n实验室米田引理

上下文

范畴理论

米田引理

\阵列{C（C，C）&\stackrel{\eta_c}{\to}&X（c）&&&&Id_c&\mapsto&\eta_c（Id_c）&\stackrel{def}{=}&\xi\\_\金属圈{C（f，C）}\向下箭头&&\向下箭头_\金属圈{X（f）}&&&\下箭头&&\downarrow_\mathrlap{X（f）}&\\C（b，C）&\下集{\eta_b}{\to}&X（b）&&&f&\mapsto&\eta_（f）&&}

此图显示的是整个转换 $\eta:C（-，C）\到X$ 完全由单个值决定 $\X（c）中的xi\coloneqq\eta_c（Id_c）$ ，因为对于每个对象 $b条$ 属于 $C类$ ，组件 $\eta_b:C（b，C）至X（b）$ 必须采用元素 $f在C（b，C）中$ （即一个态射 $f： b至c$ )至 $X（f）（\xi）$ ，根据这个图的交换性。

关键的一点是，任何自然转化 $\eta:C（-，C）\右箭头X$ 足以确保 $\埃塔$ 值已完全固定 $\X（c）中的eta_c（Id_c）$ 其组成部分 $\eta_c:c（c，c）到X（c）$ 上同一态射 $Id（_c）$ 每一个这样的价值都延伸到一个自然的转变 $\埃塔$ .

更详细地说，双射是由映射建立的

[C^{op}，集合]（C（-，C），X）\stackrel{{c}}{\到}集合（C（C，C），X（C））\stackrel{ev_{Id_c}}{\to}X（c）

其中第一步是获取自然转化在 $c \以c表示$ 第二步是评价在 $c（c，c）中的Id_c$ .

这张地图的反面需要 $\X（c）中的xi\$ 向自然转化 $\eta^\xi$ 带组件

\eta^\xi_d:=X（-）（\xi）：C（d，C）至X（d）\,.

同伦类型理论

中的讨论同伦型理论.

注：HoTT手册调用HoTT中的内部类别a“前类别”和a单价类别“范畴”，但这里我们将分别指“范畴”和“单价范畴”的标准术语。

HoTT书中的引理9.5.3（参见产品类别)，我们有一个诱导函子 $\mathbf{y}:A\to\mathit{Set}^{A^{op}}$ 我们称之为yoneda嵌入.

定理9.5.4（Yoneda引理）对于任何类别 $一个$ ，任何 $a：一个$ 和任何函子 $F： \mathit{Set}^{A^{op}}$ ，我们有一个同构

hom_{\mathit{Set}^{A^{op}}}（\mathbf{y} 一个，F）\cong F a\qquad\qquad（9.5.5）

此外，这在两者中都是自然的 $一$ 和 $F类$ .

证明。给定一个自然转化 $\阿尔法：\mathbf{y} 一个\至F$ ，我们可以考虑组件 $\alpha_a:\mathbf{y} 一个（a） \至F a$ .自 $\mathbf{y}a（a）\equiv hom_a（a，a）$ ，我们有 $1_a:\mathbf{y} 一个（a）$ ，所以 $\alpha_a（1_a）：F a$ 。这提供了一个函数 $\alpha\mapsto\alpha_a（1_α）$ 从左到右（9.5.5）。

在另一个方向，给定 $x：财务报表$ ，我们定义 $\alpha:\mathbf{y}a\到F$ 通过

\alpha_{a'}（f）\等于f_{a，a'}（f）（x）

自然性很容易检查，因此在（9.5.5）中给出了从右到左的函数。

为了证明这些是逆，首先假设给定 $x：对于$ 。然后使用 $\阿尔法$ 定义如上，我们有 $\阿尔法：\mathbf{y} 一个\至F$ 并定义 $x$ 如上所述，那么对于任何 $f： hom_A（A'，A）$ 我们有

\开始{对齐}\alpha{a'}（f）&=\alpha{a’}（\mathbf{y}a{a，a'}（f）（1A））\\&=（\alpha_{a'}\circ\mathbf{y} 一个_{a，a'}（f））（1A）\\&=（F_{a，a'}（F）\circ\alpha_a）（1_a）\\&=F_{a，a'}（F（\alpha_a（1_a））\\&=F_{a，a'}（F）（x）。\结束{对齐}

因此，这两种复合物等同于恒等式。自然性的证明由此而来。 $\正方形$

推论9.5.6Yoneda嵌入 $\mathbf{y}:A\to\mathit{Set}^{A^{op}}$ 是完全忠实.

证明。根据Yoneda引理，我们有

hom_{\mathit{Set}^{A^{op}}}（\mathbf{y} 一个，\mathbf{y} b条)\cong\mathbf{y}b（a）\equiv hom_a（a，b）

很容易检查这种同构实际上是 $\mathbf{y}$ 在hom-sets上。 $\正方形$

花冠

Yoneda引理具有以下直接后果。正如Yoneda引理本身一样，这些引理既容易建立，又有用且重要。

推论I：Yoneda嵌入

Yoneda引理意味着Yoneda嵌入函子 $y\冒号C\到[C^op，设置]$ 真的是一个嵌入因为它是一个完全忠实函子，因为 $c、 d\以c表示$ 它自然地诱导了Hom集的同构。

[C^{op}，集合]（C（-，C），C（-、d））\simeq（C（–，d））（C）=C（C，d）

推论二：表示对象的唯一性

自从Yoneda嵌入是一个完全忠实函子，一个同构属于代表性预升 $y（c）\simeq y（d）$ 必须来自同构代表对象的 $c \模拟d$ :

y（c）\simeq y（d）\；\；\左向右箭头\；\；c \模拟d

推论三：表示对象的普遍性

一个预切 $X\冒号C^{op}\设置$ 是可代表的如果逗号类别 $（y，常数_X）$ 有一个终端对象。如果终端对象是 $（d，g:y（d）到X）\simeq（d，g在X（d）中）$ 然后 $X模拟y（d）$ .

这源于展开态射在中逗号类别 $（y，常数_X）$ 并应用Yoneda引理来找到

（y，常数X）（X（c）中的（c，f），X（d）中的\西马克\{u在C（C，d）中：X（u）（g）=f\}\,.

因此 $（y，常数X）（X（c）中的（c，f），X（d）中的$ 正是这么说的 $X（-）（f）\冒号C（C，d）\至X（C）$ 是一个双射。

解释

为了强调，以下是这三个推论的文字解释：

推论I说预升的解释 $C类$ 作为对象可探测的广义对象 $c（c）$ 属于 $C类$ 一致：探针 $X（X）$ 通过 $c（c）$ 确实是来自 $c（c）$ 进入之内 $X（X）$ ;
推论II表示通过对象探测 $C类$ 足以区分以下对象 $C类$ ：的两个对象 $C类$ 如果其他对象的探测相同，则相同 $C类$ .
推论III刻画可表示函子由通用属性因此，它是可表示函子和通用结构.

概括

Yoneda引理倾向于推广到上下文的所有重要推广类别:

中有一个Yoneda引理的类比丰富范畴理论。请参阅富集的Yoneda引理.
在以下背景下模块（另请参见日卷积)Yoneda引理成为Yoneda减少，用于标识双模块 $\hom_C（-，-）$ 作为一个单元双模。
有一个双范畴的Yoneda引理.
有一个三范畴的Yoneda引理.
有一个（∞，1）-范畴的Yoneda引理.
在函数式编程，Yoneda嵌入与连续传递风格转换。
中引理的公式相依型理论:一个类型理论Yoneda引理在同伦类型理论.org

自然性的必要性

自然性的假设是Yoneda引理成立的必要条件。一个简单的反例是由一个包含两个对象的范畴给出的 $一个$ 和 $B类$ ，其中 $Hom（A，A）=Hom（A，B）=Hom（B，B）=\mathbb{Z}（Z）_{\geq 0}$ ，大于或等于的整数集 $0$ ，其中 $Hom（B，A）=\mathbb{Z}（Z）_{\geq 1}$ ，大于或等于的整数集 $1$ ，其中成分是加法的。在这里，情况当然是这样的 $霍姆（A，-）$ 与同构 $Hom（B，-）$ 任何选择 $-$ ，但是 $一个$ 和 $B类$ 不同构（由任意箭头组成 $B\右箭头A$ 大于或等于 $1$ ，因此不能有反转，因为 $0$ 身份在上吗 $一个$ 和 $B类$ ).

用两个对象的范畴给出了一个有限的反例 $一个$ 和 $B类$ ，其中 $Hom（A，A）=Hom（A，B）=Hom（B，B）=\{0，1\}$ ，其中 $Hom（B，A）=\｛0，2 \｝$ ，并且组合是以2为模的乘法。这里，再一次，情况确实如此 $霍姆（A，-）$ 与同构 $Hom（B，-）$ 任何选择 $-$ ，但是 $一个$ 和 $B类$ 不是同构的（带有任何箭头的组合 $B\右箭头A$ 是 $0$ ，因此不能有反转，因为 $1$ 身份在上吗 $一个$ 和 $B类$ ).

另一方面，也有一些局部有限范畴的例子，其中自然性是不必要的。例如(Lovász，定理3.6（iv）)精确地陈述了有限的关系结构 $一个$ 和 $B类$ 同构当且仅当， $霍姆（C，A）\cong Hom（C，B）$ 对于每个有限关系结构 $C类$ .稍后(Pultr定理2.2)将结果推广到具有（极值epi，mono）的有限强局部有限范畴因子分解系统.

半范畴中的Yoneda引理

一个有趣的现象出现在半类别即缺少“类别”（可能）同一态射:

Yoneda引理在一般情况下是失败的，因为它在半范畴中是有效的 $\数学{G}$ 意味着 $\数学{G}$ 实际上已经是一个范畴，因为Yoneda引理允许嵌入 $\数学{G}$ 进入之内 $PrSh（\mathcal{G}）$ 后者总是一个范畴，嵌入意味着 $\数学{G}$ 本身就是一个类别！

但为了正则半范畴 $\数学{R}$ 有一个对立统一在所有类别中半预应力在 $\数学{R}$ 在所谓的规则预升之间结肠炎属于代表预升满足Yoneda引理，从那里Yoneda引理辩证地适用于规则预升！

有关某些详细信息，请参阅正则半范畴以及其中的参考文献。

应用

Yoneda引理是各种重构定理，例如塔纳卡对偶。有关详细说明，请参阅此处。
在它的化身中Yoneda减少Yoneda引理支配末端和辅数因此双模块和亵渎者.
Yoneda引理有效地解释了伊斯贝尔共轭存在。这是一个基本的二元性几何学和代数在数学的很大一部分。

工具书类

有关一般参考，请参阅范畴理论，如参考文献中所列那里.

术语米田引理来源于一次采访Nobuo Yoneda公司通过莱恩巴黎北站：

吉木敬之（Yoshiki Kinoshita）,Nobuo Yoneda（1930-1996）

&

桑德斯-麦克莱恩,Yoneda引理,

数学。日本，47，编号：1（1998）155-156

(pdf格式 pdf格式，还包括：1996年发布到catlist)

在数学工作者的范畴麦克莱恩写道，这发生在1954年。

回顾和阐述：

使用Yoneda而不是J表示身份类型
亚历山大·格罗滕迪克，第A.1节：描述和描述存在的技术。二、。模的存在性《塞米纳伊尔·布尔巴吉：1958/59-1995/60年鉴》，《169-204年鉴》、《塞米娜尔·布尔贝吉年鉴》第5期（1960年），第195、22页(编号：SB_1958-1960__5__369_0)
桑德斯·麦克莱恩，第III.2节：数学工作者的范畴，数学研究生课程5施普林格（1997年第二版）[doi:10.1007/978-1-4757-4721-8]
汤姆·伦斯特,Yoneda引理：这是关于什么的？
艾米丽·里尔,语境中的范畴理论。第2章。普适性、可表示性和Yoneda引理 pdf格式
玛丽·拉帕尔梅·雷耶斯（Marie La Palme Reyes）、冈萨罗·E·雷耶斯和霍曼·佐尔法哈里（Houman Zolfaghari），类属图形及其粘合：函子范畴的构造方法，Polimetrica sas，2004年(作者页面,pdf格式).
保罗·佩罗内,用基础数学中的例子说明范畴理论，第2章。(arXiv公司)

从的角度讨论Yoneda引理泛代数在中

沃恩·普拉特,没有范畴理论的Yoneda引理：代数和应用(pdf格式).

Yoneda引理的处理（∞，1）-拓扑的内部范畴在中

路易斯·马丁尼，内部高等范畴的Yoneda引理, (arXiv公司：2103.17141)

早期Lovász类型结果包括

拉兹洛瓦兹，结构操作《匈牙利科学院数学学报》18.3-4（1967）：321-328。
阿列舍·普利特。由态射数决定的范畴中对象的同构类型《数学科学学报》，35:155-1601973年。

上次修订时间：2024年6月1日19:36:24。请参阅历史获取所有贡献的列表。