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定义

给定一个（通常代数闭的)字段$k个$，一个代数的$k个$-组是一个组对象属于$k个$-品种.

线性代数群与阿贝尔簇

有两类重要的代数群，它们的交集是平凡的（单位群）：线性代数群和交换簇。

任何代数群都包含唯一的正规线性代数子群$H（H）$这样他们的商数$G/H公司$是阿贝尔变种。

线性代数群

代数$k个$-组是线性的如果是扎里斯基-的闭子群一般线性群 $德国劳埃德船级社（n，k）$对一些人来说$n个$.

代数群是线性的，只要它是仿射的。

代数群方案是仿射的如果基础方案是仿射的.

仿射群方案的范畴是相反的交换范畴的Hopf代数.

阿贝尔变种

另一个重要的类是连通代数$k个$-其基础多样性为投射的; 这些是自动交换的，因此称为阿贝尔变种.在尺寸上$1$这些正是椭圆曲线s.如果$k个$是一个完全场和$G公司$代数的$k个$-群，Chevalley定理说有一个唯一的线性子群$H\子集G$这样的话$G/H公司$是阿贝尔变种。

椭圆曲线

维的阿贝尔变换$1$被称为椭圆曲线.

代数群的其他突出类

以下类的一些定义通常用于分组方案.

雅可比（Jacobian）

(…)

单幂代数群

（另请参见更一般的幺半群方案.)

属性

类别中的组对象代数方案和形式化方案s称为（代数）分组方案和正规群分别是。

群方案中有Shafarevich的“无穷维代数群”。

的代数类似物回路组s属于以下类别ind-方案s.所有线性代数$k个$-群体是密切相关的。

示例

这个仿射线 $\mathbb{A}^1$在加法下，组的结构符合规范：加性基团 $\马特布{G} _（a）$.

没有原点的仿射线，$\mathbb{A}^1-\{0\}$在乘法运算中，群的结构符合规范：乘法群 $\马特布{G} _米$.

概括

• 集团计划

相关概念

• 同生

• 代数群的形式

工具书类

打开代数方案和代数群通过函数几何:

• 米歇尔·德马祖,皮埃尔·加布里埃尔,代数组第1卷，附录当地班级军团标准Hazewinkel M公司，Mason and Cie，巴黎（1970年）

  （后来的卷从未出现）

英文翻译：

• 米歇尔·德马祖,彼得·盖布瑞尔,代数几何和代数群导论、北荷兰数学研究39(1980) [国际标准图书编号：9780080871509]

另请参见：

• 格哈德·霍奇希尔德,代数群和李代数的基本理论，数学研究生课程75施普林格（1981）[doi:10.1007/978-1-4613-8114-3_16]

• M.Artin、J.E.Bertin、M.Demazure、P.Gabriel、A.Grothendieck、M.Raynaud、J.-P.Serre、，组中的模式,新加坡航空公司

• 詹姆斯·米尔恩,代数群–域上有限类型的群方案理论，剑桥大学出版社（2017）[数字标识代码：10.1017/9781316711736,网页,pdf格式]

• 阿曼德·博雷尔,线性代数群，Springer（第二版大幅扩充）

• W.Waterhouse公司，仿射群方案简介，GTM 66，Springer 1979。

• 作者,阿贝尔变种斯普林格出版社，1983年。

• 大卫·曼福德,阿贝尔变种, 1970, 1985.

• J.C.Jantzen，代数群的表示，阿卡德。Press 1987（纯数学和应用数学，第131卷）；第二版AMS数学。调查和Monog。107（2003年；2007年重印）

• T.施普林格，线性代数群《数学进展9》，Birkhä用户Boston（1998年第2版，2008年再版）

• Roe Goodman，Nolan R.Wallach，《对称、表示和不变量》。数学研究生课文，255。施普林格，多德雷赫特，2009年。

• J.Milne，代数群、李群及其算术子群,pdf格式