n实验室伴随（无穷大，1）函子

上下文

$（\infty，1）$ -范畴理论

普通伴随函子的一个定义是：一对函子 $C\stackrel{\覆盖{L}{\leftarrow}}{\underset{R}{\to}}D$ 如果有自然同构

$Hom_C（L（-），-）\simeq Hom_D（-，R（-））\,.$

这个定义的类比在（∞，1）范畴理论，其中 $Hom_C（-，-）：C^{op}\times C\to\infty Grpd$ 是 $（\infty，1）$ -分类的人-客体。
伴随函子的另一个特征是齿状图/异态：的笛卡尔纤维到其中函子是关联的。在函子的有向图讨论了两个函子如何 $L:C\至D$ 和 $R:D\至C$ 如果 $L（左）$ 与 $R（右）$ 直到箭头明显反转

（L\dashv R）\左右箭头（cograph（L）\simeq cograph（R^｛op｝）^｛op｝）\,.

使用（∞，1）-Grothendieck构造函子的有向图概念对 $（\infty，1）$ -类别。

定义

在人体等效性方面

定义

（根据单位映射诱导的hom等价性）

一双（∞，1）-函子

C\stackrel{\覆盖{L}{\leftarrow}}{\underset{R}{\to}}D类

是一个附加词，如果存在机组改造 $\epsilon:Id_D\到R\circ L$ –中的同态（∞，1）-函子的（∞、1）-范畴 $函数（D，D）$ –使所有人 $d中的d\$ 和 $c \以c表示$ 诱导态射

Hom_C（L（d），C）\stackrel{R_{L（d），c}}{\到}Hom_D（R（L（D）），R（c））\stackrel{Hom_D（\epsilon，R（c））}{\to}Hom_D（D，R（c））

是一个∞-群胚的等价性.

就概念的具体体现而言 $（\infty，1）$ -按概念分类准范畴，我们有 $Hom_C（L（d），C）$ 和 $Hom_D（D，R（c））$ 化身为准范畴中的hom-objects，其中包括Kan复合体，且上述等效为同伦等价Kan复合体。

在本表中，是由于Lurie 09，定义5.2.2.7.

简化了讨论瑞尔和Verity 15，4.4.2-4.4.4和Riehl&Verity 20，3.3.3-3.5.1和Riehl&Verity“元素”，道具。4.1.1.

根据共图/异态

我们在这里讨论了的拟范畴理论模拟用有向图表示的伴随函子(异态).

我们在这里使用了（∞，1）-Grothendieck构造在它的化身中准范畴：这里是（∞，1）-函子 $L:D\至C$ 可以被视为地图 $\增量[1]^{op}\到$ （∞，1）猫，对应于Grothendieck构造下的笛卡尔纤维属于单纯形集 $coGraph（L）\到\增量[1]$ .

定义

（根据笛卡尔/余笛卡尔纤维）

让 $C类$ 和 $D类$ 是准范畴.一个附加之间 $C类$ 和 $D类$ 是

同态 $K\至Delta[1]$ 属于单纯形集，这两者都是笛卡尔纤维以及共笛卡尔fibration。
与一起拟范畴的等价性 $C\stackrel{\simeq}{\to}K_{0\}}$ 和 $D\stackrel｛\simeq｝｛\to｝K_｛\｛1\｝$ .

两个（∞，1）-函子 $L:C\至D$ 和 $R:D\至C$ 被称为伴随–使用 $L（左）$ 左伴随到 $R（右）$ 和 $R（右）$ 右伴随到 $L（左）$ 如果

有一个附加词 $K至I$ 在上述意义上
和 $L（左）$ 和 $K（K）$ 是关联函子笛卡尔公式 $p\冒号K\到\增量[1]$ 和笛卡尔纤维 $p^{op}:K^{op{to\Delta[1]$ 分别是。

同伦2范畴中

定义

（根据同伦2范畴）

说一对2分类的伴随（∞，1）-函子是一个附加在中同伦2-（∞，1）-范畴.

这个概念，本着正式的 $\英菲$ -范畴理论，在Joyal 2008，第159页（第11页，共348页）然后在中展开Riehl-Verity 15，定义4.0.1.

这样一个2范畴的附加词（Def。)确定的伴随对 $\英菲$ -函子的意义卢里2009(Riehl-Verity 15，第4.4.5段):

提议

中的一对反视差态射 $猫\\infty$ 是一对伴随词 $\英菲$ -函子的意义Lurie 2009，第5.2节如果且仅其在同伦2-范畴 $Ho_2\big（Cat_\infty\big）$ 形成一个附加在古典意义上2范畴理论（定义。).

(Riehl&Verity 2022，第F.5节，提案。图5.6)

提案的概念内容。可作出如下声明：

提议

每个2-范畴伴随对 $（\infty，1）$ -Def意义上的函子。以一种本质上独特的方式扩展到“同伦相干附加词”。

(Riehl&Verity 2016年，Thm。4.3.11, 4.4.11)

属性

提议

对于 $C类$ 和 $D类$ 准范畴附加词的两个定义，

根据单位映射（Def。)
根据笛卡尔/余笛卡尔纤维（定义。)

是等效的。

这是HTT，支柱5.2.2.8.

证明

首先，我们讨论如何从通信数据中生成附加词的单位 $K\至Delta[1]$ 对 $\英菲$ -附加 $（f \dashv g）$ .

为此，定义一个态射 $F'：\Lambda[2]_2\乘以C\到K$ 如下：

在 $\{0,2\}$ 它是形态 $F:C:times\Delta[1]到K$ 那个展览 $（f）$ 与相关联 $K（K）$ ，正在 $标识_C$ 在 $C\次\{0\}$ 和 $（f）$ 在 $C\次\{2\}$ ;
在 $\{1,2\}$ 它是形态 $C\times\Delta[1]\stackrel｛f\times Id｝｛\to｝D\times\Delta[1]\stackrel｛G｝｛\to｝K$ ，其中 $G公司$ 是表现出的态射 $克$ 与相关联 $K（K）$ ;

现在请注意 $F’$ 特别是发送 $\{1,2\}$ 到笛卡尔态射中的 $K（K）$ （根据关联函子的定义 $K（K）$ ). 通过以下等效特征之一笛卡尔态射s、这意味着图中的电梯

\阵列{\兰姆达[2]_2&\stackrel{F'}{\to}&K\\\向下箭头&{}^{F''}\nearrow&\向下箭头\\\增量[2]乘以C&\到&\增量[1]}

存在。这定义了一个态射 $C\次\{0,1\}\到K$ 其组成部分可被视为形成自然转化 $u:d_C\到g\circ f$ .

为了证明这确实是一个单位变换，我们需要显示准范畴中的hom-object为所有人 $c \以c表示$ 和 $d中的d\$

Hom_D（f（f），D）\到Hom_C（g（f（C），g（D））\到Hom_C

是等价的，因此在同伦范畴一旦检查其是否符合通勤图

\阵列{Hom_D（f（c），D）&\至&Hom_c（g（f（c），g（D））&\到&Hom-c（c，g（D））\\\向下箭头&&&&\向下箭头\\Hom_K（C，D）&&=&&Hom_K（C，D）}\,.

为了便于说明，追踪一个态射 $f（c）至d$ 通过这个图可以得出

\阵列{（f（c）到d）和映射到&（g（f（c））到g（d））（c到g（f（c））到g（d））\\\向下箭头&&&&\向下箭头\\（c到g（f（c））&&=&&（c到g（f（c））到g（d）到d）}\,,

在左边，我们用笛卡尔态射预合成

\阵列{&&g（f（c））\\&\nearrow&\Downarrow^{\simeq}&\searrow\\c&&至&&f（c）}

由提供 $F“”| _｛c｝：\增量[2]\到K$ ，由…

伴随词的唯一性

函子的伴随如果存在，则本质上是唯一的：

提议

如果 $（\infty，1）$ -拟范畴之间的函子 $L:D\至C$ 承认正确的伴随词 $R:C\至D$ ，那么这在同伦之前是唯一的。

此外，甚至同伦的选择都是唯一的，直到更高的同伦，即所有正确的伴随词的集合 $L（左）$ 表格a可收缩的 ∞-广群，在以下意义上：

让 $Func^L（C，D），Func^R（C，C）\子集Func（C，D）$ 是（∞，1）-函子的（∞、1）-范畴之间 $C类$ 和 $D类$ 关于左伴随函子和右伴随函子。然后有一个规范拟范畴的等价性

函数^L（C，D）\stackrel{\simeq}{\to}函数^R（D，C）^{op}

（至相对拟范畴)，它将每个左伴随函子转换为相应的右伴随函子。

证明

这是HTT，支柱5.2.1.3（另注5.2.2.2），以及HTT，道具。5.2.6.2.

其思想是将右伴随词的范畴构建为完整子范畴的交集

\阵列{函数^R（C，D）和\到&C^D\\\向下箭头&&\向下箭头\\（D^C）^{op}&\到&\输入Gpd^{C^{op{times D}}

其中包裹体由yoneda嵌入体给出。的元素 $函数^R（C，D）$ 对应于函子 $p:C^｛op｝\乘以D\到\infty Gpd$ 其中存在一对函子 $克：D至C$ 和 $f:C\至D$ 这样的话 $p \simeq D（f-，-）\ simeq C（-，g-）$ .

单位和单位的唯一性

给定函子 $f:C\至D$ 和 $克：D至C$ ，我们可以使用（∞，1）-结束确定计算等效链

\开始{对齐}C^C（id，gf）&\｛c｝c（c，gf（c））中的simeq\int_｛c｝\\&\simeq\int_{c\in c}\infty Gpd^D（D（f（c），-），c（c，g-））\\&\simeq Gpd^{C^{op}\乘以D}（D（f-，-），C（-，g-））\结束｛对齐｝

双重地，我们可以将counits空间识别为

D^D（fg，id）\simeq Gpd^{C^{op}\times D}（C（-，g-），D（f-，-））

所以每一半的等价性 $D（f-，-）\simeq C（-，g-）$ 基本上唯一对应于单位和单位转换的选择。

限制和结肠炎的保存

回忆一下 $（L \dashv R）$ 一双普通的伴随函子s、事实上 $L（左）$ 保存上极限s（以及 $R（右）$ 保存限制s）是…的正式结果

hom-i同构 $Hom_C（L（-），-）\simeq Hom_D（-，R（-））$ ;
事实上 $Hom_C（-，-）：C^{op}\times C\设置$ 保留两个参数中的所有限制；
这个米田引理也就是说，如果所有出（入）的hom都是同构的，那么这两个对象就是同构的。

使用此项计算所有 $c \以c表示$ 和图表 $d:I至d$

\开始{对齐}Hom_C（L（\lim_｛\to｝d_i），C）和simeqHom_D（到D_i，R（c））\\&\simeq（模拟）\lim_｛\left-arrow｝Hom_D（D_i，R（c））\\&\simeq\lim_{\leftarrow}Hom_C（L（d_i），C）\\&\simeq Hom_C（lim_{to}L（d_i），C）\,,\结束｛对齐｝

这意味着 $L（到d_i）$ .

现在看看这个 $（\infty，1）$ -范畴理论（…）HTT命题5.2.3.5

同伦范畴上的伴随词

提议

对于 $（L\dashv R）：C\stackrel{\leftarrow}{\to}D$ 一个 $（\infty，1）$ -附加词，其意象在去范畴化下同伦范畴是一对普通的伴随函子秒

（Ho（L）\dashv Ho（R））：Ho（C）\stackrel{\leftarrow}{\to}Ho（D）\,.

证明

这是HTT，支柱5.2.2.9.

这是因为 $\ε：Id_C到R循环L$ 的一个单位 $（\infty，1）$ -附加词及其形象 $Ho（\epsilon）$ 是普通附加词的单位。

备注

相反的说法通常是错误的。近似逆公式如下HTT，支柱5.2.2.12如果有人考虑 $霍$ -丰富同伦范畴：if $Ho（左）$ 有正确的伴随词，那么 $L（左）$ .

重要的是要考虑 $霍$ -丰富了同伦范畴而不是普通同伦范畴。举个反例，当 $霍$ 被视为普通类别， $\pi_0:Ho\设置$ 左右都与包含内容相邻 $设置\subseteq Ho$ 然而， $\pi_0:\infty Gpd\设置$ 没有左伴随。

找到同伦范畴的普通附加词提升为 $（\infty，1）$ -附加功能是将其作为被子辅料之间简单模型范畴-结构。这将在示例部分中讨论单纯形和派生附加词如下所示。

完整而忠实的伴随词

至于普通伴随函子我们在完全伴随词和幂等单体之间有以下关系。

提议

给定 $（\infty，1）$ -附加 $（L \dashv R）：C至D$

$R（右）$ 是一个完全忠实（∞，1）函子确切地说是counit $L R\stackrel{}{\to}Id$ 是一个等效属于（∞，1）-函子.

在这种情况下 $C类$ 是一个反射（∞，1）-子范畴属于 $D类$ .
$L（左）$ 是一个完全忠实（∞，1）函子正是这个单位 $Id至R L$ 是一个等效属于（∞，1）-函子.

Lurie道具。5.2.7.4参见第308页顶部。

伴随函子的切片

提议

（切片伴随）
让

\数学{D}\过盈不足{\underset{\；\；\{\重叠{\；\；\{\机器人}\数学{C}

是一对伴随函子(伴随∞函子)，其中类别(∞-类别) $\数学{C}$ 拥有所有拉回(同伦拉回).

然后：

对于每个对象 $b\in\mathcal{C}$ 有一对伴随函子在切片类别(切片∞类)表单的

（1） $\马查尔{D}（D）_{/L（b）}\过盈不足｛\ underset｛\；\；\；R_｛/b｝\；\；\；\；｝{\右箭头}}{\重叠{\；\；\{\长左箭头}}{\机器人}\马查尔{C}（C）_{/b}\马特拉普{\，，}$

哪里：
- $L_{/b}$ 是明显的诱导函子（应用 $L（左）$ 到整个三角形图表在里面 $\数学{C}$ 代表中的形态 $\马查尔{C}（C）_{/b}$ )；
- $R_{/b}$ 是混合成的
  
  $R_{/b}\;\冒号\；\马查尔{D}（D）_｛/｛L（b）｝｝\重叠{\；\；R\；\：}{\longrightarrow}\马查尔{C}（C）_{/{（R圈L（b））}}\重叠{\；\；（\eta_{b}）^*\；\{\右箭头}\马查尔{C}（C）_{/b}$
  
  属于
  1. 由 $R（右）$ ;
  2. 的(同伦)拉回沿着 $（L \dashv R）$ -单元在 $b条$ （即基本更改沿着 $\eta（b）$ ).
对于每个对象 $b\in\mathcal{D}$ 有一对伴随函子在切片类别表单的

(2) $\马查尔{D}（D）_{/b}\过盈不足{\底集{\；\；\{\右箭头}}{\重叠{\；\；\{\长左箭头}}{\机器人}\马查尔{C}（C）_{/R（b）}\马特拉普{\，，}$

哪里：
- $R_{/b}$ 是明显的诱导函子（应用 $R（右）$ 到整个三角形图表在里面 $\数学{D}$ 代表中的形态 $\马查尔{D}（D）_{/b}$ )；
- $L_｛/b｝$ 是混合成的
  
  $L_{/b}\;\冒号\；\马查尔{D}（D）_{/{R（b）}}\重叠{\；\；L\；\\马查尔{C}（C）_{/{（L循环R（b））}}\覆盖{\；\；（\epsilon_{b}）_！\；\{\右箭头}\马查尔{C}（C）_{/b}$
  
  属于
  1. 由 $L（左）$ ;
  2. 这个作文使用 $（L \dashv R）$ -科尼特在 $b条$ （即左边基本更改沿着 $\ε_b$ ).

第一个陈述出现在（∞，1）范畴理论，作为HTT，道具。5.2.5.1条。供在中讨论模型范畴理论请参见切片Quillen附加词.

证明

（英寸1-范畴理论)

回想一下(本道具。)定义函子附加的hom-同构(此Def。)等同于作文具有

这个辅助装置 $\；\；\eta_c\colon c\xrightarrow{\；}循环L（c）$
这个附加词 $\；\；\epsilon_d\冒号L\循环R（d）\xrightarrow{\；}d$

如下：

使用此方法，考虑切片类别中的以下变形，对于第一个案例:

（1a）

（2a）

（2b）

（1b）

在这里：

（1a）和（1b）是同一态射的等价表达式 $（f）$ 在里面 $\马查尔{D}（D）_{/L（b）}$ ，通过（在图表顶部）上述表达式附加词之间 $\数学{C}$ 和 $\数学{D}$ 和（底部）三角形恒等式.
（2a）和（2b）是同一态射的等价表示 $\颚化符f$ 在里面 $\马查尔{C}（C）_｛/b｝$ ，由通用属性的拉回.

因此：

从（1a）中的态射开始，并将其转换为 $(2)$ 然后to（1b）是身份操作；
从（2b）中的态射开始，然后将其转换为（1），再转换为（2a），这就是恒等运算。

总之，转换（1） $\左右箭头$ （2）构成a同源异形见证了第一张申请表的附加（1）.

这个第二种情况类似地，但由于不涉及回调，因此更直接一些：

（1a）

(2)

（1b）

总之，转换（1） $\左右箭头$ （2）构成a同源异形见证了第二份申请表的附加(2).

备注

（切片附加词的左伴随形式附加词）
切片附加（Prop。)以第二种形式(2)是这样的左伴随发送切片形态 $\陶$ 到他们的附加词 $\widetilde{\tau}$ ，其中（再次由本道具。):

L_{/d}\,\左(\阵列{c（c）\\\大\下箭头{}^{\mathrlap{\tau}}\\R（b）}\右侧）\；\；=\；\；\左(\阵列{L（c）\\\大\下箭头{}^{\mathrlap{\widetilde{\tau}}}\\b条}\右）\;\;\;\英寸\;\马查尔{D}（D）_{/b}

中的两个附加词承认以下联合概括，这一点已被证明HTT，lem.（莱姆）。5.2.5.2（请注意，这里的语句更为笼统，这里我们只使用以下情况 $K=\增量^0$ .)

提议

（切片伴随）
让

\数学{C}\过盈不足{\underset{\；\；\{\重叠{\；\；\{\机器人}\数学{D}

是一对伴随∞函子，其中∞-类别 $\数学{C}$ 拥有所有同伦拉回进一步假设我们被赋予对象 $c\in\mathcal{c}$ 和 $d\in\mathcal{d}$ 与同态一起 $\α：c到R（d）$ 及其附属物 $\β：L（c）至d$ .

然后有一对诱导的伴随∞函子在切片∞-类别表单的

(3)

\马查尔{C}（C）_{/c}\过盈不足{\底集{\；\；\{\长左箭头}}{\重叠{\；\；\{\右箭头}}{\机器人}\马查尔{D}（D）_{/d}\马特拉普{\，，}

哪里：

$L_{/c}$ 是混合成的

$L_{/c}\;\冒号\；\马查尔{C}（C）_{/{c}}\重叠｛\；\；L\；\；｝｛\longrightarrow｝\马查尔{D}（D）_{/{L（c）}}\覆盖{\；\；\beta_！\；\\马查尔{D}（D）_｛/d｝$

属于
1. 由 $L（左）$ ;
2. 这个作文具有 $\β：L（c）至d$ （即左边基本更改沿着 $\β$ ).
$R_{/d}$ 是混合成的

$R_{/d}\;\冒号\；\马查尔{D}（D）_{/{d}}\重叠{\；\；R\；\：}{\longrightarrow}\马查尔{C}（C）_{/{R（d）}}\重叠{\；\；（\alpha^*\；\，}{\longrightarrow}\马查尔{C}（C）_{/c}$

属于
1. 由 $R（右）$ ;
2. 这个同伦沿着 $\α：c\到R（d）$ （即基本更改沿着 $\阿尔法$ ).

就通用箭头而言

提议

安 $（\infty，1）$ -函子 $G： D至C$ 允许左伴随当且仅当for each $X \单位：C$ ，的逗号（无穷大，1）-类别？ $（X\向下箭头G）$ 有一个初始对象，即每个对象 $X \单位：C$ 承认通用箭头 $X至G F X$ 到 $G公司$ .

这明确表示为Riehl-Verity，推论16.2.7，可以通过一些工作从中提取HTT，提案5.2.4.2.

求幂保存

提议

让 $f:C\至D$ 左邻右舍 $克：D至C$ 。那么对于任何 $A类$ , $f^A公司$ 是左邻接的 $克^A$ 和 $A^g公司$ 是左邻接的 $阿^f$ .

证明

让 $\eta:id_C\右箭头gf$ 是一个单位变换。单位变换的性质可以在丰富同伦范畴的层次上检测出来，因此 $A^\eta:id_{A^C}\右箭头A^f A^g$ 和 $\eta^A:id_{C^A}\右箭头g^A f^A$ 也是单位转换。

附加词的类别

附加词的功能可以组织成两个广泛的子范畴 $LAdj\substeq（\infty，1）类别$ 和 $RAdj\subseteq（infty，1）类别$ 其函子分别是左伴随和右伴随。

然后我们可以定义函子范畴

$功能^L:LAdj^{op}\times LAdj\to（\infty，1）猫$ 定义为 $函数^L（C，D）$ 成为跨越的完整子类别 $拉迪（C，D）$ .
$功能^R:RAdj^{op}\times RAdj\to（infty，1）猫$ 定义为 $函数^R（C，D）\subseteq函数$ 成为跨越的完整子类别 $RAdj（C、D）$ .

Lurie将附加词定义为函子 $X\到[1]$ 这既是一个笛卡尔纤维，又是一个共笛卡尔纤维。我们可以将此概括为

定义

函子 $p:X\至S$ 是一个附加纤维如果它既是笛卡尔纤维又是共笛卡尔纤维

由（∞，1）-Grothendieck构造施工，附加腓骨 $秒$ 对应于上的类值函子 $秒$ 射出箭头的 $秒$ 伴随成对的类别。

引理

对于函子 $p:X\至S$ 具有小纤维的（∞，1）-类别。

如果 $第页$ 是笛卡尔纤维 $\chi:S^\op\到（\infty，1）类别$ , $\气$ 因素通过 $RAdj公司$ 若（iff） $第页$ 是一个附加纤维
如果 $第页$ 是一种共沸纤维 $\chi:S\to（infty，1）猫$ , $\气$ 因素通过 $拉迪$ 若（iff） $第页$ 是一个附加纤维

证明

这是对HTT，更正5.2.2.5.

引理

存在反等价 $ladj\，\冒号\，RAdj^{op}\到ladj$ 和 $radj\，\冒号\，LAdj^｛op｝\到radj$ 即物体上的身份和人空间上的行为 $LAdj（C，D）\simeq RAdj（D，C）$ 是将函子发送到其伴随的等价项。

证明

通过协变Grothendieck构造，对于任何（∞，1）-类别C， $地图（C，LAdj）$ 可以用的∞-广群来识别 $（infty，1）widehat{分类}_{/C}$ 由附属腓骨跨越 $C类$ 具有小纤维和它们之间的所有等效物。这同样适用于 $地图（C^｛\op｝，RAdj）$ .

由于Grothendieck结构在基类中是自然的，因此我们获得了 $拉迪$ 和 $RAdj^{op}$ .采取 $C=[1]$ 这就建立了附加词与其关联的伴随函子对之间的对应关系。

如上所述伴随词的唯一性，这种反等价扩展到（∞，2）-富集，在它们诱导反等价的意义上 $radj：函数^L（C，D）^{op}\到函数^R（D，C）$ 和 $ladj：函数^R（C，D）^{op}\到函数^L（D，C）$ .

通过乘积和指数保留附加词意味着

引理

上的乘积和指数 $（\infty，1）类别$ 限制为函子

$-\times-：LAdj\times LAdj\到LAdj$ 和 $-\times-：RAdj\times RAdj\到RAdj$
$函数（-，-）：RAdj^{op}\times LAdj\ to LAdj$ 和 $函数（-，-）：LAdj^{op}\times RAdj\to RAdj$

示例

一大类 $（\infty，1）$ -佐剂产生于奎伦附加词属于模型类别，或中的附加词sSet（设置）-丰富范畴理论.

奎伦附加词

任何奎伦附加诱导附加（无穷大，1）-类别上单纯形局部化。请参阅希尼奇14或迷宫-见15.

单纯形附加词和派生附加词

我们想生产笛卡尔/余笛卡尔纤维 $K\至Delta[1]$ 从给定的sSet（设置）-丰富附加。为此，首先考虑以下特征

引理

让 $K（K）$ 成为简单充实范畴谁的人-物体都是Kan复合体，将间隔类别 $\增量[1]：=\｛0\到1\｝$ 作为 $sSet（设置）$ -使用嵌入以明显的方式进行分类 $const:Set\hookrightarrow设置$ 并考虑一个 $sSet（设置）$ -富足函子 $K\至Delta[1]$ .让 $C:=K_0$ 和 $D:=K_1$ 成为 $sSet（设置）$ -丰富的类别是这方面的纤维。然后在同伦相干神经 $N:s设置类别\为设置$ 态射

N（p）：N（K）\到\增量[1]

是一个笛卡尔纤维如果所有对象都是 $d\在d中$ 存在一个态射 $f:c\到d$ 在里面 $K（K）$ 这样就用这个态射进行后合成

C（C’，f）：C（C‘，C）=K（C’、C）\到K（C‘、d）

是一个同伦等价属于Kan复合体所有对象的es $c'\在c'中$ .

这显示为HTT，道具。5.2.2.4.

证明

该声明来自于笛卡尔态射同伦相干神经下的s(HTT，道具。2.4.1.10)，这意味着 $sSet（设置）$ -富足函子 $p:C\至D$ 在Kan-复杂丰富的类别之间人-物体-明智的aKan纤维，变形 $f:c'\到c''$ 在里面 $C类$ 是一个 $N（p）个$ -笛卡尔态射如果适用于所有对象 $c \以c表示$ 图表

\阵列{C（C，C'）&\stackrel{C（C、f）}{\to}&C（C，C''）\\\向下箭头^{\mathrlap{p{c，c'}}}&&\向下箭头^{\mathrlap{p{c，c''}}\\D（p（c），p（c'））&\堆叠&D（p（c），p（c''））}

是一个同伦拉回在中sSet类别上的模型结构.

对于正在考虑的情况，所讨论的函子是 $p:K\到\增量[1]$ 上图变成

\阵列{K（c，c'）&\stackrel{K（c），f）}{\to}&K（c、c''）\\\向下箭头&&\向下箭头\\*&\到&*}\,.

如果顶部态射是等价的，那么这显然是同伦回调。

通过这个，我们得到了以下结果。

提议

对于 $C类$ 和 $D类$ sSet（设置）-丰富的类别他们的目标都是Kan复合体，图像

N（C）号\过盈不足{\下集{N（R）}{\左箭头}}{\重叠{N（L）}{\右箭头}}{\机器人}N（D）号

在同伦相干神经的sSet（设置）-之间的丰富附加词 $sSet（设置）$ -丰富的类别

C\stackrel{\超集{L}{\到}}{\下集{R}{\左箭头}}D类

是的附加词准范畴.

此外，如果 $C类$ 和 $D类$ 具有简单模型范畴然后是准范畴导出函子

N（C^\circ）\stackrel{\overset{L}{\to}}{\underset{R}{\leftarrow}}}N（D^\circ）

形成准范畴的附加词。

证明

第一部分是HTT，cor.5.2.4.5，第二个HTT，道具。5.2.4.6.

为了得到第一部分，让 $K（K）$ 成为 $sSet（设置）$ -类别，它是 $C类$ 和 $D类$ ：它的对象集是 $C类$ 和 $D类$ 、和人-物体是

对于 $c、 c’\以c表示$ : $K（c，c'）：=c（c，c'）$ ;
对于 $d、 d中的d’$ : $K（d，d'）：=d（d，d’）$ ;
对于 $c \以c表示$ 和 $d中的d\$ : $K（c，d）：=c（L（c），d）=d（c，R（d））$ ;

和

$K（d，c）=\空集$

并配备了明显的合成操作。

那么对于每个 $d中的d\$ 这就是同态 $Id_{R（d）}\在K（R（d，d）中$ ，与之产生同构的组合，因此是等价的。因此满足上述引理的条件，因此 $N（K）到Delta[1]$ 是一个笛卡尔纤维.

通过类似的对偶论证，我们发现它也是一个余笛卡尔函数，因此是一个附加函数。

对于第二个语句，我们需要对上述论点稍加改进，以将其完整化 $sSet（设置）$ -fibrant cofibrant对象的子类别：

让 $K（K）$ 像以前一样 $K ^\圈$ 吃饱了 $sSet（设置）$ -fibrant-cfibrant对象上的子类别（in $C类$ 或在中 $D类$ ）。那么对于任何无稽之谈的搭档 $d中的d\$ ，我们不能只使用同一态射 $Id_{R（d）}\在K（R（d，d）中$ 因为右Quillen函子 $R（右）$ 只保证尊重搭讪，而不是搭讪等等 $雷亚尔（d）$ 可能不在 $K ^\圈$ 。但我们可以使用小对象参数得到一个函子的同素替换函子 $Q:C\至C$ ，因此 $Q（R（d））$ 是共纤维的，有一个非循环纤维 $Q（R（d））至R（d$ 。将此视为中的同构 $K（Q（R（d）），d）$ 我们为给定的 $d日$ 。那么这确实诱导了同伦等价

C（C’，Q（R（d）））至C（C‘，R（d

因为在丰富的模型类别共库对象的丰富hom保留了fibrant对象之间的弱等价。

本地化

一对伴随词 $（\infty，1）$ -函子 $（L\dashv R）：C\stackrel{\leftarrow}{\hookrightarrow{D$ 哪里 $R（右）$ 是一个完全忠实（∞，1）函子展览 $C类$ 作为一个反射（∞，1）-子范畴属于 $D类$ 。此子类别和组合 $回路L:D\至D$ 是一个本地化属于 $D类$ .

工具书类

一对伴随词的建议 $\英菲$ -函子应该只是一个附加在中同伦2-范畴 $\英菲$ -类别最初简要地陈述于：

安德烈·乔亚尔，第159页（第11页，共348页）拟范畴理论及其应用，演讲地点：高等分类中的简单方法高级课程，夸德恩452008年巴塞罗那Recerca Matemática中心2号(pdf格式)

定义为拟范畴结束 $\三角洲[1]$ 原因如下：

雅各布·卢里，第5.2节：高等地形理论《数学研究年鉴》170，普林斯顿大学出版社2009(幼崽：8957,pdf格式)

最初的建议Joyal 2008年然后被扩展到∞-宇宙)，本着正式的 $\英菲$ -范畴理论:

艾米丽·里尔，§18.6英寸：范畴同伦理论，剑桥大学出版社（2014）[doi:10.1017/CBO9781107261457,pdf格式]
艾米丽·里尔,Dominic Verity公司,拟范畴的二范畴理论《数学进展》第280卷，2015年8月6日，第549-642页(arXiv:1306.5144,doi:10.1016/j.aim.2015.04.021),
艾米丽·里尔,Dominic Verity公司,同伦相干附加词与单子形式理论《数学进展》，第286卷，2016年1月2日，第802-888页(arXiv:1310.8279,doi:10.1016/j.aim.2015.09.011)
艾米丽·里尔,Dominic Verity公司，定义1.1.2英寸：从无到有的无限范畴理论《高层建筑》第4卷第1期（2020年）(arXiv:1608.05314,pdf格式)

这两个定义Joyal 2008年和卢里2009)实际上是等价的Riehl-Verity 15，第4.4.5段然后在以下内容中完全明确：

艾米丽·里尔,Dominic Verity公司,∞-范畴理论的要素，剑桥大学高等数学研究194剑桥大学出版社（2022） $[$ doi:10.1017/9781108936880，ISBN:978-1-108-83798-9，pdf格式 $]$

证明奎伦附加属于模型类别在（∞，1）-类别（在意义上卢里2009)记录在：

弗拉基米尔·希尼奇,Dwyer-Kan本地化重温《同源、同伦与应用》第18卷（2016）第1期(arXiv:1311.4128,doi:10.4310/HHA.2016.v18.n1.a3)

也在

亚伦·马泽尔·吉,奎伦附加词诱导拟范畴的附加词《纽约数学杂志》第22卷（2016）57-93(arXiv:1501.03146,出版商)

上次修订时间：2023年8月21日13:44:34。请参阅历史获取所有贡献的列表。