目录

定义

在dg-Lie代数中

对于$（\mathfrak{g}，[-，-]，\部分）$一dg-Lie代数（该有差别的度-1），aMaurer-Cartan元素在里面$\马特拉克{g}$是

• 元素$一个\ in \ mathfrak{g} _1个$度-1

• 这样Maurer-Cartan方程持有

  $$\部分a+\frac{1}{2}[a，a]=0\,.$$

这是MC元素的特例L-∞代数，我们接下来讨论。

在$L_\输入$-代数

对于$\马特拉克{g}$一个L-∞代数带括号$[-，\cdots，-]_k$，Maurer-Cartan元素是元素$a\in\mathfrak{g}$这样的话

属性

作为$L_\输入$-同态

对于$\mathfrak｛g｝$一个L-∞代数和$A类$一dg-代数，也是张量积 $音符\mathfrak{g}$自然继承了L-∞代数.

让$\马特拉克{g}$属于有限型然后写$CE（\mathfrak{g}）$对于Chevalley-Elenberg代数属于$\马特拉克{g}$.然后是MC-元素$音符\mathfrak{g}$双射对应于dg-代数同态$向左箭头CE（\mathfrak{g}）$:

例如，参考中的定义3.1(海恩1983).

我们逐步了解这是如何发生的：

首先，空间分次代数 同态 $向左箭头CE（\mathfrak{g}）$是空间的子空间线性映射属于梯度向量空间，自$\mathrm{CE}（\mathfrak{g}）$作为一个分次代数自由生成，并且通过假设是有限类型的，这与分次保持同态的空间是同构的

梯度向量空间中线性梯度保持映射的研究$\马特拉克{g}^*$双发电机至$A类$.根据通常的关系$\mathrm{Vect}[\mathbb{Z}]$对于$\马特拉克{g}$对于有限类型，这与$A类$张量为$\马特拉克{g}$:

dg-代数同态构成了这个空间的子空间

关于尊重微分的元素。在上述等效条件下，这是元素$一$在里面$（音符\mathfrak{g}）_1$满足一定条件。通过检查，人们发现这种情况正是MC方程

例如，如果$A=\欧米茄^\子弹（X）$是德拉姆代数的光滑歧管 $X（X）$，然后$MC（音符\mathfrak{g}）$是平面的空间L-∞代数值微分形式在$X（X）$。有关详细信息，请参阅此处。

示例

对于$\马特拉克{g}$一李代数,$X（X）$一光滑歧管，上有一个规范的dg-Lie代数结构$\欧米茄^\子弹（X）\otimes\mathfrak{g}$.

Maurer-Cartan元素就是李代数值1-形式 $A类$谁的曲率2形式消失

版本和应用范围

Maurer–Cartan方程是中许多相关方程式的名称几何学,代数,形变理论,范畴理论和形變量子化例如，此类方程表示子流形等距嵌入欧氏空间理论中的某些条件（“结构方程”，与李群有关$O（n）$)，不变微分形式的不变性(Maurer-Cartan表格)关于李群，主纤维束或相关纤维束上连接的平坦性，在某些情况下的解将无穷小变形参数化，或定义扭转性耳蜗在BV量化的背景下，Maurer–Cartan方程具有经典主方程的作用。

Maurer–Cartan方程$A_\信息$-代数s通常被称为广义Maurer–Cartan方程因为它有更多的命令dg-代数s.在某些情况下，如$A_\信息$-类别一些作者倾向于将几何术语“同调向量场”作为满足Maurer–Cartan方程的形式几何空间上的基准。dg-or的Maurer-Cartan方程的解$A_\信息$代数被称为Maurer-Cartan元素。

Maurer-Cartan和谎言理论

索菲斯·李首先考虑并发现变换组李代数直到后来（1874年致梅耶的信）。他已经证明，对于有限维李代数的一组给定的结构常数，无穷小的人可以求解Maurer–Cartan方程。这意味着可以用不变微分形式或对偶不变向量场构造邻域，其交换子对应于李代数的交换子。这相当于将李代数积分为局部Lie群直到很久以后，Elie Cartan才成功地证明了积分的全球版本，即Cartan–Lie定理。J-P.Serre在一本颇具影响力的教科书中称之为“Cartan–Lie定理”第三李定理“，这是近年来一个相当流行的术语，尽管人们应该正确地称之为Maurer–Cartan方程的局部可解性定理。

工具书类

原文：

• 路德维希·莫勒,所有不变量系统，慕尼黑。Ber.公司。18(1888), 103-150.

教科书帐户：

• 中原美雄，第5.6.4节：几何学、拓扑学和物理学，2003年版(doi:10.1201/9781315275826,pdf格式)

• 马丁·马克尔，定义3.11英寸：代数变形理论及其图解，129页，CBMS116，AMS 2012(国际标准图书编号：978-0-8218-8979-4,toc pdf格式)

• 格德·鲁道夫,马修·史密特，道具。1.4.9英寸：微分几何和数学物理第二部分。光纤束、拓扑和规格字段2017年施普林格(doi:10.1007/978-94-024-0959-8)

关于Maurer-Cartan Lie groups表单的MathOverflow条目：莫雷尔-卡坦形式

打开李氏第三定理从Maurer–Cartan方程的角度来看：

• Sigurdur Helgason，微分几何，李群和对称空间

• N.Bourbaki，李代数和李群，历史附录

• F.Engel、P.Heegaard、Sophus Lie Samlede Avhandliger（作品集）

一般来说$L_\输入$-代数:

• 马丁·杜拜克,马丁·马克尔,彼得·齐马，方程式（31）in：变形理论（课堂讲稿），《数学档案》43（5），2007，333-371(arXiv:0705.3719)

• 安德烈·拉扎列夫，定义5.1英寸：Maurer-Cartan模和函数空间的模型《数学进展》第235卷，2013年3月1日，第296-320页(阿西夫：1109.3715,文件编号：10.1016/j.aim.2012.11.009)

• Joseph Chuang，安德烈·拉扎列夫，定义1.6英寸：主方程的组合数学和形式几何，Lett。数学。物理学。103(2013) 79–112 (arXiv:1205.5970,doi:10.1007/s11005-012-0586-1)

也在定义3.1英寸左右

• R.M.Hain，最小代数与最小李代数之间的扭余与对偶，事务处理。阿默尔。数学。Soc公司。277（1983年），第1期，397–411。

关于运动方程属于杨美尔理论和重力（通过截断弦场理论):

• 安东·泽特林,形式化Maurer-Cartan结构：从CFT到经典场方程，JHEP 0712:0982007年(arXiv:0708.0955)