年，第157页）.

特别是，这种等效性表明预处理拓扑的切片是预处理拓扑.

Artin胶

前面的陈述分段可以进一步概括为：

定理

让 $T：将^{C^{op}}\设置为^{D^{op{}}$ 做一个保持不变的函子宽幅拉回.然后Artin胶合 $（设置^{D^{op}}\向下箭头T）$ 也是一个预兆拓扑。

证明

函子 $T型$ 是家族代表性的：有一个函子 $D^{op}\到Fam（设置^{C^{op{}）$ 变成小的余积余完备属于 $设置^{C^{op}}$ ，采取 $Ob（d）中的d\$ 到正式的副产品 $\T（1）（d）}W{（d，x）}中的和{x\$ 预升 $W_{（d，x）}:C^{op}\设置$ ，因此 $T（F）型$ 由公式给出

在T（1）（d）}集合^{C^{op}}（W_{（d，x）}，F）中，T（F）（d。

Artin粘合本身可以描述为拼贴的亵渎者 $W：向右箭头（y_D\向下箭头T（1））$ 由公式定义

W（c；（d，x:d（-，d）到T（1）））=W_{（d，x）}（c）。

有关详细信息，请参见附录C.3伦斯特。结果是由于卡博尼和约翰斯通.

顺便说一句，我们注意到小的副产品协同完成 $Fam（集合^{C^{op}}）$ 本身就是一个预兆拓扑：有等价物

Fam（集合^{C^{op}}

哪里 $\Delta：设置\为设置^{C^{op}}$ 是对角函子，以及 $C类_+$ 是自由连接的结果初始对象到 $C$ ，即范畴序数和 $1+_西格玛C$ 类别的( $1$ 存在终端)，也称为圆锥体属于 $C$ .

有限预升

A类有限预切关于一个范畴 $C$ 是函子 $C^{op}\到FinSet$ 价值在有限集范畴有限预升的类别格罗森迪克地形因为没有无限的极限，但它们仍然可以被证明是基本地形例如，在 $FinSet（FinSet）$ 自身。

通过研究普通预升类别是拓扑的证明，我们发现当应用于有限类别时，结构保持在有限预升范围内 $C$ 即只有有限个态射集的一个。因此，有以下几点

提议

让 $C$ 有限的范畴。那么有限预升的类别 $[C^{op}，FinSet]$ 是一个拓扑。 $\qed（质量工程师）$

注意，类别 $[G，FinSet]$ 有限的 $G公司$ -集合是拓扑，即使在组 $G公司$ 是无限的！在这种情况下，至关重要的是 $\Omega=空集，G\｝$ 在里面 $[G，设置]$ 是一个有限集。

（参见。Borceux（1994年，第299页）)

堆前地形模型

请参阅堆前地形模型.

$\幻影{A}$ （n，r）-类别 $\幻影｛A｝$	$\幻影{A}$ 地形 $\幻影{A}$	本地可展示	局部有限压力	局部化定理	自由共完成	可接近的
（0,1）-范畴理论	区域设置	超晶格	代数格	波斯特定理	动力装置	偏序集
范畴理论	地形	本地可呈现类别	局部有限可表示范畴	阿达梅克·罗西克定理	预切类别	可访问类别
模型范畴理论	模型地形	组合模型类别		达格尔定理	全球的简单预升模型结构	不适用
（∞，1）范畴理论	（∞，1）-拓扑	局部可表示（∞，1）-范畴		辛普森定理	（∞，1）-预处理（∞、1）-范畴	可访问（∞，1）-类别

工具书类

原始讨论：

玛尔塔·邦吉,集值函数的分类，宾夕法尼亚大学博士论文（1966年）[pdf格式]

https://ncatlab.org/nlab/files/Bunge-SetValuedFunctors.pdf

M.阿廷,A.格罗森迪克,J.L.Verdier（威尔第）（编辑），Topos与Schale des Schémas同源-SGA 4号机组，LNM 269 Springer（1972）

基本说明：

巴尔,科林·麦克拉蒂,查尔斯·威尔斯,变量集理论，准备用于科学美国人但未发表（~1985）[pdf格式,pdf格式]

简介：

玛丽·拉帕尔梅·雷耶斯,冈萨洛·雷耶斯,霍曼·佐尔法哈里,通用图形及其胶蛋白。函子范畴的构造方法，脊髓灰质炎（2008）[pdf格式，国际标准图书编号：8876990046]

另请参阅一般的大多数帐户拓扑理论，例如：

弗朗西斯·博尔塞克斯,范畴代数手册3：滑轮的分类剑桥大学出版社，1994年。
柏原正树,皮埃尔·沙皮拉,类别和滑轮斯普林格·海德堡，2006年。
莱恩,列克·莫尔迪克,几何和逻辑中的滑轮斯普林格·海德堡，1994年。

中讨论了预升类别的特征

玛尔塔·邦吉,代数的相对函子范畴和范畴《代数11》，第1期（1969年），第64–101页。网状物,MR236238型国防部
A.碳纤维,E.M.维塔尔,定期准确完成，JPAA 125（1998），79-116。
C.Centazzo，E.M.维塔尔,层论，第311-358页，佩迪奇奥，托伦（编辑），分类基础剑桥大学2004。(草案)

堆前地形的Artin胶合的结果是由Carboni和Johnstone造成的，

奥雷里奥·卡博尼和皮特·约翰斯通,关联极限、家族代表性和Artin粘合《计算机科学中的数学结构》，第5卷，第4期（1995年12月），441-459。(链接)

并在Tom Leinster的书的C.3节中进行了解释，

汤姆·伦斯特,更高的类别，更高的操作, (https://arxiv.org/abs/math/0305049).

上次修订时间：2024年1月30日21:46:09。请参阅历史获取所有贡献的列表。

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内部逻辑

Topos形态

额外的材料、结构、属性

上同调与同伦

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