n实验室伴随函子

上下文

范畴理论

（中的特殊情况猫一般概念的附加.)

具体来说，伴随函子的概念 $L\dashv R\，\colon\，\mathcal{D}\leftrightarrows\mathcal{C}$ 在其化身为自然同构在家庭成员（请参见在下面)更普遍的是人-物体（请参阅丰富伴随函子)，它只是说伴随函子是那些可以连贯地被向左切换 $\左右箭头$ 就在中霍姆塞特

左\右\;\冒号\；\mathcal{D}\欠覆盖{R}{L}{\leftrightarrows}\mathcal}C}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\文本{means}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\数学{D}\bigl（L（-），\，-\bigr）\;\模拟\；\数学{C}\bigl（-，\，R（-）\bigr）\,.

惊人的类比（实际上是一种分类)这种定义关系与旧的概念伴随线性算子之间厄米特向量空间/希尔伯特空间 $\马特斯克{H} _ i$ 具有内部产品 $\语言-，-\rangle_i$

我==========================================================================================R^\匕首\;\冒号\；\马特斯克{H} 2个\leftrightarrows\mathscr{H} _1个\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\文本{means}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\大型语言L（-），\-\较大\rangle_2\;=\;\大型语言-，\，R（-）\较大\rangle_1

是什么给伴随函子的概念起了名字（参见伴随算子–历史).

“伴随概念的普遍性，这一概念首先在范畴理论的概念领域中被孤立和命名”[劳弗尔（1969）]

“伴随函子在这里和其他地方的多个例子往往表明，伴随几乎在数学的许多分支中无处不在这本书所有这些佐剂的系统使用阐明了这些主题。”[MacLane（1971），第103页]

“在范畴理论被积极使用的所有领域中，伴随函子的范畴概念发挥了关键作用。”威廉·劳弗尔访谈，解释了认真对待类别]

定义

伴随函子有各种不同但等价的特征，下面将讨论其中的一些特征。

就Hom同构而言

我们在这里讨论函子伴随的定义 $L \仪表盘R$ 就a而言自然双射之间家庭成员（定义。以下）：

\{L（c）\到d\}\；\模拟\\{c\到R（d）\}

我们表明，这与抽象定义等价，即附加在中2类猫，在Prop。如下所示。

$\,$

定义

(伴随函子依据自然吸引物属于hom集合)

让 $\数学{C}$ 和 $\数学{D}$ 是两个类别，并让

\数学{D}\过盈不足{\underset{R}{\longlightarrow}}{\overset{L}{\longleftarrow{}}{}\数学{C}

是一对仿函数如图所示。那么这就是所谓的成对的伴随函子（或一个伴随对属于仿函数)带有 $我$ 左伴随和 $R（右）$ 右伴随，表示

如果存在自然同构在家庭主妇采用以下形式：

(1)

Hom_{\mathcal{D}}\big（L（-），\，-\big）\;\模拟\；Hom_{\mathcal{C}}\big（-，\，R（-）\big）\,.

这意味着物体 $c\in\mathcal{c}$ 和 $d\in\mathcal{d}$ 有一个双射属于hom集合

\阵列{Hom_{\mathcal{D}}（L（c），D）&\重叠{\simeq}{\longrightarrow}&Hom_{\mathcal{C}}（C，R（d））\\（L（c）\覆盖{f}{\到}d）&\地图&（c\覆盖{\widetilde-f}{\to}R（d））}

哪个是自然的在里面 $c（c）$ 和 $d日$ 。这种同构是附加同构和形象 $\宽度f$ 态射的 $（f）$ 在这种情况下称为辅助属于 $（f）$ 相反， $（f）$ 被称为 $\宽度f$ .

这里的自然性意味着同构 $g\colon c2\到c1$ 在里面 $\数学{C}$ 并且对于每个同构 $h\冒号d_1至d_2$ 在里面 $\数学{D}$ ，结果平方

(2)

\阵列{Hom_｛\mathcal｛D｝｝（L（c_1），D_1）&\欠置{\simeq}{\widetilde{（-）}}{\longrightarrow}&Hom_{\mathcal{C}}（C_1，R（d_1））\\{}^{\mathllap{Hom_{\mathcal{D}}（L（g），h）}}\big\向下箭头&&\大\下箭头^{\mathrlap{Hom_{\mathcal{C}}（g，R（h））}}\\Hom_{\mathcal{D}}（L（c_2），D_2）&\欠置{\simeq}{\widetilde{（-）}}{\longrightarrow}&Hom_｛\mathcal｛C｝｝｝（C_2，R（d_2））}

通勤（另请参阅人-叛徒用于此处垂直地图的定义）。

显然，这种交换性反过来意味着对于每个态射 $f \；\冒号\；L（c_1）至d_1$ 具有辅助 $\宽度f \；\冒号\；c_1到R（d_1）$ ，是作文是

\阵列{L（c_1）和\重叠{f}{\右箭头}和d_1\\{}^{\mathllap{L（g）}}\big\uparrow&&\big\ downarrow^{\mathrlap{h}}\\L（c_2）和d_2}\;\;\;=\;\;\;\阵列{c1&\覆盖{\widetilde f}{\longrightarrow}&R（d_1）\\{}^{\mathllap{g}}\big\uparrow&&\big\ downarrow^{\mathrlap{R（h）}}\\c2和R（d_2）}

定义

(辅助装置和科尼特就hom-isomorphism而言）

给一对伴随函子

\数学{D}\过盈不足{\underset{R}{\longlightarrow}}{\overset{L}{\longleftarrow{}{\bot}\数学{C}

根据Def。其中一个说

对于任何 $c\in\mathcal{c}$ 这个辅助的同一态射在 $L（c）$ 是单位同构表示该对象的附加词

$\eta_c\coloneqq\widetilde{id_{L（c）}}\；\冒号\；c\右箭头R（L（c））$
对于任何 $d\in\mathcal{d}$ 这个辅助的同一态射在 $雷亚尔（d）$ 是偶同构表示该对象的附加词

$\εd\；\冒号\；L（R（d））\右箭头d$

提议

（概述附加词依据单位/单位)

考虑一对伴随函子

\数学{D}\过盈不足{\underset{R}{\longlightarrow}}{\overset{L}{\longleftarrow{}{\bot}\数学{C}

根据Def。，使用附加单位 $\等c$ 和附加词 $\ε_d$ 根据Def。.

然后

这个辅助 $\宽度f$ 任何态射的 $L（c）\覆盖{f}{\到}d$ 是从以下位置获得的 $R（右）$ 和 $\等c$ 作为混合成的

(3) $\宽度f\;\冒号\；c（c）\覆盖{\eta_c}{\longrightarrow}R（L（c））\重叠{R（f）}{\longrightarrow}雷亚尔（d）$

相反辅助 $（f）$ 任何态射的 $c \ overset｛\ wide tilde f｝｛\ longrightarrow｝R（d）（右上箭头）$ 是从以下位置获得的 $我$ 和 $\ε_d$ 作为

(4) $（f）\;\冒号\；L（c）\重叠{L（\widetilde f）}{\longrightarrow}L（R（d））\重叠{\epsilon_d}{\longrightarrow}d日$
这个辅助装置 $\等c$ 和附加词 $\ε_d$ 是的组件自然变换表单的

$\eta\；\冒号\；Id_{\mathcal{C}}\右箭头R\circ L$

和

$\ε\；\冒号\；回路R\右箭头Id_{\mathcal{D}}$
这个附加装置和附加词满足三角形恒等式，这么说

$id_{L（c）}\;\冒号\；L（c）\重叠{L（\eta_c）}{\longrightarrow}L（R（L（c）））\重叠{\epsilon_{L（c）}}{\longrightarrow}L（c）$

和

$id_{R（d）}\;\冒号\；雷亚尔（d）\重叠{\eta_{R（d）}}{\longrightarrow}R（L（R（d）））\重叠{R（\epsilon_d）}{\longrightarrow}雷亚尔（d）$

证明

对于第一个语句，请考虑自然广场 (2)在表单中

\阵列{id_{L（c）}\英寸&Hom_{\mathcal{D}}（L（c），L（c&\上下箭头&Hom_{\mathcal{C}}（C，R（L（C）））\\&{}^{\mathllap{Hom_{\mathcal{D}}（L（id），f）}}\big\向下箭头&&\大\下箭头^{\mathrlap{Hom_{\mathcal{C}}（id，R（f））}}\\&Hom_{\mathcal{D}}（L（c），D）&\欠置{\simeq}{\widetilde{（-）}}{\longrightarrow}&Hom_{\mathcal{C}}（C，R（d））}

并考虑因素 $id_{L（c_1）}$ 在左上角的条目中。它在图中向下然后向右的图像是 $\宽波浪号f$ ，由Def。另一方面，它的图像是先向右，然后向下 $R（f）\circ\eta_{c}$ ，由Def。图的可交换性意味着这两个语素对于 $（f）$ .

相反的公式类似地遵循。

第三条语句直接从这里开始，将这些公式应用于附加词两次，使用它，结果必须是原始的态射：

\开始{对齐}id_{L（c）}& =\widetilde\widetilde{id_{L（c）}}\\&=\widetilde{c\overset{\eta_c}{\to}R（L（c））}\\& = L（c）\重叠{L（\eta_c）}{\longrightarrow}L（R（L（c）））\重叠{\epsilon_{L（c）}}{\longrightarrow}L（c）\结束{对齐}

对于第二个语句，我们必须证明对于每个态射 $f\colon c1\到c2$ 以下内容平方通勤:

\数组{c_1&\覆盖集｛f｝｛\longrightarrow｝和c_2\\{}^{\mathllap{\eta{c1}}\big\向下箭头&& \大\下箭头^{\mathrlap{\eta{c2}}}\\R（L（c_1））&\underset{R（L（f））}{\右下箭头}&R（L（c_2））}

要看到这一点，请考虑自然广场 (2)在表单中

\阵列{id_{L（c_2）}\英寸&Hom_｛\mathcal｛D｝｝（L（c_2），L（c_2））&\欠置{\simeq}{\widetilde{（-）}}{\longrightarrow}&Hom_{\mathcal{C}}（c2，R（L（c2）））\\&{}^{\mathllap{Hom_{\mathcal{D}}（L（f），id_{L（c_2）}）}}\big\下箭头&&\大\下箭头^{\mathrlap{Hom_{\mathcal{C}}（f，R（id_{L（C_2）}））}}\\&Hom_{\mathcal{D}}（L（c_1），L（c_2））&\欠置{\simeq}{\widetilde{（-）}}{\longrightarrow}&Hom_{\mathcal{C}}（C_1，R（L（C_2）））}

元素的图像 $id_{L（c_2）}$ 在左上角沿着右边和下面是 $\eta{c2}\循环$ ，由Def。，而其图像向下然后向右是 $\widetilde{L（f）}=R（L（f$ ，根据前面的语句。图的交换性意味着这两个语态一致，这就是要显示的语句。

关于自然性的论证 $\ε$ 直接类似。

提议

（同素异形的伴随相当于 $猫$ )

两个函子

\数学{D}\过盈不足{\underset{R}{\longlightarrow}}{\overset{L}{\longleftarrow{}}{}\数学{C}

是一个伴随对在某种意义上自然同构 (1)根据Def。，如果他们参与附加在中2类猫，意思是

存在自然变换

$\eta\；\冒号\；Id_{\mathcal{C}}\右箭头R\circ L$

和

$\ε\；\冒号\；回路R\右箭头Id_{\mathcal{D}}$
满足三角形恒等式

$id_{L（c）}\;\冒号\；L（c）\重叠{L（\eta_c）}{\longrightarrow}L（R（L（c）））\重叠{\epsilon_{L（c）}}{\longrightarrow}L（c）$

和

$id_{R（d）}\;\冒号\；雷亚尔（d）\重叠{\eta_{R（d）}}{\longrightarrow}R（L（R（d）））\重叠{R（\epsilon_d）}{\longrightarrow}雷亚尔（d）$

证明

那是个同质异形(1)表示满足三角形恒等式是道具第二项的陈述。.

因此，仍需显示相反的情况。但这个论点与Prop的证明是一致的。：我们现在定义通过公式形成附加词(3).结果分配 $f\mapsto\widetilde f$ 是一个同构计算结果如下

\开始{对齐}\widetilde{\widetilde f}& =\宽颚化符｛c\ overset｛\eta_c｝｛\to｝R（L（c））\ overset｛R（f）｝｛\to｝R（d）｝\\& =L（c）\超集{L（eta_c）}{to}L（R（L（c\\ & = L（c）\重叠{L（eta_c）}{\到}L（R（L（c）））\重叠{\epsilon_{L（c）}}{\to}L（c\重叠{f}{\longrightarrow}d\\&=L（c）\超集{f}{longrightarrow}d\结束{对齐}

其中，在扩展定义后，我们使用自然性属于 $\ε$ 然后是三角形恒等式.

最后，这个构造满足自然条件(2)根据所涉及函子的功能以及单位/单位的自然性：

\阵列{c2&\覆盖{\eta_{c2}}{\longrightarrow}&R（L（c2））\\{}^{\mathllap{g}}\向下箭头&&\向下箭头^{\mathrlap{R（L（g））}}&\searrow^{\mathrlap{R（L（g）\circ f）}}\\c1&\覆盖{\eta{c1}}{\longrightarrow}&R（L（c_1））&\重叠{R（f）}{\longrightarrow}&R（d_1）\\&&&{}_{R（h\circ f）}\searrow&\downarrow^{\mathrlap{R（h）}}\\&&&&R（d_2）}

根据可表示函子

条件(1)关于伴随函子 $L \仪表盘R$ 定义中。尤其意味着对象 $数学｛d｝$ 函子 $Hom_{\mathcal{D}}（L（-），D）$ 是一个可表示函子具有表示对象 $雷亚尔（d）$ 以下属性。观察到表示对象为所有人 $d日$ 事实上，已经足以暗示存在一个右伴随函子。

这种关于伴随函子的等价观点表明：

伴随函子如果存在，在自然同构中是唯一的，这就是Prop。下方；
伴随函子的概念也有意义相对的到完整子范畴这是Remark的内容如下所示。

全球定义

提议

（从objectwise得到的伴随函子表示对象)

A类函子 $L \；\冒号\；\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal（数学）{D}$ 有一个右伴随 $R \；\冒号\；\mathcal{D}\到\mathcal{C}$ ，根据Def。，已经是了物体 $d\in\mathcal{d}$ 有一个物体 $R（d）\in\mathcal{C}$ 这样就有了自然同构

Hom_{\mathcal{D}}（L（-），D）\欠置{\simeq}{\widetilde{（-）}}{\longrightarrow}Hom_{\mathcal{C}}（-，R（d））\,,

因此，每个对象 $c\in\mathcal{c}$ 一双射

Hom_{\mathcal{D}}（L（c），D）\欠置{\simeq}{\widetilde{（-）}}{\longrightarrow}Hom_{\mathcal{C}}（C，R（d））

这样，对于每个同构 $g \；\冒号\；c2\到c1$ ，如下图表通勤

(5)

\阵列{Hom_{\mathcal{D}}（L（c_1），D）&\欠置{\simeq}{\widetilde{（-）}}{\longrightarrow}&Hom_{\mathcal{C}}（C_1，R（d））\\{}^{\mathllap{Hom_{\mathcal{C}}（L（g），id_d）}}\大\向下箭头&&\大箭头^｛\mathrlap｛Hom_｛\mathcal｛C｝｝｝（f，id_｛R（d）｝）｝\\Hom_{\mathcal{D}}（L（c_2），D）&\欠置{\simeq}{\widetilde{（-）}}{\longrightarrow}&Hom_{\mathcal{C}}（C_2，R（d））}

（如下所示(2)，但只需要第一个变量的自然性。）

在这种情况下，有一种独特的方法可以扩展 $R（右）$ 从上的函数物体到上的函数态射例如，使其成为函子 $R\colon\mathcal｛D｝\到\mathcal｛C｝$ 哪个是右伴随到 $我$ 因此，声明是这样的，第二个变量中的自然性已经被暗示了。

证明

请注意

用…的语言预升假设每个 $d\in\mathcal{d}$ 预兆

$Hom_{\mathcal{D}}（L（-），D）\;\在\；中；[\mathcal{C}^{op}，集合]$

是代表按对象 $雷亚尔（d）$ 、和自然地所以。
就Yoneda嵌入

$年\;\冒号\；\数学{C}\钩右箭头[\mathcal{C}^{op}，集合]$

我们有

(6) $Hom_{\mathcal{C}}（-，R（d））=y（R（d））$

条件(2)相当地说 $R（右）$ 必须做到态射 $小时\；\冒号\；d_1至d_2$ 中的下图预升类别 $[\mathcal{C}^{op}，集合]$ 通勤

\阵列{Hom_{mathcal{D}}（L（-），D_1）&\欠置{\simeq}{\widetilde{（-）}}{\longrightarrow}&Hom_{\mathcal{C}}（-，R（d_1））\\{}^{\mathllap{Hom_{\mathcal{C}}（L（-），h）}}\大\向下箭头&&\大\下箭头^{\mathrlap{Hom_{\mathcal{C}}（-，R（h））}}\\Hom_{\mathcal{D}}（L（-），D_2）&\欠置{\simeq}{\widetilde{（-）}}{\longrightarrow}&Hom_{\mathcal{C}}（-，R（d_2））}

这显然有一个独特的解决方案

y（R（h））\;=\;Hom_{\mathcal{C}}（-，R（h））

对于每个态射 $h\冒号d_1至d_2$ 在下面 $y（R（-））$ (6).但是Yoneda嵌入 $年$ 是一个完全忠实函子(这个道具。)也就是说 $R（小时）$ 是唯一固定的。

备注

用更花哨的语言，道具的陈述。如下所示：

通过预合成 $我$ 定义的函子预切类别

L^*\；\冒号\；[\mathcal{D}^{op}，集合]\到[\mathcal{C}^{op}，集]\,.

由限制沿着Yoneda嵌入 $是\；\冒号\；\mathcal｛D｝\到[\mathcal｛D｝^｛op｝，集]$ 这就产生了函子

\巴L\;\冒号\；\阵列{\数学{D}&\重叠{y}{\longrightarrow}&[\mathcal｛D｝^｛op｝，集]&\重叠{L^*}{\longrightarrow}&[\mathcal{C}^{op}，集合]\\d日&\地图到&Hom_{\mathcal{D}}（-，D）&\地图&Hom_{\mathcal{D}}（L（-），D）}\,.

声明是： $d中的d\$ 这个预兆 $\巴L（d）$ 是可代表的，则函数上存在函子 $R\colon\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ 这样的话

\条形图L\；\模拟\；y\circ R（y循环R）\,.

本地定义

备注

(相对伴随函子)

道具的视角。其优点是即使伴随函子也能产生有用的信息 $R（右）$ 不全局存在，即作为所有 $\数学{D}$ :

可能会发生这种情况

\[C^{op}，集合]中的条L（d）\coloneqq Hom_d（L（-），d）

是可代表的对于一些对象 $d\in\mathcal{d}$ 但不是所有人 $d日$ 。表示对象仍然可以被视为 $雷亚尔（d）$ 事实上，它可以被视为 $我$ 相对于包含完整子范畴由这些因素决定 $d日$ s，其中 $\巴L（d）$ 具有代表性；看见相对伴随函子了解更多信息。

这个全球的与地方的伴随函子的求值导出定义的全局/局部图

如文中所述。

关于通过（co）单位的普适因式分解

我们已经在Prop中看到了。那个附加词的单位和附加词发挥着特殊的作用。人们可以通过将这些形态描述为通用箭头在以下定义的意义上。事实上，它们的存在已经等价于伴随函子的存在，这是Prop的声明。如下所示。

$\,$

定义

（通用箭头）

给定函子 $R \；\冒号\；\mathcal{D}\到\mathcal{C}$ 和一个对象 $c\in\mathcal{c}$ ，一个通用箭头从 $c（c）$ 到 $R（右）$ 是一个初始对象的逗号类别 $（转交）$ 。这意味着它包括

一个对象 $L（c）\in\mathcal{D}$
一同构 $\eta_c\；\冒号\；c\到R\big（L（c）\big）$ ，被称为单元,

这样，对于任何 $d\in\mathcal{d}$ ，任何态射 $f\冒号c\到R（d）$ 通过本单元的系数 $\等c$ 作为

(7)

\阵列{&&c（c）\\& {}^{\mathllap{\eta_c}}\swarrow&& \西罗^{\mathrlap{f}}\\R大（L（c）大）&&\低于{R（\widetilde f）}｛\longrightarrow｝（右箭头）&& 雷亚尔（d）\\\\L（c）&&\下划线{\widetilde f}{\longrightarrow}&& d日}

对于一个独特的 $\宽度f \；\冒号\；L（c）\向右长箭头d$ ，被称为辅助属于 $（f）$ .

（例如。Borceux，第1卷，定义3.1.1)

提议

(泛态射是初始对象在中逗号类别)

让 $R： \mathcal{D}\to\mathcal{C}$ 成为函子和 $c\in\mathcal{c}$ 一个对象则以下内容等效：

$c\覆盖{\eta_c}{\到}R（L（c））$ 是一个泛态射进入之内 $R（L（c））$ （定义。);
$（c，\eta_c）$ 是初始对象在中逗号类别 $转交/接收$ .

提议

（收集通用箭头相当于伴随函子)

让 $R \；\冒号\；\mathcal{D}\到\mathcal{C}$ 成为函子则以下内容等效：

$R（右）$ 有一个左伴随函子 $L\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ 根据Def。,
对于每个对象 $c\in\mathcal{c}$ 有一个通用箭头 $c\重叠{\eta_c}{\longrightarrow}R（L（c））$ ，根据Def。.

证明

在一个方向上，假设左伴随 $我$ 给出了。将可能的通用箭头定义为 $c\in\mathcal{c}$ 成为附加单位 $\电子标签（_c）$ 通过Def。然后，Prop暗示了这确实是一个通用箭头的说法。.

在另一个方向，假设通用箭头 $\等c$ 给出了。定义中的唯一性子句。立即暗示令人惊讶的事

\阵列{Hom_{\mathcal{D}}（L（c），D）&\重叠{\simeq}{\longrightarrow}&Hom_{\mathcal{C}}（C，R（d））\\\左（L（c）\超集{\widetilde-f}{\to}d\右侧）&\地图&\左(c\覆盖{\eta_c}{\to}R（L（c））\覆盖{R（\widetilde f）}{\to}R（d）\右）}

因此，为了满足(1)还有待证明自然的在这两个变量中。事实上，通过Prop。这足以显示变量的自然性 $d日$ 但这是直接从功能性 $R（右）$ 应用于(7)：用于 $h\冒号d_1至d_2$ 任何同构，我们有

\阵列{&&c（c）\\&{}^{\mathllap{\eta_c}}\swarrow&&\searrow^{\mathrlap{f}}\\R（L（c））&&\underset{R（\widetilde f）}{\longrightarrow}&&R（d_1）\\&&{}_{\mathllap{R（h\circ\widetildef）}}\searrow&&\downarrow^{\mathrlap{R（h）}}\\&&&&R（d_2）}

例子

(本地化通过通用箭头)

通过单位和计数的泛因式分解来刻画伴随函子（Prop。)在以下情况下特别感兴趣 $R（右）$ 是一个完全忠实函子

R \；\冒号\；\数学｛D｝\hookrightarrow\mathcal｛C｝

展出 $\数学{D}$ 作为一个反射子范畴属于 $\数学{C}$ .在这种情况下，我们可以考虑 $我$ 作为一个本地化和中对象的基本形象属于 $我$ 作为局部对象然后上面说：

每一个态射 $c至R d$ 从 $c（c）$ 通过本土化将局部对象因素 $c（c）$ .

以逗号类别表示

A类函子 $L冒号C到D$ 是左伴随到函子 $冒号D到C$ 当且仅当存在同构（不等效)第页，共页逗号类别 $L\向下箭头D\从C\向下箭头R$ 这种同构与遗忘函子到产品类别 $C\倍D$ 参见§B。第I.2页，共代数理论的功能语义.

这种特征化概括为（在非丰富的环境中）相对附加词通过更换 $C\向下箭头R$ 通过 $J\向下箭头R$ .

根据共图/对应/异形

每亵渎者

k:C^{op}\乘以D\到S

定义类别 $C*^k D公司$ 具有 $对象（C*^k D）=对象（C）\sqcup对象（D）$ 和hom集合由提供

Hom_{C*^k D}（X，Y）==========================================================================================\左\{\阵列{Hom_C（X，Y）&如果X，Y\在C中\\Hom_D（X，Y）&如果是D中的X，Y\\\left\{k（X，Y）\right\}如果X\在C中，Y\在D中\\\空集&否则}\对。

( $k（X，Y）$ 也被称为异态).

这个类别自然带有一个函子间隔类别

C*^k D\到Delta ^1\,.

现在，每个函子 $L:C\至D$ 诱导亵渎者

k^L（X，Y）=Hom_D（L（X），Y）

和每个函子 $R:D\至C$ 诱导亵渎者

k_R（X，Y）=Hom_C（X，R（Y））\,.

函子 $我$ 和 $R（右）$ 如果亵渎者它们以上述方式定义的是等价的。反过来，如果 $C\star^L D\simeq（D^{op}\star^{R^{op{}C^{opneneneep）^{opneneneei$ .

我们这么说 $C\star^k D公司$ 是函子的有向图 $k个$ 。请参阅此处了解更多信息。

根据图/双面离散纤维

函子 $L冒号C到D$ 和 $冒号D到C$ 如果我们有一个交换图表单的

\阵列{（L\向下箭头Id_D）&&\stackrel{\cong}{\to}&&（Id_C\向下箭头R）\\&\searrow&&\swarrow\\ && C\倍D\mathrlap｛\，，｝}

其中向下箭头表示地图由逗号类别。伴随函子的这个定义是由引入的劳弗尔在里面代数理论的功能语义，并且是逗号类别.

以上内容图表可以在等效条件下直接从图像中恢复 $[C^{op}\times D，Set]\stackrel{\simeq}{\to}DFib（D，C）$ 描述于双面纤维诱导的同构亵渎者 $C^{op}\times D\设置$ （见上文“就Hom同构而言”）。因此，它与伴随函子的hom-set定义的关系可以在格罗森迪克建筑-比如信件。因此，这种描述对于丰富的附加词.

此描述概括为相对附加词通过更换 $标识_C$ 具有 $J型$ .

就Kan扩展/提升而言

鉴于 $L冒号C到D$ ，我们有一个右伴随 $冒号D到C$ 如果左Kan扩展 $兰_L 1_C$ 的身份沿着 $我$ 存在并且是绝对的，在这种情况下

R\simeq\mathop公司{局域网}_L1_C（立方厘米）\,.

在这种情况下，通用2电池 $1_C\至R L$ 对应于附加单位；三角恒等式的一致性和验证都可以通过Kan扩张和绝对性的性质来获得。

也可以用Kan liftings来表达这一点： $我$ 有一个正确的伴随词 $R（右）$ 当且仅当：

$R\simeq\mathop公司{裂谷}_L1_D（驱动）$ 还有这个坎式升降机是绝对的

在这种情况下，我们得到了通用单元给出的计数 $左右至1_D$ 而其余的数据和属性可以通过绝对Kan提升假设从中导出。

Dually，我们有这个 $冒号D到C$ ，它有一个左伴随词 $L冒号C到D$ 准确地说，如果

$L\simeq\mathop公司{已运行}_R1天$ ，这个Kan扩展是绝对的

或者，就左翼菅直人起义而言：

$L\simeq\mathop公司{提升}_R1_C（立方厘米）$ 而这次菅直人的举重绝对的

这是因为附加词 $L \仪表盘R$ 诱导附加词 $-\circ R\dashv-\circL$ 和 $回路-\dashv回路-$ .

关于升力的公式概括为（未丰富的）相对伴随词通过允许任意函子 $J型$ 代替身份；更多信息请参阅此处。

伴随词的变换

有几个普遍性层次，人们可以考虑同态之间伴随函子。

以下是一个基本但重要的概念：

定义

(伴随的共轭变换)
给定一对同一个函数之间的伴随函子对类别

\阵列{\数学{C}\过盈不足{\下集{R_1}{\左箭头}}｛\overset｛L_1｝｛\longrightarrow｝｝{\；\；\ bot\；\；}\数学{D}\\\数学{C}\过盈不足{\下集{R_2}{\左箭头}}{\重叠{L_2}{\右箭头}}{\；\；\ bot\；\；}\数学{D}}

然后是a一对属于自然变换这种形式的同一手性的伴随词之间

\λ\，\冒号\，L_1\到L_2\;\;\;\;\;\;\rho\，\冒号\，R_2\到R_1

被称为共轭[《麦克莱恩》（1971），§IV.7（5）]或a伪变换[Harpaz&Prasma（2015），第2.2节]给定的附加词，如果它们构成以下内容图表属于自然变换之间家庭成员通勤:

\阵列{\数学{C}\big(L_2（-）,\,(-)\大）&\重叠{\sim}{\longrightarrow}&\数学{D}\big((-),\,R_2（-）\大）\\\金属板{{}^{\mathcal{C}\big（\lambda_{（-）}，\，-\big）}}\大\向下箭头&&\大\向下箭头\mathrlap｛｛｝^{\mathcal{C}\big（-，\，\rho_{（-）}\bi格）}}\\\数学{C}\big(L_1（-）,\,(-)\大）&\重叠{\sim}{\longrightarrow}&\数学{D}\big(（-）,\,R_1（-）\大）\马特拉普{\，，}}

其中水平映射是给定的hom-同构(1).

此条件与水平的和垂直成分属于自然变换作为2-态在里面猫因此得出：

定义

(非常大)宽的和局部完整子2类 $类别{Adj}$ 属于猫

(8)

猫{Adj}\长箭头猫

谁的

物体是类别，
1-形态是左伴随仿函数
2-态是自然变换它们在Def意义上是共轭的。.

提议

在格罗森迪克建筑，的Grothendieck腓骨产生于伪函子 $\mathcal{B}\longrightarrow猫$ 该因素通过 $类别{Adj}$ (8)相当于双振.

这可能是范畴理论民俗学；证据已在Harpaz&Prasma（2015），《提案》。2.2.1.

属性

基本属性

提议

(伴随函子在以下情况下是唯一的自然同构)

这个左伴随或右伴随到函子（定义。)（如果存在）是唯一的自然同构.

证明

假设函子 $L\colon\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ 我们要求它的右伴随的唯一性，如果它存在的话。另一种情况是直接类似的。

假设 $R_1，R_2\；\冒号\；\mathcal{C}\到\mathcal{D}$ 是两个仿函数哪些是右伴随到 $我$ 然后针对每个 $d\in\mathcal{d}$ 相应的两个hom-同构(1)并表示有一个自然同构

\功率因数（_d）\;\冒号\；Hom_{mathcal{C}}（-，R_1（d））\;\模拟\；Hom_{mathcal{C}}（-，R_2（d））

就像道具的证明一样。，的米田引理意味着

\Phi_d\；=\；y（\phi_d）

对一些人来说同构

\phi_d\；\冒号\；R_1（d）\超集{\simeq}{\到}R_2（d）\,.

然后是Prop的唯一性声明。意味着每个对象的这些同构集合构成一个自然同构在函子之间。

提议

(左伴随词保留结肠炎，右伴随词保留极限)

让 $（L\dashv R）\colon\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ 是一对伴随函子（定义。). 然后

$我$ 保存全部的结肠炎存在于 $\数学{C}$ ,
$R（右）$ 保留所有限制在里面 $\数学{D}$ .

证明

让 $y：我\到\数学｛D｝$ 成为图表谁的限制 $\lim{\leftarrow_i}y_i$ 存在。然后我们有一个序列自然同构s、在中自然 $x\单位：C$

\开始{对齐}Hom_｛\mathcal｛C｝｝（x，R｛\lim_\leftarrow｝_iy_i）&\simeq（模拟）Hom_{mathcal{D}}（Lx，{lim_\leftarrow}_iy_i）\\&\simeq（模拟）{\lim_\leftarrow}_i Hom_{\mathcal{D}}（Lx，y_i）\\&\simeq（模拟）{\lim_\leftarrow}_i Hom_{\mathcal{C}}（x，Ry_i）\\ &\simeq（模拟）Hom_{\mathcal{C}}（x，{\lim_\leftarrow}_i Ry_i）\,,\结束{对齐}

在那里我们使用了hom同构(1)以及任何人-叛徒保留限制（参见此处）。因为这在 $x个$ 这个米田引理意味着我们有一个同构

R{\lim_\leftarrow}_i y_i\西马克{\lim_\leftarrow}_i R y_i\,.

表明通过以下方式保存结肠炎的论点 $我$ 是类似的。

备注

与Prop的部分转换。由伴随函子定理。另请参阅点式表达式如下所示。

提议

让 $L \仪表盘R$ 是一对伴随函子（定义。). 然后，以下内容成立：

$R（右）$ 是忠实的如果科尼特覆盖每个对象 $x个$ 是一个满态 $L R x \stackrel{}{\到}x$ ;
$R（右）$ 是满的如果科尼特覆盖每个对象 $x个$ 是一个分裂单态 $L R x \stackrel{}{\到}x$ ;
$我$ 是忠实的如果单元覆盖每个对象 $x个$ 是一个单态性 $x\钩右箭头R L x$ ;
$我$ 是满的如果单元覆盖每个对象 $x个$ 是一个分裂满态 $x至R L x$ ;
$R（右）$ 是充分而忠实（附件a反射子范畴)如果科尼特是一个自然同构 $\epsilon:L\circ R\stackrel{\simeq}{\to}Id_D$
$我$ 是充分而忠实（展品a共反射子范畴)如果单元是一种自然的同构 $\eta:Id_C\stackrel{\simeq}{\to}R\circ L$ .
以下是等效的：
- $我$ 和 $R（右）$ 都是充分而忠实;
- $我$ 是一个等效;
- $R（右）$ 是一个等效.

（更多属性列于此MathOverflow讨论.)


$\幻影{A}$ 附加 $\幻影{A}$		$\幻影{A}$ 单元是国际标准化组织: $\幻影{A}$
		$\幻影｛A｝$ 共反射 $\幻影{A}$
$\幻影{A}$ 科尼特是国际标准化组织: $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ 反射 $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ 伴随等价 $\幻影{A}$

证明

为了塑造忠诚的形象 $R（右）$ 通过epi-counit组件，请注意（如在满态)那个 $L R x至x$ 作为一个满态等价于诱导的功能

Hom（x，a）\ to Hom（L R x，a

成为注射对于所有对象 $一$ 然后利用它，通过伴随，我们有一个同构

Hom（L R x，a）\stackrel｛\simeq｝｛\to｝Hom（R x，R a）

根据公式附加词和锯齿形恒等式，这样复合材料

R_{x，a}:Hom（x，a）\ to Hom（L R x，a霍姆（R x，R a）

是函子的分量映射 $R（右）$ (本道具。):

\开始{对齐}（x\stackrel{f}{\to}a）&\mapsto（L R x到x\stackrel{f}到}a）\\&\mapsto（地图）（R L R x \ to R x \ stackrel{R f}{to}R a）\\&\mapsto（地图）（R x到R L R x到Rx\stackrel{R f}{到}R a）\\&=（Rx\stackrel{Rf}{\to}Ra）\结束{对齐}\,.

因此 $R_{x，a}$ 对所有人都是内射的 $x、一个$ ，因此 $R（右）$ 是忠诚的，如果 $L R x至x$ 是一个全同态 $x个$ .特性 $R（右）$ full就是应用于以下事实的相同推理 $\epsilon_x\colon L R x至x$ 是一个分裂单态所有对象的iff $一$ 诱导函数

Hom（x，a）\ to Hom（L R x，a

是一个回注。

为了塑造忠诚的形象 $我$ 通过monic单位注意类似的（如在单态性) $x至R L x$ 如果对所有对象都是单态 $一$ 函数

Hom（a，x）\到Hom（a，R，L x）

是注射。与前面的论点类似，我们发现这等价于

L_{a，x}:Hom（a，x）\ to Hom（a，R L x）\stackrel{\simeq}{\ to}Hom（L a，L x）

是注射。所以 $我$ 如果一切都是忠实的 $x至R L x$ 都是单糖。对于 $我$ 满了，它同样适用于 $x至R L x$ 分裂满态iff诱导函数

Hom（a，x）\到Hom（a，R，L x）

是所有对象的投影 $一$ .

其他陈述的证明以类推的方式进行。

本声明的部分内容可以得到加强：

提议

让 $（L \dashv R）：D至C$ 是一对伴随函子这样就有了任何自然同构

L R \ simeq Id\,,

然后也是科尼特 $\epsilon:L R\到Id$ 是一个同构.

这显示为(约翰斯通，引理1.1.1).

证明

使用给定的同构，我们可以转移余单子上的结构 $左后$ 上的共鸣结构 $Id（_D）$ .由Eckmann-Hilton参数这个自同态幺半群属于 $Id（_D）$ 是可交换的。因此，自从comonad的出现 $Id（_D）$ 是一个左反转（由联合国秘书长）-统一性属性应用于此退化情况），它实际上是一个双面的反向因此 $Id（_D）$ -counit是一个同构.把这个传回来，会发现命令的成员 $左后$ ，因此 $（L \dashv R）$ 是一种同构。

逐点表达式

提议

（的逐点表达式左伴随词依据限制结束逗号类别)

A类函子 $R \；\冒号\；\数学｛C｝\longrightarrow\mathcal｛D｝$ 有一个左伴随 $L \；\冒号\；\mathcal{D}\longrightarrow\mathcal（数学）{C}$ 准确地说，如果

$R（右）$ 保存全部的限制存在于 $\数学{C}$ ;
对于每个对象 $d\in\mathcal{d}$ ，的限制正则函子的逗号类别属于 $R（右）$ 在下面 $d日$

$d/R\右箭头\mathcal{C}$

存在。

在这种情况下左伴随 $我$ 在 $d日$ 由该限制给出：

(9)

L（d）\;\模拟\；\在d/R}{\longleftarrow}}{\lim}c中的underset（underset）{\left（c，数组{d\\downarrow^{\mathrlap{f}}\\R（c）}\right）

（例如。MacLane，第十章，定理2)

证明

首先假设左伴随词存在。然后

$R（右）$ 是一个右伴随因此保留了限制右伴随保留极限;
由Prop。这个辅助装置提供了泛态射 $\eta（目标）$ 进入之内 $L（d）$ 因此，通过Prop。，个展品 $（L（d），\eta_d）$ 作为初始对象的逗号类别 $承兑交单$ 。对于具有初始对象的任何类别都存在限制，因为它是由该初始对象给定的。

相反，假设满足这两个条件 $L（d）$ 由……提供(9)。我们需要证明这会产生一个左伴随。

假设 $R（右）$ 保留了现有的所有限制

（10）

\阵列{R（L（d））& =左侧(\underset｛\dunderset｛\left（c，\array｛d\\\\downarrow ^｛\mathrlap｛f｝｝\\R（c）｝\right）\在d/R｝｛\langleftarrow｝｝｛\lim｝c中\右侧）\\&\simeq（模拟）\在d/R}{\longleftarrow}}{\lim}R（c）中的underset（下划线）}

自从 $d\重叠{f}{\到}R（d）$ 构成圆锥体超过图表的 $雷亚尔（d）$ ，存在泛态射

d\重叠{\phantom{AA}\eta_d\phantom{AA}}{\longrightarrow}R（L（d））\,.

通过Prop。现在足以证明 $\eta（_d）$ 是一个泛态射进入之内 $L（d）$ 因此 $c\in\mathcal{c}$ 和 $d\重叠{g}{\longrightarrow}R（c）$ 有一个唯一的态射 $L（d）\覆盖{\widetilde f}{\longrightarrow}c$ 这样的话

\阵列{&&d日\\&{}^{\mathllap{\eta_d}}\swarrow&&\searrow^{\mathrlap{f}}\\R（L（d））&&\underset{\幻影{AA}右（\widetilde f）\幻影{AA}}{\longrightarrow}&&R（c）\\L（d）&&\underset{\phantom{AA}\widetilde f\phantum{AA}}{\longrightarrow}&&c（c）}

通过Prop。，这相当于 $（L（d），\eta_d）$ 成为初始对象在中逗号类别 $转交/接收$ ，这反过来相当于限制的恒等函子在 $转交/接收$ (这个道具。). 但这直接来自极限公式(9)和（10）.

请参阅伴随函子定理了解更多信息。

附加词与单数的关系

两者之间有着密切的关系附加词(伴随函子)和单子:

附加引起的单子

每附加 $（L \dashv R）$ 诱导单子 $循环L$ 和a余单子 $回路R$ .

(Huber 1961，§4；参见e。MacLane 1971，§VI.1（第134页）;Borceux 1994，第2卷，道具。4.2.1).

具体如下：

提议

让 $（\mathcal｛C｝，\mathcal｛D｝，F，U，\eta，\epsilon）$ 是一对伴随函子即 $F\dashv U型$ 是伴随函子，其中 $F\colon\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ , $U\colon\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{C}$ , $\eta_{A}:A\右箭头U（F（A））$ 是单元和 $\epsilon_{B}\冒号F（U（B））\右箭头B$ 是科尼特然后：

$U \圈F$ 是一个单子在 $\数学{C}$ ，使用单元 $\埃塔$ 和乘法 $U（\epsilon_{F（A）}）：U（F（U（F）（A）））$ .
$圆圈U$ 是一个余单子在 $\数学{D}$ ，使用科尼特 $\ε$ 和复制 $F（\eta_{U（B）}）：F（U（B$ .

证明

我们验证了我们得到了一个单声道，comonad的参数是形式上双重的.

(1)我们知道这张图可以相互转换：

通过应用 $U型$ ，我们得到单子的单位y的第一部分：

(2)我们知道这张图可以相互转换：通过放置 $B=F（A）$ ，我们得到单子的单位性的第二部分：

(3)自然 $\ε$ 为每一个 $f： B\右箭头B'$ :

我们将其应用于 $f=\epsilon_{f（A）}$ 它给出了：

最后申请 $U型$ 以获得：

这就是单子乘法的结合性。

(4)乘法的自然性 $U（\epsilon_{F（A）}）：U（F（U（F）（A）））$ 由2获得晶须国家的 $\epsilon_{B}:U（F（B））\右箭头B$ .

单子体的附加解析类别

诱导单子的附加词 $T型$ （作为在上面)也称为的分辨率 $T型$ .

通常有不止一个这样的决议，实际上有一个类别一个给定单子的附加词，其形态为“比较函子“（例如。MacLane 1971，§VI.3).

在此类别中：

这个初始对象是在克莱斯利范畴单子；
这个终端对象是在那边吗Eilenberg-Moore类别代数的单数附加词（由认可单数定理).

（例如。Borceux 1994，第2卷，道具。4.2.2)

语义结构附加

以上文章来自附加词到单子然后回到他们的单数附加词构成自身附加，有时称为语义结构附加.

相对伴随函子

给一对伴随函子

\数学{D}\过盈不足{\下划线{R}{\右箭头}}{\重叠{L}{\长左箭头}}{\；\；\\数学{C}

有一个感应反附加词属于对函子在他们之间相反的类别表单的

\数学{D}^{op}\过盈不足{\下集{L^{op}}{\左箭头}}{\重叠{R^{op}}{\右箭头}}{\；\；\\数学{C}^{op}\,.

因此，其中 $我$ 是左伴随，其相反的成为右伴随，并双重用于 $R（右）$ .

这是直接从定义相反的类别以及通过相应的同源异形.

这个辅助装置相反附加词的成分是原来的成分附加词被视为相反的范畴，具有双重性：

\ε^｛R^｛op｝L^｛op｝｝_｛c｝\;\冒号\；R^{op}\circ L^{op{（c）\xrightarrow{\；\；\大（\eta^{RL}_c\big）^{op}\；\c（c）\,,{\幻影{AAAAAA}}\eta^{L^{op}R^{op{}}_{d}\;\冒号\；d日\xrightarrow{\；\；\大（\epsilon^{LR}_d\big）^{op}\；\L^{op}\circ R^{op{（d）\,.

合成辅料

给定两对伴随函子

\数学{E}\过盈不足{\下划线{R'}{\右箭头}}{\覆盖{L'}{\长左箭头}}{\；\；\\数学{D}\过盈不足{\下划线{R}{\右箭头}}{\重叠{L}{\长左箭头}}｛\；\；\；\；\bot\；\；\；\；｝\数学{C}

有一个感应复合附加词 $L’\circ L’\dashv R’$ 之间 $\数学{C}$ 和 $\数学{E}$ .

这直接来自于伴随函子的特征hom-同构:

Hom_{\mathcal{E}}（L'（L（-）），-）\；\模拟\；Hom_{\mathcal{D}}（L（-），R'（-））\；\模拟\；Hom_{\mathcal{C}}（-，R（R'（-）））

前后复合伴随函子

给一对伴随函子

\数学{D}\过盈不足{\下划线{R}{\右箭头}}{\重叠{L}{\长左箭头}}{\；\；\\数学{C}

和a类别 $\数学{E}$ ，在函子范畴 $[\mathcal{C}，\mathcal{E}]$ 和 $[\mathcal{D}，\mathcal{E}]$ 表单的

[\mathcal{D}，\mathcal{E}]\过盈不足{\underset{-\circ L}{\longrightarrow}}{\重叠{-\circ R}{\longleftarrow}}{\；\；\[\mathcal{C}，\mathcal{E}]\,.

因此，在哪里 $我$ 是左伴随，其预合成函子 $-\circ L（左）$ 成为右伴随，并双重用于 $R（右）$ .

组件 $\eta_F:F\右箭头F\圆圈R\圆圈L$ 的单元和 $\epsilon_F:F\圆圈L\圆圈R\右箭头F$ 的科尼特由提供晶须原来的单位和单位 $F类$ 在左边。

通过伴随词的唯一性，这意味着左Kan扩展沿着 $我$ 通过预合成给出 $R（右）$ ，这是另一种说法 $R（右）$ 是绝对左Kan扩展的恒等函子沿着 $我$ .双重，右Kan扩展沿着 $R（右）$ 通过预合成给出 $我$ .

在复合后函子之间还有一个诱导附加 $[\mathcal{E}，\mathcal{C}]$ 和 $[\mathcal{E}，\mathcal{D}]$ 表单的

[\mathcal{E}，\mathcal{D}]\过盈不足{\underset{R\circ-}{\longrightarrow}}{\覆盖{L\circ-}{\longleftarrow}}{\；\；\[\mathcal{E}，\mathcal{C}]\,.

组件 $\eta_F:F\右箭头R\圆圈L\圆圈F$ 的单元和 $\epsilon_F:L\圆圈R\圆圈F\右箭头F$ 的科尼特由提供晶须原来的单位和单位 $F类$ 在右边。

通过邻接的唯一性，这意味着左菅直人升降机沿着 $R（右）$ 通过后合成给出 $我$ ，这是另一种说法 $我$ 是绝对左Kan升力的恒等函子沿着 $R（右）$ .双重，右菅直人升降机沿着 $我$ 通过与的后组合给出 $R（右）$ .

伴随函子的切片

提议

（切片伴随）
让

\数学{D}\过盈不足{\underset{\；\；\{\重叠{\；\；\{\机器人}\数学{C}

是一对伴随函子(伴随∞函子)，其中类别(∞-类别) $\数学{C}$ 拥有所有拉回(同源回调).

然后：

对于每个对象 $b\in\mathcal{C}$ 有一对伴随函子在切片类别(切片∞-类别)表单的

(11) $\马查尔{D}（D）_{/L（b）}\过盈不足{\底集{\；\；\{\右箭头}}{\重叠{\；\；\{\长左箭头}}{\机器人}\马查尔{C}（C）_{/b}\马特拉普{\，，}$

哪里：
- $L_{/b}$ 是明显的诱导函子（应用 $我$ 到整个三角形图表在里面 $\数学{C}$ 代表中的形态 $\马查尔{C}（C）_｛/b｝$ );
- $R_{/b}$ 是混合成的
  
  $R_{/b}\;\冒号\；\马查尔{D}（D）_{/{L（b）}}\重叠｛\；\；R\；\；｝｛\longrightarrow｝\马查尔{C}（C）_{/{（R圈L（b））}}\重叠{\；\；（\eta_{b}）^*\；\{\右箭头}\马查尔{C}（C）_{/b}$
  
  属于
  1. 由 $R（右）$ ;
  2. 的(同伦)拉回沿着 $（L \dashv R）$ -单元在 $b条$ （即基本更改沿着 $\eta（b）$ ).
对于每个对象 $b\in\mathcal{D}$ 有一对伴随函子在切片类别表单的

(12) $\马查尔{D}（D）_{/b}\过盈不足{\底集{\；\；\{\右箭头}}{\重叠{\；\；\{\长左箭头}}{\机器人}\马查尔{C}（C）_{/R（b）}\马特拉普{\，，}$

哪里：
- $R_{/b}$ 是明显的诱导函子（应用 $R（右）$ 到整个三角形图表在里面 $\数学{D}$ 代表中的形态 $\马查尔{D}（D）_{/b}$ );
- $L_{/b}$ 是混合成的
  
  $L_｛/b｝\;\冒号\；\马查尔{D}（D）_{/{R（b）}}\重叠{\；\；L\；\\马查尔{C}（C）_{/{（L循环R（b））}}\覆盖{\；\；（\epsilon_{b}）_！\；\{\右箭头}\马查尔{C}（C）_{/b}$
  
  属于
  1. 由诱导的明显函子 $我$ ;
  2. 这个作文使用 $（L \dashv R）$ -科尼特在 $b条$ （即左边基本更改沿着 $\ε_b$ ).

第一个陈述出现在（∞，1）范畴理论，作为HTT，道具。5.2.5.1。供在中讨论模型范畴理论请参见切片Quillen附加词.

证明

（英寸1个-范畴理论)

回想一下(本道具。)定义函子附加的hom同构(此Def。)等同于作文具有

这个辅助装置 $\;\;\eta_c\colon c\xrightarrow{\；}循环L（c）$
这个附加系数 $\;\;\epsilon_d\冒号L\循环R（d）\xrightarrow{\；}d$

如下：

使用此方法，考虑切片类别中的以下变形，对于第一个案例:

（1a）

（2a）

（2b）

（1b）

在这里：

（1a）和（1b）是同一态射的等价表达式 $（f）$ 在里面 $\马查尔{D}（D）_{/L（b）}$ ，通过（在图表顶部）上述表达式附加词之间 $\数学{C}$ 和 $\数学{D}$ 和（在底部）三角形恒等式.
（2a）和（2b）是同一态射的等价表示 $\颚化符f$ 在里面 $\马查尔{C}（C）_{/b}$ ，由通用属性的拉回.

因此：

从（1a）中的态射开始，并将其转换为 $(2)$ 然后to（1b）是身份操作；
从（2b）中的态射开始，然后将其转换为（1），再转换为（2a），这就是恒等运算。

总之，转换（1） $\左右箭头$ （2）构成ahom同构见证了第一张申请表的附加(11).

这个第二种情况类似地，但由于不涉及回调，因此更直接一些：

（1a）

(2)

（1b）

总之，转换（1） $\左右箭头$ （2）构成a同源异形见证了第二份申请表的附加(12).

备注

（切片附加词的左伴随形式附加词）
切片附加（Prop。)第二种形式(12)是这样的左伴随发送切片形态 $\陶$ 到他们的附加词 $\widetilde{\tau}$ ，其中（再次由本道具。):

L_{/d}\,\左(\阵列{c（c）\\\大\下箭头{}^{\mathrlap{\tau}}\\R（b）}\右侧）\;\;=\;\;\左(\阵列{L（c）\\\大\下箭头{}^{\mathrlap{\widetilde{\tau}}}\\b条}\右侧）\;\;\;\英寸\;\马查尔{D}（D）_{/b}

中的两个附加词承认以下联合概括，这已被证明HTT，lem.（莱姆）。5.2.5.2（请注意，这里的语句更为笼统，这里我们只使用以下情况 $K=\增量^0$ .)

提议

（切片伴随）
让

\数学{C}\过盈不足｛\bunderset｛\；\；\；R\；\；\；｝｛\langleftarrow｝{\重叠{\；\；\{\机器人}\数学{D}

是一对伴随∞函子，其中∞-类别 $\数学{C}$ 拥有所有同伦拉回进一步假设我们被赋予对象 $c\in\mathcal{c}$ 和 $d\in\mathcal{d}$ 与同态一起 $\α：c到R（d）$ 及其附件 $\β：L（c）至d$ .

然后有一对感应伴随∞函子在切片∞-类别表单的

(13)

\马查尔{C}（C）_{/c}\过盈不足{\底集{\；\；\{\长左箭头}}{\重叠{\；\；\{\右箭头}}{\机器人}\马查尔{D}（D）_{/d}\马特拉普{\，，}

哪里：

$L_{/c}$ 是混合成的

$L_{/c}\;\冒号\；\马查尔{C}（C）_｛/｛c｝｝\重叠{\；\；L\；\\马查尔{D}（D）_{/{L（c）}}\覆盖{\；\；\beta_！\；\\马查尔{D}（D）_{/d}$

属于
1. 由 $我$ ;
2. 这个作文具有 $\β：L（c）至d$ （即左侧基本更改沿着 $\β$ ).
$R_{/d}$ 是混合成的

$R_{/d}\;\冒号\；\马查尔{D}（D）_{/{d}}\重叠{\；\；R\；\：}{\longrightarrow}\马查尔{C}（C）_{/{R（d）}}\重叠{\；\；（\alpha^*\；\，}{\longrightarrow}\马查尔{C}（C）_{/c}$

属于
1. 由诱导的明显函子 $R（右）$ ;
2. 这个同伦沿着 $\α：c到R（d）$ （即基本更改沿着 $\阿尔法$ ).

示例

关于伴随函子示例的中心点是：

伴随函子无处不在.

在相当程度上，范畴理论都是关于伴随函子和其他函子通用结构秒：Kan扩展第页，限制第页，可表示函子s、这些都是伴随函子的特例&而伴随函子是这些的特例。

列出伴随函子的示例与列出完整的中的分析：可以而且确实可以用这些来填满书籍。（事实上，这个类比比普通人看到的要多：看共同（coend）更多信息）。

记住这一点，我们确实列出了一些特殊情况和特殊类别的示例，这些示例非常有用。但任何列表都必然是极其不完整的。

概述

之间的一对伴随函子偏序集是一个伽罗瓦通信.
一对伴随函子 $（L \dashv R）$ 哪里 $R（右）$ 是一个完全忠实函子展品a反射子范畴.

在这种情况下 $我$ 可以被视为本地化事实上，在这种情况下，附加通过单位和counit提供了通用因式分解，这意味着每个态射 $f:c\至Rd$ 通过本土化成为局部客体因素 $c（c）$ .
一对伴随函子，也是范畴的等价性被称为伴随等价.
一对伴随函子，其中 $C$ 和 $D类$ 有有限的限制s和 $我$ 保留这些有限极限是几何态射。这是一种介于地形es。如果另外 $R（右）$ 是完全和忠实的，那么这是一个几何嵌入.
左右伴随函子 $p_！$ 和 $第页_*$ （如果存在）到函子 $p^*：[K'，C]\至[K，C]$ 之间函子范畴用函子预合成得到 $p:K\至K'$ 属于图表类别被称为左和右Kan扩展函子 $对$

$（Lan_p\dashv p^*\dashv-Ran_p）:=（p_！\dashv p^*\dashv p_*）：【K、C】\stackrel{\overset{p！}{\to}}{\stackrel}\oversset{p^*}{\leftarrow}}{\ underset{p*}{\to}}}[K'，C]\,.$

如果 $K’={*}$ 是终端类别那么这就是限制和上极限上的函子 $【K、C】$ .

如果 $C类=$ 设置那么这就是直接图像和反像上的操作预升.
如果 $R（右）$ 被视为遗忘函子然后是它的左伴随 $我$ 被视为自由函子.
如果 $C$ 是一个小的类别上极限s和 $K（K）$ 是一个小类别（a）图表类别）和 $问：K至C$ 是任何函子，则这会导致神经与实现伴随函子对

$（|-|_Q\dashv N_Q）：C\stackrel{\overset{|-|Q}{\leftarrow}}{\underset{N_Q}{\to}}[K^{op}，集合]$

之间 $C$ 和预升类别在 $K（K）$ ，其中
- 这个神经函子由下式给出
  
  $N_Q（c）：=Hom_c（Q（-），c）：k\映射到Hom_c（Q（k），c）$
- 实现函子由共同（coend）
  
  $|F|_Q:=\int^{k\in k}Q（k）\cdot F（k）\,,$
  
  在被积函数中，我们有正则张量属于 $C$ 结束设置( $Q（k）\cdot F（k）=\连杆{s\在F（k$ ).
下面是一个著名的例子 $C类=$ 顶部, $K=\增量$ 这个单纯形范畴和 $Q:\增量\到顶部$ 发送的函子 $[无]$ 到标准拓扑 $n个$ -单工在这种情况下，神经函子是奇异单形复形函子和实现是普通的几何实现.

工具书类

有关基本信息，请参阅范畴理论（请参阅上的参考资料附加)，例如：

桑德斯·麦克莱恩，第四章：职业数学家的类别《数学研究生课程》，斯普林格出版社（1971年）[doi:10.1007/978-1-4757-4721-8]
弗朗西斯·博尔塞克斯，第1卷第3节和第2卷第4.2节范畴代数手册(1994)
皮特·约翰斯通，第页，共页大象素描(2022)
物理学的几何学&范畴和拓扑–附件

虽然伴随等价出现在中格罗森迪克东北论文中，伴随函子的概念一般可以追溯到

丹尼尔·阚,伴随函子《美国数学学会学报》872 (1958) 294-329 [jstor:1993102]

和中关系到有限公司/单子到

彼得·胡贝尔，§4英寸：一般范畴中的同伦理论，Mathematische Annalen144(1961) 361–385 [doi:10.1007/BF01396534]

及其与范畴理论在中突出显示

彼得·弗雷德,阿贝尔范畴——函子理论简介《哈珀现代数学系列》，哈珀&罗出版社，纽约（1964年）[pdf格式]
威廉·劳弗尔,基础中的邻接性, (节气门执行器控制)《辩证法》23（1969），281-296

伴随函子形式化辩证法在中重新叙述

约阿希姆·兰贝克,赫拉克利特对现代数学的影响，输入今日科学哲学：纪念马里奥·本吉的文章由Joseph Agassi和Robert S Cohen编辑，第111-21页。波士顿：D.Reidel Publishing Co.（1982）(doi:10.1007/978-94-009-8462-2_6)

（更多信息请参见伴随情态)

另请参见：

维基百科，伴随函数
卡特斯夫妇(列表)

更多关于伴随词的变换:

约纳坦·哈帕兹,马坦普拉斯马，第2.2节。第页，共页：模型类别的Grothendieck构造，数学进展281(2015) 1306-1363 [arXiv公司：1404.1852,10.1016/j.aim.2015.03.031]

（在Grothendieck结构上的模型结构)

上次修订时间：2024年6月2日15:20:09。请参阅历史获取所有贡献的列表。

n实验室伴随函子

上下文

范畴理论

概念

通用结构

定理

扩展

应用

目录

想法

定义

就Hom同构而言

定义

定义

提议

证明

提议

证明

根据可表示函子

全球定义

提议

证明

备注

本地定义

备注

关于通过（co）单位的普适因式分解

定义

提议

提议

证明

例子

以逗号类别表示

根据共图/对应/异形

根据图/双面离散纤维

就Kan扩展/提升而言

伴随词的变换

定义

定义

提议

属性

基本属性

提议

证明

提议

证明

备注

提议

证明

提议

证明

逐点表达式

提议

证明

附加词与单数的关系

附加引起的单子

提议

证明

单子体的附加解析类别

语义结构附加

相对伴随函子

合成辅料

前后复合伴随函子

伴随函子的切片

提议

证明

备注

提议

示例

概述

相关概念

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