n实验室伴随函子定理

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范畴理论

这个潜在论点的问题是，一般来说，逗号类别 $（转交）$ 可能不是小类别。但人们通常不能期望一个大类别具有所有大的限制：即使我们传递给宇宙在哪儿 $（转交）$ 被视为较小弗雷德的经典定理说什么完全小类别是一个预先订购（请参见完全小类别用于证明，该证明在经典逻辑在任何格罗森迪克地形). 因此，我们上面给出的论点必然只是一个预序的伴随函子定理:

定理

如果 $G： D至C$ 是（小）预序之间的任何函子 $D类$ 有，和 $G公司$ 蜜饯，都是小的满足，然后 $G公司$ 有一个左伴随词。

（这个定理适用于构造数学，虽然不在中预测数学; 在此之前的经典推理解释了为什么定理不是更一般的，但证明本身已经是建设性的。）

为了获得非预序范畴的伴随函子定理，因此必须对范畴施加各种额外的“大小条件” $D类$ 和/或函子 $G公司$ .

声明

定理

一个极限保函子的充分条件 $R:C\至D$ 成为一名右伴随包括：

$C类$ 是完成和局部较小、和 $R（右）$ 满足解集条件.

这是弗雷德的原始版本，有时称为“广义伴随函子定理”.
$C类$ 完整，局部较小，精力充沛的，并具有小的热电联产机组、和 $D类$ 是局部较小.

这有时被称为“特殊伴随函子定理”，缩写为SAFT。
$C类$ 局部较小小计、和 $D类$ 局部较小。

在前两种情况下，用小极限代替大极限就足够了 $R（右）$ 保留较小的限制（它将保留所有限制）。第三种情况通过假设 $C类$ 虽然不是所有的大极限都有，但足以使定理通过；这种情况就是这样 $R（右）$ 必须已知才能保存大的限制。

证明

这里是广义伴随函子定理的一个证明：函子 $R:C\至D$ 中的局部小类别 $C类$ 所有小极限都有一个左伴随，如果它保留了这些限制s并满足解集条件.

来自于伴随函子——用通用箭头表示我们知道，伴随的存在等价于每个伴随的存在 $d中的d\$ 的初始对象 $i_d:d\到R L d$ 在中逗号类别 $（d\向下箭头R）$ ：一个对象，用于每个 $f:d\到R d'$ 有一种独特的 $\颚化符f$ 这样的话

\阵列{&&d日\\&｛｝^｛\mathllap｛i_d｝｝\swarrow&&\searrow ^｛\mathllap｛f｝｝｝\\R L d&&\下置{R \波浪线f}{\ to}&&R d'\\\\L d&&\下划线{\波浪线f}{\到}&&d'}

通勤。现在一个初始对象是恒等函子的极限，但这通常是一个很大的极限；我们用一些保证初始对象存在的小极限条件来代替它。

让 $Y（Y）$ 成为一个类别。调用一个小对象族 $F类$ 弱初始值如果针对每个对象 $年$ 属于 $Y（Y）$ 存在 $x\单位：F$ 和一个态射 $f： x到y$ .
假设 $Y（Y）$ 有小产品。如果 $F类$ 是一个弱初始族，然后 $\F}x中的prod_{x\$ 是一个弱初始对象.
索赔：假设 $Y（Y）$ 局部较小，并且具有小型家庭的联合均衡器。如果 $x个$ 是弱初始对象，然后是域 $e（电子）$ 联合均衡器的 $i： e到x$ 所有箭头的 $x至x$ 是初始对象。证明：清晰地 $e（电子）$ 是弱初始值。假设给定一个对象 $年$ 和箭头 $f、 g:e\到y$ ; 我们必须展示 $f=克$ .让 $j： d\到e$ 成为…的均衡器 $（f）$ 和 $克$ 。有一个箭头 $k： x\至d$ .箭头 $i： e到x$ 使相等 $1_x（1_x）$ 和 $i j k：x至x$ ，所以 $i j k i=i$ .自 $我$ 是monic， $j（k i）=1_e$ .因此 $j个$ 是一个epi，并且 $f=克$ 跟随。

如果 $C类$ 局部较小且较小完整，并且 $R： C\到D$ 保留限制，然后 $d\向下箭头R$ 对于每个对象来说都是局部较小且较小的完整 $d日$ 属于 $D类$ .

如果另外每个 $d\向下箭头R$ 有一个弱初始族（解集条件），然后是2。和3。每个 $d\向下箭头R$ 具有初始对象。这重申了以下条件： $R（右）$ 有一个左伴随词。

事实上，这就足够了 $C类$ 成为柯西完成和 $R（右）$ 成为 $\阿尔法$ -平的对于每个 $\阿尔法$ （即针对其Yoneda扩建成为连续的). 请参见博尔塞克斯.

SAFT证明

如前所述，证明通过构造逗号类别的初始对象进行。我们假设 $C类$ 是当地小型、小型、完整、动力充足、有热电联产机组 $\{c_\alpha:\alpha\在A\}中$ ，还有那个 $R： C至D$ 是一个小的-连续函子到局部小类别 $D类$ .

如前所述，对于每个对象 $d日$ 属于 $D类$ ，逗号类别 $d\向下箭头R$ 局部较小且较小完整。此外，很容易检查它是否功能良好，以及表单中所有对象的集合 $d到R c_α$ 是一个热电联产机组 $d\向下箭头R$ .

然后，它仍然需要证明，任何本地的小型、小型、完整、强大的类别 $X（X）$ 带有热电机组 $\{k_s:s\在s\}中$ 具有初始对象。初始对象 $0$ 构造为的所有子对象的交点=回拉 $\产品_秒$ 即最小子对象。然后，给定 $f、 g:0\至x$ 、均衡器 $等式（f，g）$ 与同构 $0$ 因为 $0$ 是最小的，所以 $f=克$ ：最多有一个箭头 $0\至x$ 对于每个 $x个$ .

另一方面，对于每个 $x个$ 规范映射

i： s}k{s}^{hom（x，k_s）}中的x\to\prod_{s\

是monic，因为 $k秒$ 热电联产。以下是 $我$ ,

\阵列{k到x\向下箭头&&\向下箭头\mathrlap{i}\\\prod_sk{s}^1&\stackrel{\prod_sk{s}^！}{\到}&\prod_sk{s}^{\hom（x，k_s）}},

提供子对象 $k个$ 属于 $\产品_秒$ 映射到的 $x个$ ，其中 $0$ 嵌入。因此有一张地图 $0\至x$ ，我们得出结论 $0$ 是首字母。

在本地可呈现的类别中

在实践中，一个重要的特例是介于本地可呈现类别对于这些，有以下版本的伴随函子定理。

定理

让 $F\冒号C\至D$ 是介于之间的函子本地可呈现类别.然后

$F类$ 有一个右伴随当且仅当它保留所有的小结肠炎.
$F类$ 有一个左伴随当且仅当它是可及函子并保存所有小的限制.

第二个语句，描述了 $F类$ 有一个左伴随词，是(AdamekRosicky，定理1.66). 在“如果”方向，这是一般伴随函子定理的一个应用：任何可及函子都满足解集条件。“唯一的如果”，特别是有一个左伴可以强制可达性，需要做一些工作。但是在任何情况下，有简单的例子表明仅连续性是不够的，例如连续函子之间本地可呈现类别没有的左伴随词。请参阅下面的章节在本地可呈现的类别中.

第一句话，描述了 $F类$ 有一个右伴随，可以用特殊的伴随函子定理证明：由一个非平凡定理(AdamekRosicky，定理1.58)，任何本地可呈现的类别都是合力的。

因此，可以通过删除以下假设来加强第一句话： $D类$ 在当地可以接受：这就足够了 $D类$ 当地规模较小。例如，如果 $C类$ 是本地可呈现的，那么每个连续函子

C^{op}\设置

有一个左伴随（可表示），因为它的相反 $C\设置^{op}$ 是共连续的，因此有一个正确的伴随词，即使 $设置^{op}$ 无法在本地显示。

A类右伴随到任何共连续函子 $F\冒号C\至D$ 之间本地可呈现类别也可以直接构造。如果 $C类$ 是本地的 $\λ$ -可展示和 $P_\λ$ 是的子类别 $\λ$ -小物体，那么 $C类$ 相当于的完整子类别 $[P_\lambda^{op}，集合]$ 保留的压力 $\λ$ -小限额(AdamekRosicky，定理1.46). 函子图像中的预升 $D\到[P_\lambda^{op}，集合]$ 由定义 $d\mapsto\hom（F-，d）$ 保存 $\λ$ -小限制是因为 $F类$ 是连续的。所以这个函子通过子范畴进行因子分解 $C类$ .函子 $D至C$ 这样构造的是的右伴随 $F类$ .

示例

在本地可呈现的类别中

下面是一个反例，表明需要一些不仅仅是连续性的东西来迫使局部可表示范畴之间的函子成为正确的伴随；如定理所述，缺少的额外条件正是可访问性。

例子

对于每一个无限基数 $\卡帕$ ，让 $G_\kappa公司$ 成为简单群属于基数 $\卡帕$ .定义函子 $毫升：$ 组 $\至$ 设置成为产品在所有的可表示函子 $霍姆（G_\kappa，-）$ 因为没有一个团体可以承认同态从适当的-班-许多 $G_\kappa公司$ ，此函子确实在中着陆（或可以重新定义为着陆）设置由于它是可代表性的产品连续的（当然组和设置是本地可呈现类别)，但它本身不可表示（因此没有左伴随).

安德烈·乔亚尔一直把这个例子归因于桑德斯·麦克莱恩; 它以印刷形式出现，例如就在(阿梅克Koubektrnková01).

在共同完成的类别中

假设 $C类$ 和 $D类$ 是可以接受的类别小结肠炎（即共同完成)和 $F\冒号C\至D$ 是一个保持小结肠炎（即共连续）。这个 $F类$ 有一个右伴随当且仅当对于任何对象 $d中的d\$ 函子

C^{op}\设置

发送

c映射到D（F（c），D）

是一个小预切在 $C类$ .

请参阅MathOverflow答案通过伊万·迪·利贝蒂.

在地形中

提议

每层拓扑是一个总类别和a小计类别.

请参阅上的讨论格罗森迪克地形.

由此可见

推论

让 $F:C\至D$ 成为函子之间层拓扑.然后

$F类$ 有一个右伴随如果它能保存所有的小结肠炎；
$F类$ 有一个左伴随如果它能保存所有的小限制.

在预处理类别中

详细说明右伴随从一个保colimit函子 $L（左）$ 在所有类别都是预升的类别这是一个特别简单的案例，但它本身很有用，可以作为一般案例的模板。

所以现在让我们 $C类$ 和 $D类$ 是小类别和 $L（左）$ 一上极限-保存它们之间的函子预升的类别（我们缩写为 $\宽海特C\；\冒号\；[C^｛op｝，集]$ 等）：

L \；\冒号\；\widehat{C}\longrightarrow\widehat{D}

那么它右伴随 $R \；\冒号\；\widehat{D}\longrightarrow\widehat{C}$ 给出（带有 $y_c\coloneqq c（-，c）$ 表示Yoneda嵌入)由

(1)

R（右）\;\冒号\；A类\;\地图\；右（A）\;\冒号\；\宽海特{D}\左(L（y_{（-）}），A类\右侧）\,,

我们稍后会查看。但首先要注意的是，使用co-Yoneda引理这可以改写为

\光盘\;\模拟\；\c}中的int^{c\\宽海特{D}\左(L（y_c），A\右侧）\cdot y_c\,,

其中共同（coend）由上极限

\cdots\；=\；\lim_{underset{L c\ to A}{\ to}}c\,.

这是上面一般讨论的准右伴随的公式，只是这里的colimit只在可表示项上，因此在一个小类别上。

现在我们检查函子 $R（右）$ 这样得到的确实是正确的伴随 $L（左）$ ，通过显式检查hom-isomorphism(在这里)一对伴随函子:

我们计算 $\宽度{D}（L（X），A）$ .在第一步中

\宽度{D}（L（X），A）\西马克\宽边帽｛D｝\左(L（左）\左(\整数^{c\在c}X（c）\cdot y_c中\右侧），A类\右侧）

我们使用co-Yoneda引理对于 $X（X）$ 然后，因为 $L（左）$ 保存腹痛，这是

\光盘\西马克\宽海特{D}\左(\整数^c X（c）\cdot L（y_c），A\右侧）\,.

自人-叛徒保留了两个参数的限制，我们可以共同（coend）去拿一个结束

\cdots公司\西马克\c}中的int_{c\\宽度{D}（X（c）\cdot L（y_c），A）\,.

然后我们使用标准张量我们的类别超过设置得到

\光盘\西马克\c}中的int_{c\设置\左（X（c），\宽度{D}（L（y_c），A）\右侧）\,.

最后，这被认为是霍姆塞特预升（参见上的讨论函子范畴):

\光盘\西马克\宽度{C}\左(X、，\宽度{D}（L（y_{（-）}），A）\右侧）\;=\; \宽度{C}（X，RA）\,,

在右边的什么地方(1).

这个作文这个序列的自然同构因此是期望的hom-isomorphism：

\widehat｛D｝（L（X），A）\simeq\widehat｛C｝（X，R（A））\,.

工具书类

经典的伴随函子定理起源于

彼得·弗雷德,阿贝尔范畴，Harper&Row New York，1964年。（转载作者评论为TAC再版第3期（2003年）)

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SAFT证明

在本地可呈现的类别中

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在本地可呈现的类别中

例子

在共同完成的类别中

在地形中

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