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定义

安阿贝尔群（以…命名阿贝尔)是一个组 $A类$乘法满足交换定律：对于所有元素$x、 y\在A中$我们有

这个类别阿贝尔群为物体和群同态态射被称为抗体.

每个阿贝尔群都具有模块超过交换环 $\矩阵{Z}$也就是说，抗体=$\矩阵{Z}$-国防部.

仅使用减法和单位

阿贝尔群的这个定义基于托比·巴特尔斯的定义结合拟群:

安阿贝尔群是一个尖头集合 $（A，0）$使用二进制运算$（-）-（-）:A\乘以A\到A$打电话减法使得

• 对所有人来说$a中的\$,$a-a=0$

• 对所有人来说$a中的\$,$0-（0-a）=a$

• 对所有人来说$a中的\$和$b\在A中$,$a-（0-b）=b-（0-a）$

• 对所有人来说$a中的\$,$b\在A中$、和$c \在A中$,$a-（b-c）=（a-（0-c））-b$

对于每个元素$a中的\$，逆元素定义为$-a \coloneqq 0-a$加法定义为$a+b\coloneqq a-（-b）$.

加法是可交换的：

和关联

并留下了身份

和正确的身份

并留下倒数

和正确的身份

因此，这些公理形成了阿贝尔群。

属性

同伦理论

来自nPOV公司，就像组 $G公司$可能被认为是(指出)广群 $\马特布夫{B} G公司$使用单个对象–如上所述去循环–阿贝尔集团$A类$可以理解为（指向）2-广群 $\数学函数｛B｝^2 A$使用单个对象和单个态射：的delooping的delooping$A类$.

这个交换法用于组成2-态在一个2类强制产品$a中的\$这里是可交换的。这种推理被称为Eckmann-Hilton参数与发现第二个同伦群空间的属性必须是阿贝尔的。

因此，具有单对象、单态射2-群胚的阿贝尔群的识别也可以看作是具有2-截断的和2-有联系的 同伦类型.

与其他概念的关系

A类幺半群在里面抗体按照其标准单体范畴结构，相当于a(指出)抗体-丰富的类别对于单个对象，是戒指.

概括

中交换群概念的推广高等范畴理论包括

• 阿贝尔的将对象分组到（∞，1）范畴中

• 特别是阿贝尔单形群

• 和光谱.

阿贝尔群也可以被视为离散的 紧闭范畴.

相关条目

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• 阿贝尔群的层

• Ab-eriched类别,阿贝尔范畴

• 阿贝尔∞群

  • 对称2-群

  • 对称3群

• 减半群

• 对称中点群

工具书类

教科书帐户：

• 拉斯洛·福克斯,阿贝尔群，施普林格（2015）[doi:10.1007/978-3-319-19422-6]

中阿贝尔群的形式化数学的单价基础(同伦型理论使用单价公理):

• 单价基础项目，第6.11节：同伦类型理论——单叶数学基础(2013)

• 马克·贝泽姆,乌尔里克·巴赫霍尔茨,皮埃尔·卡涅,比约恩·伊恩·邓达斯,丹尼尔·格雷森，第4.12节：对称(2021)