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想法

安操作的是其元素为正式操作在将一些正式操作插入其他操作的操作下关闭。安运算对象上的代数是一种结构，在这种结构中，通过适当的行动.

因此，有一个概念运算数上代数上的模.

定义

让$M（M）$成为闭对称单体范畴具有单体单元$我$，并让$X（X）$是任何对象。有一个规范或同义反复操作的 $操作（X）$谁的$n^{th}$组件是内部hom$M（X^{otimesn}，X）$; 操作的标识是映射

并且运算器乘法由复合物给出

让$O（运行）$有任何操作$M（M）$.一个代数 $O（运行）$是一个对象$X（X）$配备操作地图$\xi：操作（X）$或者$O（运行）$-代数由一系列映射给出

指定的操作$O（运行）$通过上的有限操作$X（X）$，具有运算乘法和插入结构之间的兼容性条件$k个$上的有限运算$X（X）$到$k个$-ary操作（以及与置换操作的兼容性）。

安代数操作的可以等效地定义为运算符上的范畴有一个单人间对象.

如果$M（M）$是cocomplete，然后是中的操作数$M（M）$可以定义为对称单群范畴中的一个单群$（M^{\mathbb{P}^{op}}，\circ）$置换表示的$M（M）$，又名物种在里面$M（M）$，关于替代产品$\电路控制器$。有一个行为学结构$M^｛\mathbb｛P｝^｛op｝｝\乘以M\到M$由一元乘积的限制引起的$\电路控制器$如果我们考虑$M（M）$完全嵌入$M^{\mathbb{P}^{op}}$:

（解释$X（X）$集中在0元或“常量”分量中），因此操作数$O（运行）$诱导单子 $\帽子｛O｝$在$M（M）$通过行为结构。作为函子，单子可以由共同（coend）公式

安$O（运行）$-代数与单子上的代数是一样的$\帽子{O}$.

备注如果$C类$是对称单体 丰富类,$O（运行）$这个$C类$-问题中的丰富操作，以及$对象（C）中的A\$是单身吗人-物体的O类对于单个对象，写是有意义的$\马特布夫{B} A类$为了那个$O（运行）$-类别。比较上的讨论幺半群和组，这是这种情况的特殊情况。

示例

在单色歌剧上

• 一个结合代数是代数相联操纵词.

  • 一个A-无穷代数是cofibrant上的代数分辨率属于$Assoc公司$.

• 一交换代数是代数交换操纵子.

  • 一个E-无穷大代数是cofibrant上的代数分辨率交换操作数的

• 等。

彩色歌剧

• 有一个彩色歌剧 $模式_P$其代数是由$P（P）$-代数$A类$和a模块结束$A类$;

• 对于单色歌剧$P（P）$有一部彩色歌剧$第^1页$其代数是由两个组成的三元组$P（P）$代数和a同构 $A_1至A_2$他们之间。

• 让$C类$成为一组。有一个$C类$-代数为$五$-丰富的类别具有$C类$作为他们的对象集。

文学类

相关的$n个$实验室条目

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• 运算对象上的代数

  （∞，1）操作数上的∞代数

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概括

• S.N.Tronin，多类上的代数，俄罗斯数学。(2016) 60: 52.国防部; 俄罗斯。原件：С。Н. Тронин,Об алгебрах над мультикатегориями, Изв. вузов. Матем., 2016, № 2, 62–74