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定义

A类李代数体是多对象版本的李代数。它是无穷小近似于李广群.

有各种等效定义：

关于带锚点的向量束

带锚向量丛的CE代数

给定向量束的数据$E至X$带锚定图$\ρ$如上所述，我们得到了dg-代数上外代数 $\楔形^\bullet_{C^\infty（X）}\Gamma（E）^*$双束光滑截面的计算公式

为所有人$\ω\in\楔形^n_{C^\infty（X）}\Gamma（E）^*$和$（e_i\in\Gamma（e））$，其中$关闭（p，q）$表示一组$（p，q）$-洗牌秒$\西格玛$和$sgn（\sigma）$这个签名 $\在\{\pm 1\}$对应的置换.

有关详细信息，请访问Chevalley-Elenberg代数.

相反，人们发现半自由dga1度有限生成$抄送（X）$以这种方式出现，以便人们可以扭转这种局面：

半自由dg-代数

这是为了$\伽马（E）$满足适当的有限性条件。一般来说，大师们都知道，正确的定义是交替多线性函数的代数$\伽马（E）$到地面场，假设特征为0。这也可以用相应余代数的线性映射来表述，余代数由$\伽马（E）$，但大师们在那些日子里没有联盟。

微分分次交换代数

是Chevalley-Eilenberg代数李代数体的$X=磅$对于李代数，它简化为普通的Chevally–Eilenberg代数）。

在现有文献中，这通常被称为“计算李代数体上同调的复合体”。

将此定义与李∞-代数体，的垂直分类李代数和李代数体。

李·林哈特代数

这是一个特殊情况Lie-Linehart对 $（A，\mathfrak{g}）$其中结合代数$A类$形式为$抄送（X）$.

示例

• A类李代数是点上的李代数体，$X=磅$.

• 这个正切李代数体是

  1. 在以下给出的向量束定义中$E=T X$,$\rho=\mathrm｛Id｝$;

  2. 在中Chevalley-Elenberg代数定义：$\mathrm{CE}（TX）=（\Omega^\bullet（X），d_{deRham}）$;

• 安作用李代数体是谎言版本的作用广群.

• 李代数丛 $E至X$带光纤$\马特拉克{g}$李代数体$\ρ=0$和纤维支架。特别是，对于$G公司$具有李代数的李群$\马特拉克{g}$和$P至X$一$G公司$-主束伴随丛 $ad P:=P\times_G\mathfrak{G}$（其中$\马特拉克{g}$使用关联伴随表示属于$G公司$是一束李代数。

• 具有内射锚映射的李代数体是等价的可积分布在中切线束它们的基本流形，因此是等价的叶理他们的基本歧管。

• 这个Atiyah Lie代数体是的李代数体Atiyah Lie广群主体束的：对于$G公司$李群和$P至X$一$G公司$-主丛，向量丛$在（P）：=T P/G$自然继承了李代数体的结构。此外，它适合于李代数体的一个短的精确序列$X（X）$

  $$0\将P\广告到At（P）\广告到T X\广告到0$$

  被称为Atiyah层序.

• 这个垂直切线李代数体 $T型_{垂直}Y\挂钩箭头T Y$平滑贴图的$\圆周率：Y到X$流形的是切线李代数体的子李代数体$T Y轴$定义如下：

  1. 在向量束透视图中$E=克尔（\pi_*）$是映射的内核束$\pi_*：T Y到T X$.

  2. 在双重图像中，我们有$CE（T_{垂直}Y)=\Omega^\bullet_｛vert｝（Y）$，的qDGCA公司属于垂直微分形式。这是的商$\欧米茄^\子弹（Y）$通过那些形式的理想，这些形式在所有论证中都会消失$克尔（\pi_*）$.

• 每个泊松流形 $（X，\pi）$定义并由泊松李代数体 $T^*X\stackrel{\pi}{\to}tX$。这是一个更通用的结构的一级示例，在n-辛流形.

• 如果$E至X$是带括号的李代数体$[,]$和锚$\rho:E\至TX$然后在$k个$-第个喷气式飞机捆$j ^k E到X$，调用了喷射李代数体更准确地说，如果$秒\in\Gamma_X E$然后打电话过来$j^k秒$中的感应截面$\伽马射线$然后在丛上有一个唯一的李代数体结构$j ^k E到X$使以下两个属性保持不变：$[j^k s，j^k t]=j^k[s，t]$和$\rho（j ^k s）=\rho（s）$为所有人$s、 t \ in \伽马_X E$（请参见pdf格式).

• A类BRST综合设施是一个Chevalley-Elenberg代数对应于作用广群作用于空间上的李群。

属性

谎言理论

李代数体的范围李群胚正如李代数对李群的意义一样谎言理论，其中李氏定理已推广到李代数体。

泊松几何

李代数体（视为向量丛）的fiberwiese线性对偶自然是泊松流形：的Lie-Poisson结构.

相关概念

• 李代数,李代数体

• 双李代数体

• L-∞代数,L-∞代数体

• 李代数体的叶理

• 李代数体上同调

• 超李代数体

工具书类

李代数体的概念是在

• Jean Pradines公司,不同利益集团。计算无限期组的类别差异，C.R.学院。科学。巴黎。A-B 264 1967 A245–A248，MR0216409号

在代数中，李代数体的一个推广，李伪代数或李-里哈特代数/对从1950年代初开始以不同的名称被引入了十多次。阿提亚的Atiyah序列构造于1957年出版，莱因哈特的论文于1963年发表。

历史上重要的也是参考

• 西奥多·库兰特,切线李代数体(pdf格式)

在切线李代数体.

本文建立了李代数体结构、一阶同调向量场和奇线性泊松结构之间的双射对应关系

• A.余。瓦因特罗,李代数体与同调向量场《俄罗斯数学调查》52:2（1997），428–429。国防部,PDF格式.

教科书帐户

• 基里尔·麦肯齐,李群胚和李代数胚的一般理论，剑桥大学出版社，2005年，xxxvii+501页(网站)

• 基里尔·麦肯齐,微分几何中的李群胚和李代数胚，伦敦数学学会讲稿系列，124。剑桥大学出版社，剑桥，1987年。xvi+327页(数学科学网)

• Janez先生,列克·莫尔迪克,叶理和李群胚简介剑桥高等数学研究91，剑桥大学出版社，2003年。x+173页，ISBN:0-521-83197-0

审查：

• 泽维尔·贝卡尔特,高自旋引力几何工具包（第二部分）：李代数体及其包络代数简介[arXiv:2308.00724]

  （动机是高自旋规范理论)

• 埃克哈德·梅恩伦肯,李代数体，英寸数学物理百科全书第2版爱思唯尔（2024）[arXiv公司：2401.03034]

有关随机分析中使用的无限维版本，请参见

• 雷米·莱安德烈，维纳空间上的李代数体，高级数学。物理学。2010年，艺术ID 146719，17页。MR2011j:58064

最近还有一个“hom-version”

• Camille Laurent-Gengoux、Joana Teles、，Hom-Lie代数体,arxiv/1211.2263