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想法

在基础属于数学，一个无穷大公理是任何断言无限集存在。在集合论和集合水平类型理论，无限集不能从有限集构造而来，因此必须将它们的存在假设为一个额外的公理。进一步的公理，在这种情况下，断言不能从较小的集合构造出更大的集合的存在，被称为大红雀公理。

声明

自然数

无穷公理的一种常见形式是：$N个$属于自然数存在。在材料中集合论这通常采取断言冯·诺依曼序数 $\欧米茄$存在，其中$\欧米茄$以最小集为特征$\空集\in\omega$无论何时$一个\英寸\欧米茄$然后$一杯欧米茄$.

在依赖型理论，可以定义塔斯基宇宙 $（V，\英寸）$属于纯集合其表现为物质集合论塔斯基宇宙的普适类型族由类型族给出$x： V\vdash\sum_{y:V}y\in x$. The无穷大公理如下所示推理规则:

这个归纳公理模式如下所示推理规则:

在结构集理论中，无穷公理的通常形式是自然数对象.

在依赖型理论，的自然数类型对于塔斯基宇宙由元素给出

或

它表明有一个自然数类型在宇宙中。

有另一种方法可以表达塔斯基宇宙中的无限公理，即调整集合截断的有限类型的类型在里面$U型$，自$\mathrm{isFinite}$和集合截断可从命题类型在里面$U型$,$\sum_{A:U}\mathrm{isProp}（A）$，但它们通常都很大，因此必须将大小调整为较小：

整数

归纳定义

与其通过归纳原理定义自然数，不如定义整数通过其归纳原理，然后利用不相交并是不相交的事实$\mathbb{Z}\cong\mathbb}Z}\uplus\mathbb[Z}$构造自然数。

二阶定义

或者，可以假设（三叉）有序积分域 $\矩阵{Z}$，使得$\矩阵{Z}$相当于不适当子集属于$\矩阵{Z}$。这定义了整数，因为整数是最初的（三分）有序积分域和严格首字母。由于自动定义的整数带有总订单 $\勒克$和a伪阶 $\它$，可以将自然数定义为非负整数的集合。

有理数

如果有发电机组，可以假设(三叉的)有序字段 $\mathbb{Q}$，这样每一个（三叉的）排序子字段属于$\mathbb{Q}$等于不当子集属于$\mathbb{Q}$。这定义了有理数，因为有理数是首字母（三分）有序字段和严格首字母。有理数自动无穷大，可以构造整数 $\矩阵{Z}$作为交叉所有的有序积分子域属于$\mathbb{Q}$，并且由于定义的整数自动带有总订单 $\勒克$和a伪阶 $\lt（左）$，可以将自然数定义为非负整数的集合。

概括

在NNO形式中，无穷公理推广到了感应式s或W型s.这些可以从NNO构造，如果动力装置s存在，但在表语的它们可以作为附加公理添加。

我们还可以假设扩展自然数而不是自然数集，因为扩展自然数集可数无限基数是绝对的二重的集合中的自然数末端余层内函子$F（X）=1+X$在集合中。这概括了共导类型或M型，可以作为附加公理添加。

我们还可以假设FinSet（FinSet），收集有限集合。在依赖型理论中，这是一个有限类型的类型，一个宇宙 $\数学{U}$这满足了有限性公理（见下文）。

选择

广义地说，有限数学是指不使用或不需要无穷公理的数学；有限主义者是一种极端的建构主义者他们认为，如果没有无穷公理，数学会更好，甚至这个公理是错误的。

更极端的情况是否认无穷大公理有限公理：每套为有限的，有限的。该页上给出的每个“有限”定义都有一个；以下是最有力的直接表述集合论作为公理归纳:

• 集合的任何不变性质同构并为空集合必须对所有集合都保持，如果，每当它对集合保持时$X（X）$，它适用于不相交联合 $X\uplus\{*\}$.

在物质集合论，考虑到基础公理（这保证了$X（X）$和$\{X\}$是不相交的):

• 任何为空集保留的集的属性都必须为所有集保留，只要它为集保留$X（X）$，它适用于联盟 $X\杯\{X\}$.

在更高的范畴术语中，上述有限性公理可以表述如下：设置是2-内函子的初始代数$F（X）\cong X\连杆1$在中（2,1）-类别 Grpd公司.

在依赖型理论，给定塔斯基宇宙 $（U、T）$在空类型，的单元类型、和总和类型宇宙有限性公理指出

• 对于所有类型族$A： U灰C（A）$这样的话$T（A）\simeq T（B）$意味着$C（A）\类似C（B）$，个元素$c_0:c（\mathbb{0}）$和相关函数$c_s:\prod_{A:U}c（A）\到c（A+\mathbb{1}）$，存在唯一的依赖函数$c： \prod_{A:U}c（A）$这样的话$c（\mathbb{0}）=_{c（\mathbb{0{）}c_0$以及所有人$A： 单位$,$c（A+1）=_{c（A+1”）}c_s（c（A））$.

在依赖型理论具有相关产品类型,相依和类型,身份类型,函数可拓性、和所有命题的类型，的有限公理因为整个类型理论是一个公理模式表示给定类型$一$，可以得出该类型为有限型:

哪里

上面使用的成员关系和子类型操作在上的nLab文章中定义亚型.

特别是，整个类型理论的有限性公理意味着排除中间原则对于所有命题的类型，因为唯一的有限命题是可判定命题此外，有限性公理意味着类型理论是一种集合水平类型理论因为每个有限类型都是h组.

相关概念

• 有限集合,有限对象

• 设置,FinSet（FinSet）

工具书类

• 维基百科，无穷公理

• 迈克尔·舒尔曼(2018). 比较材料和结构集理论。[arXiv:1808.05204号&r轨道。

关于对地形进行分类:

• 安德烈亚斯·布拉斯,拓扑的分类与无穷公理，代数普遍26(1989) 341-345 [doi:10.1007/BF0211840]

用于构建自然数来自整数:

• 克里斯蒂安·萨特勒,整数中的自然数(pdf格式)