n实验室替代代数

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定义

定义

考虑以下等式定律二进制运算（乘法书写）：

  • 左交替:(x个x个)年=x个(x个年)（x x）y=x（x y）;
  • 灵活性:(x个年)x个=x个(年x个)（x y）x=x（y x）;
  • 正确的替代性:(年x个)x个=年(x个x个)（y x）x=y（x x）.

满足这些条件之一的操作是左旋交替,灵活的，或右替代，并且它是可供替代的如果它既是左备选方案又是右备选方案。A类岩浆如果其二进制操作是这样的，则为是，并且非结合代数（或非结合环)如果其乘法运算是这样的，则为。

属性

A类可交换的操作/岩浆/代数必须是灵活的，如果它是右可选的，那么它就是左可选的（因此只是可选的）。安相联的操作/岩浆/代数既是可选的，也是灵活的。

在代数（但不是岩浆）中，任何具有这三个属性中的两个的代数都必须具有第三个属性。特别是，替代代数必须是灵活的。这源于以下关联方的特征描述。

就协会而言

提议

对于非结合代数 A类A类，根据定义交替。相当于协会会员，即三线图

[−,−,−]:A类⊗A类⊗A类⟶A类[-,-,-] \;\冒号\；音符A\音符A\longrightarrow A

由提供

[一,b条,c（c）]≔(一b条)c（c）−一(b条c（c）)[a，b，c]\coloneqq（a b）c-a（b c）

是交替，因为只要三个参数中的两个相等，结果就为零。

推论

可选性意味着关联器是不对称?，对于任何置换 σ\西格玛三种元素[一 σ 1,一 σ 2,一 σ 三]=(−1) |σ|[一 1,一 2,一 三][a{\sigma1}，a{\Sigma2}，a{\simma3}]=（-1）^{\vert\sigma\vert}[a1，a2，a3]对于|σ|{\vert\sigma\vert}这个排列的签名.超过领域谁的特征不同于22，或更普遍地说交换环在哪儿22是可逆的甚至是可取消的，交替性等价于结合子的偏对称性。

证明

在一个方向上，左交替直接表示联想符在前两个参数中交替：

[x个,x个,年]=(x个x个)年−x个(x个年)=(x个x个)年−(x个x个)年=0,【x，x，y】=（x x）y-x（x y）=，

正确的替代性在最后两个论点中表达了同样的内容：

[x个,年,年]=(x个年)年−x个(年年)=(x个年)年−(x个年)年=0.[x，y，y]=（x y）y-x（y y）=（x y）y-（x y）y=0。

为了完全交替，我们接着讨论使用关联器的多重线性：

[x个,年,x个]=[x个,x个,x个]+[x个,年,x个]+[年,x个,x个]+[年,年,x个]=[(x个+年),(x个+年),x个]=0.[x，y，x]=[x，x，x]+[x，y，x]+[y，x，x]+[y，y，x]=[（x+y），（x+y），x]=0。

多重线性还证明，在相邻参数中，关联因子是不对称的：

0=[(x个+年),(x个+年),z（z）]=[x个,年,z（z）]+[年,x个,z（z）]0=[（x+y），（x+y），z]=[x，y，z]+[y，x，z]
0=[z（z）,(x个+年),(x个+年)]=[z（z）,x个,年]+[z（z）,年,x个]0=[z，（x+y），（x+y）]=[z、x、y]+[z、y、x]

因此在所有论点中都是如此。

在另一个方向上，联想词的偏对称意味着通过

[x个,x个,年]=−[x个,x个,年] ⇔ 2[x个,x个,年]=0 ⇔ [x个,x个,年]=0\开始{对齐}&[x，x，y]=-[x，x，y]\\\左向右箭头&2[x，x，y]=0\\\左右箭头&[x，x，y]=0\结束{对齐}

使用以下假设22可在中取消A类A类和类似的[年,x个,x个]=0[y，x，x]=0.

提议

A类非结合代数是可选的，def。，道具。，如果子代数?由任意两个元素生成的是结合代数.

这是由于埃米尔·阿廷，请参见示例(谢弗95，第18页).

提议

唯一的选择除法代数超过实数是实数他们自己复数，的四元数和八元数.

这是由于(佐恩30).

示例

每结合代数具有选择性和灵活性。每李代数或乔丹代数是灵活的。

每Cayley–Dickson代数超过交换环 R（右）R（右）是灵活的。前三个（如果我们从实数，到实数，复数、和四元数)是关联的，因此是可选的。下一个（对应于八元数)尽管没有关联性（除非R（右）R（右）具有特征22). 之后（对应于塞德尼翁以及以上），它们甚至不是替代品（除非R（右）R（右）具有特征22).

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上次修订时间：2024年2月21日17:28:17。请参阅历史获取所有贡献的列表。

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