n实验室伴随提升定理

跳过导航链接| 主页|所有页面|最新修订|讨论此页面|
目录

上下文

范畴理论

目录

声明

定理

（伴随提升定理）考虑以下因素交换平方属于函子秒：

𝒜 →问 ℬ U型↓ ↓ V（V） 𝒞 →R（右） 𝒟\开始{数组}{cccc}\mathcal{A}&\覆盖{Q}{\to}&\mathcal{B}\\^{U} \向下箭头&&\向下箭头^{V}\\\mathcal{C}&\underset{R}{\to}&\mathcal}D}\结束{数组}

假设是这样

  • U型U型和V（V）V（V）是一元的，以及

  • 𝒜\数学{A}有协调剂自反对的s。

那么，如果R（右）R（右）有一个左伴随，然后问问还有一个左伴随.

详细证明见第2卷第4.5节博尔塞克斯（特别参见第226页的定理4.5.6和第252页的示例4.8.6）。此外(约翰斯通，道具。1.1.3)有关证明的草图，请参阅前面。

推论

如果底部函子R（右）R（右）上面正方形的是标识箭头（因此U型=V（V）∘问U=V电路Q)，如果U型U型和V（V）V（V）都是单数，如果𝒜\数学{A}具有自反对的共均衡器，则问问是一元的。

证明

伴随提升定理意味着左伴随的存在，其余的是一元性定理.

证明草图

我们可以假设下图的情况（V（V）问=R（右）U型V Q=R U):

𝒞 𝕋 ⇆问K（K）(?) 𝒟 𝕊 U型↓↑ F类 G公司↑↓ V（V） 𝒞 ⇆R（右）L（左） 𝒟\开始{数组}{cccc}\mathcal{C}^\mathbb{T}&\underoverset{Q}{K（？）}{\leftrightarrows}&\mathcal{D}^\mathbb{S}\\^{U} \下箭头\上箭头^{F}和^{G}\上箭头\下箭头^{V}\\\mathcal{C}&\欠覆盖{R}{L}{\leftrightarrows}&\mathcal}D}\结束{数组}

哪里𝕋=⟨T型,ε以下为：1 𝒞⇒T型,μ⟩\mathbb{T}=\langle T，\varepsilon\colon 1_{\mathcal{C}}\RightarrowT、 \mu\范围是一个单子𝒞\数学{C},𝕊=⟨S公司,ζ以下为：1 𝒟⇒S公司,η⟩\mathbb{S}=\langle S，\zeta\colon 1_{\mathcal{D}}\RightarrowS、 \t范围是一个单子𝒟\数学{D},U型U型和V（V）V（V）是健忘的仿函数，以及F类F类和G公司G公司是自由代数函子。

让我们写τ以下为：F类U型⇒1 𝒞 𝕋\tau\冒号FU\右箭头1_{\mathcal{C}^{\mathbb{T}}}对于附加词F类⊣U型F\dashv U型和σ以下为：G公司V（V）⇒1 𝒟 𝕊\西格玛\结肠G V \右箭头1_{\mathcal{D}^{\mathbb{S}}}为了副官的缘故G公司⊣V（V）G\dashv V型和往常一样，我们有T型=U型F类T=U F,S公司=V（V）G公司S=V G,μ=U型τF类\mu=UτF，以及η=V（V）σG公司\eta=V \sigma G.

最后，让我们L（左）L（左）是…的左伴随词R（右）R（右）（假设存在），并且α以下为：1 𝒟⇒R（右）L（左）\α\冒号1_{\mathcal{D}}\右箭头R L和β以下为：左后⇒1 𝒞\β\结肠LR\右箭头1_{\mathcal{C}}分别是附加词的单位和单位L（左）⊣R（右）L \仪表盘R.

我们想构造一个函子K（K）以下为：𝒟 𝕊→𝒞 𝕋K\冒号\数学{D}^{\mathbb{S}}\to\mathcal{C}^{\T}}。为了得到什么的提示K（K）K（K）应该是这样的，让我们假设一下K（K）K（K）已经存在。在这种情况下，我们有K（K）G公司⊣V（V）问(=R（右）U型)K G \dashv V Q（=R U）.但是F类L（左）飞行高度层也是左邻接的R（右）U型R U（右）通过左伴随的唯一性，我们必须K（K）G公司=F类L（左）K G=F L（至少达到自然同构）。

由此，我们已经知道如何定义K（K）K（K）关于自由代数。另外，作为左伴随词，K（K）K（K）特别是保留所有的共同资格。但每一次𝕊\mathbb｛S｝-代数⟨天,ξ以下为：标准偏差→天⟩\兰格D，结肠SD至D兰格是反身共限定词的（对象部分），即规范呈现

G公司S公司(天)⇉G公司ξσ G公司天G公司(天)→σ ⟨天,ξ⟩=ξ⟨天,ξ⟩G S（D）\下超集{G\xi}{\sigma_{G D}}{\rightrightarrow}G（D）\overset{\simma_{langleD、 \xi\rangle}=\xi}{\rightarrow}\langle D，\xi\langle

正在应用K（K）K（K）和使用K（K）G公司=F类L（左）K G=F L，我们看到了K（K）⟨天,ξ⟩K语言D，xi语言应该是中反身协等式的对象部分𝒞 𝕋\数学{C}^{\mathbb{T}}表单的

F类L（左）S公司(天)⇉F类L（左）ξ?F类L（左）(天)→x个K（K）⟨天,ξ⟩F L S（D）\欠重叠{F L \xi}{？}{右箭头}F L（D）\overset{x}{右箭头}K\langleD、 \xi\等级

（回想一下，我们假设𝒞 𝕋\数学{C}^{\mathbb{T}}具有自反对的协等式）。

最终定义K（K）⟨天,ξ⟩K语言D，xi语言作为协等式（如上所述），我们首先需要对∞-箭头进行一些合理的猜测。为此，我们需要一个引理。

引理

存在一种自然的转变λ以下为：S公司R（右）⇒R（右）T型\λ\colon S R\右箭头R T其中函子和自然变换的下图是可交换的：

R（右） →ζR（右） S公司R（右） ←ηR（右） S公司S公司R（右） R（右）ε↘ λ↓ S公司λ↓ R（右）T型 ←R（右）μ R（右）T型T型 ←λT型 S公司R（右）T型\开始｛array｝&&\覆盖{\eta R}{\leftarrow}&&S S R\\&^｛R\varepsilon｝\searrow&^｛\lambda｝\向下箭头&&&^｛S\lambda｝\向下箭头\\&&R T&\超集{R\mu}{\leftarrow}&R T T&\超集{\lambda T}{\leaftarrow}&S R T\结束{数组}
证明

定义λ以下为：=V（V）σ问F类∘V（V）G公司R（右）ε\λ：=V\sigma Q F\circ V G R\varepsilon，所以

λ以下为：S公司R（右）=V（V）G公司R（右）→V（V）G公司R（右）εV（V）G公司R（右）T型=V（V）G公司R（右）U型F类=V（V）G公司V（V）问F类→V（V）σ问F类V（V）问F类=R（右）U型F类=R（右）T型.\λ\colonS R=V G R \ overset{V G R \varepsilon}{to}V G RT=V G RU F=V G V Q重叠{V\sigmaQF}{to}VQF=RUF=RT。

所需的交换性可以通过使用单子和EM-代数定义中的交换图、自然性和三角恒等式来验证。有关详细信息，请参见的引理4.5.1的证明博尔塞克斯第222-223页。（请注意，这个引理不依赖于底部水平箭头的左伴随的存在，也不依赖于协等式的存在。只需要交换性。）

现在我们可以回到定义引理之前的图中的∞箭头的任务。我们想从F类L（左）S公司(天)F L S（D）到F类L（左）(天)飞行高度（D）为此，我们将构建一个自然转换F类L（左）S公司⇒F类L（左）F L S \右箭头F L以以下方式。首先，我们有

S公司→S公司αS公司R（右）L（左）→λL（左）R（右）T型L（左）.超集{S\alpha}{to}SRL。

正在应用L（左）L（左）和作曲βT型L（左）\βT L，我们得到

LS（负载感应）⟶L（左）λL（左）∘LS（负载感应）αL（左）R（右）T型L（左）→βTL公司TL公司.LS超集{L\lambda L\circ LS\alpha}{\longrightarrow}L R T L\overset{\beta TL}{\to}TL。

正在应用F类F类和作曲τF类L（左）\τF L，我们终于

F类L（左）S公司⟶F类βT型L（左）∘F类L（左）λL（左）∘F类L（左）S公司αF类T型L（左）=F类U型F类L（左）→τF类L（左）F类L（左）F L S \overset{F \beta T L \circ F L \lambda L \cick F LS\alpha}{\longrightarrow}F T L=F U F L \ overset{\tau F L}{\to}F L

让我们称其为自然转化ω\欧米茄也就是说，

ω以下为：=τF类L（左）∘F类βT型L（左）∘F类L（左）λL（左）∘F类L（左）S公司α.\ω：=τF L\circ F\beta T L\cic F L\lambda L\cick F L S\alpha。

现在我们将寻求的∞-箭头设为ω 天\欧米伽_D，以及定义 K（K）⟨天,ξ⟩K语言D，xi语言作为某个固定协等式的对象ω 天\欧米伽_D和F类L（左）ξF L\xi公司以下为：

F类L（左）S公司(天)⇉F类L（左）ξω 天F类L（左）(天)→x个K（K）⟨天,ξ⟩.F L S（D）\上下箭头L（D）\覆盖{x}{\rightarrow}K\langle D，\xi\rangle。

为了做到这一点，我们必须首先验证上面的平行箭头是否有一个公共部分（因为我们只假设𝒞 𝕋\数学{C}^{\mathbb{T}}具有自反对的协等式）。要查找公共部分的猜测，请注意，上述规范表示中平行对的公共部分𝒟 𝕊\数学{D}^{\mathbb{S}}是G公司ζ V（V）⟨天,ξ⟩=G公司ζ 天吉塔{V\langleD、 \xi\rangle}=G\zeta_D，如果K（K）K（K）存在，然后应用K（K）K（K）给予K（K）G公司ζ 天=F类L（左）ζ 天K G\zeta_D=F L\zeta-D有了这个猜测，现在很容易验证F类L（左）ζ 天F L\zeta_D（法语）确实是一个公共部分，这是必需的。

因此，我们定义了一个对象函数a为左伴随K（K）K（K）.使其成为左伴随函子问问，我们将从⟨天,ξ⟩\兰格D，\xi\rangle到问问，其对象部分为K（K）⟨天,ξ⟩K语言D，xi语言（定理IV.1.2（ii）类别工作).

要获得箭头⟨天,ξ⟩→问K（K）⟨天,ξ⟩\兰格D，至Q K兰格D假设我们有一个自然的转变φ以下为：G公司⇒问F类L（左）\varphi\冒号G\右箭头Q F L这样的话φ∘σG公司=问ω∘φS公司\varphi\circ变量\σG=Q\omega\circ\varphi S。然后，下图中的左侧方块会相互转换：

G公司S公司(天) ⇉G公司ξσ G公司天 G公司(天) →σ ⟨天,ξ⟩=ξ ⟨天,ξ⟩ φ S公司天↓ φ 天↓ χ↓ 问F类L（左）S公司天 ⇉问F类L（左）ξ问ω 天 问F类L（左）天 →问x个 问K（K）⟨天,ξ⟩\开始{array}｛ccccc｝GS（D）&\上下箭头D、 \xi\rangle}=\xi}{\rightarrow}&\langle D，\xi\rangle\\^{\varphi_{SD}}\向下箭头&&^{\varfi_D}\向下箭&&^{\chi}\向下\\Q F L S D和\ under overset｛Q F L \ xi｝｛Q \ omega_D｝｛\right-rightarrows｝和Q FL D&\重叠{Q x}{\rightarrow}&Q K\langle D，\xi\rangle\结束{数组}

由于这两行都是分叉，因此如下所示问x个∘φ 天Q x\circ\varphi_D与上部箭头的构图相同
平行对，因此有一个唯一的箭头χ以下为：⟨天,ξ⟩→问K（K）⟨天,ξ⟩\chi\结肠\兰格D，至Q K兰格D使右平方可交换（回想一下，上面一行是一个coequalizer）。

现在可以证明这对⟨K（K）⟨天,ξ⟩,χ⟩\兰格K\langleD、 rangle，chirangle是一个通用箭头⟨天,ξ⟩\兰格D、 \xi\等级到问问，表明了这一点K（K）K（K）确实是左伴随的（目标函数）（有关详细信息，请参阅中定理4.5.6的证明，第226-227页博尔塞克斯).

但我们仍然需要证明自然转化的存在φ以下为：G公司⇒问F类L（左）\varphi\冒号G\右箭头Q F L这样的话φ∘σG公司=问ω∘φS公司\变量\circ\σG=Q\omega\circ\varphi S为此，我们定义φ以下为：=σ问F类L（左）∘G公司R（右）εL（左）∘G公司α\varphi:=\sigma Q F L\circ G R\varepsilon L\cick G\alpha.自V（V）V（V）是忠实的，以证明φ\瓦尔斐，这足以证明V（V）φ∘V（V）σG公司=V（V）问ω∘V（V）φS公司V \varphi\circ V \sigma G=V Q \omegaV \varphi S型，这是一个很长但很简单的计算（注意V（V）φ=λL（左）∘VG公司αV\varphi=\lambda L\circ VG\alpha并使用引理1中的交换图；参见引理4.5.3，第224页Borceux公司).

示例

代数簇之间的遗忘函子

由于代数的变种是共同完成和一元设置\mathbf｛集｝，推论意味着各种代数之间的健忘函子（例如健忘函函尼泊尔卢比→抗体\mathbf{Rng}\to\mathbf}Ab})都是僧侣。

一元范畴可余完备的充分条件

让𝒥\数学{J}是一个任意的范畴，考虑交换图

𝒜 →Δ 𝒜 𝒥 U型↓ ↓ U型 𝒥 𝒞 →Δ 𝒞 𝒥\开始{数组}{ccccc}\mathcal{A}&\覆盖{\Delta}{\to}&\mathcal{A}^\mathcali{J}\\^{U} \向下箭头&&\向下箭头^{U^{\mathcal{J}}}\\\mathcal{C}&\underset{\Delta}{\to}&\mathcal}C}^\mathcal{J}\结束{数组}

哪里U型U型是一元的，Δ\三角洲是对角函子和U型 𝒥=U型∘−U^{mathcal{J}}=U\circ-.如果F类F类是左伴随
到U型U型，然后F类 𝒥F^\mathcal公司{J}是左邻接的U型 𝒥U^{\mathcal{J}}（使用原始附加词的单位和单位，可以构造出满足三角形恒等式的适当自然变换，例如参见类别工作). 此外，对于U型U型暗示那些U型 𝒥数学｛J｝（基本上是因为split-fork的定义只涉及组合和标识，并且因为自然转换是按组件组合的）。

现在，如果𝒞\数学｛C｝是𝒥\数学{J}-cocomplete（使底部水平函子具有左伴随）和𝒜\数学{A}具有自反对的协等式，则伴随提升定理意味着𝒜\数学{A}是𝒥\数学{J}-完成。特别是，如果𝒜\数学{A}具有自反对的协等式𝒞\数学{C}那么是小规模的𝒜\数学{A}是小cocomplete。

工具书类

关于的对偶定理共鸣曲以下为：

上次修订时间：2023年11月16日08:50:14。请参阅历史获取所有贡献的列表。

编辑讨论上一版本与先前版本相比的更改历史（15次修订） 引用 打印 来源