n实验室L-无穷代数

从“L-∞代数”重定向而来。

上下文

$\英菲$ -谎言理论

高等代数

有理同伦理论

拉达·斯塔舍夫92信用施莱辛格-斯塔舍夫85随着概念的引入，虽然该文章考虑了许多密切相关的结构，但它没有考虑 $L_\输入$ -代数本身。拉达马克94将施莱辛格·斯塔舍夫的其他作品视为起源，但该作品出现的时间要晚得多施莱辛格-斯塔舍夫12.

根据Stasheff 16，幻灯片25，Zwiebach早在1989年就有了这种结构，当时Stasheff在Zwiebache在内脏在Chapel-Hill举行的会议。反过来，Zwiebach也在跟踪BV形式主义属于巴塔林·维尔科维斯基83,巴塔金·弗拉德金83，其与 $L_\输入$ -代数后来在斯塔舍夫96,斯塔舍夫97.

观察到这些高括号系统完全由其Chevalley-Elenberg dg-（co-）代数表征，这是由于拉达马克94。请参阅Sati-Schreiber-Stasheff 08，大约定义为13.

但在这个双重化身中，L-∞代数更一般地说超L-∞代数（第页，共页）有限型)被秘密介绍，独立于BV形式主义属于巴塔林·维尔科维斯基83,巴塔金·弗拉德金83，在超重力文学已经进入D'Auria-Fré-雷吉80并在中明确表示van Nieuwenhuizen范尼文胡岑82。该概念是在超重力的D'Auria-Fré公式(达乌里亚-弗里82)最终被称为“FDA”（“自由微分代数”的缩写）超重力文献（但请注意，这些dg-代数通常是自由的仅按分级-超交换超代数，而不是微分代数）超 $L_\输入$ -代数和的“FDA”超重力文学作品在(FSS 13).

高等谎言理论	超重力
$\,$ 超李n-代数 $\马特拉克{g}$ $\,$	$\,$ “食品和药物管理局” $CE（\mathfrak{g}）$ $\,$

中的结构van Nieuwenhuizen范尼文胡岑82反过来又受到沙利文代数在里面有理同伦理论(沙利文77). 事实上，它们在理性同伦理论中的双重化身是dg李代数(奎伦69)，因此是 $L_\输入$ -代数。

这两者之间的密切关系有理同伦理论和高等谎言理论如果不是因为沙利文最小模型在非-简单连接的案例，不包括普通李代数从图片中。但Quillen模型有理同伦理论实际上是这样说的 $X（X）$ 一有理拓扑空间然后是它循环空间 ∞-组 $\欧米茄X$ 被一个L-∞代数。当沙利文建筑在里面有理同伦理论具体确定为更高Lie集成在里面亨利克斯08现代评论L-∞代数-的理论性质有理同伦理论清单在中Buijs-Félix-Murillo 12，第2段.

定义

根据操作数上的代数

一个 $L_\输入$ -代数是一个运算对象上的代数在中链状络合物范畴超过L-∞运算.

在下文中，我们详细阐述了这在组件中的含义。

就较高括号而言

我们现在声明 $L_\输入$ -与普通代数的传统定义最直接相关的代数李代数，即作为 $\mathbb｛Z｝$ -梯度向量空间 $\马特拉克{g}$ 配备有 $n个$ -ary系列多线性的和分级斜对称映射 $[-，\cdot，-]$ –“括号”–满足雅可比恒等式.

为此，我们在这里选择分级惯例，如下定义 $L_\输入$ -代数化简为普通代数李代数什么时候 $\马特拉克{g}$ 集中在零度。此外，我们采取有差别的的链式复合体的 $L_\输入$ -代数要有学位 $-1$ （“同源分级”）。总之，这尤其意味着 $\马特拉克{g}$ 是一个李n-代数对于 $n\in\mathbb{n}$ , $n \geq 1号机组$ ，如果浓度为0至 $n-1个$ .

注意，对于这两种选择，可能还有其他约定，也有其他约定正在使用中，导致以下公式中的符号不同。

定义

（置换的分级签名）

让 $五$ 成为 $\mathbb｛Z｝$ -梯度向量空间、和用于 $n\in\mathbb｛n｝$ 让

\mathbf{v}=（v_1，v_2，\cdots，v_n）

做一个n元组的元素 $五$ 均匀度 $\vert v_i\vert\in\mathbb{Z}$ ，即： $v_{vert v_i\vert}中的v_i$ .

对于 $\西格玛$ 一置换属于 $n个$ 元素，写入 $（-1）^{\vert\sigma\vert}$ 对于排列的签名，定义为等于 $（-1）^k$ 如果 $\西格玛$ 是以下项的组合 $k\in\mathbb{N}$ 每个交换一对相邻元素的排列。

我们说 $\mathbf{v}$ -分级签名 $\西格玛$

\chi（\sigma，v_1，\cdots，v_n）\；\在\；中\｛-1，+1\｝

是排列的签名 $（-1）^{\vert\sigma\vert}$ 系数为 $（-1）^{\vert v_i\vert\vert v_ j\vert}$ 每个相邻互通式立交 $（\cdots v_i、v_j、\cdott）$ 到 $（\cdots v_j、v_i、\cdots）$ 作为交换相邻对的序列参与置换的分解。

定义

一个 $L_\输入$ -代数是

一 $\mathbb｛Z｝$ -梯度向量空间 $\mathfrak｛g｝$ ;
对于每个 $n\in\mathbb｛n｝$ , $n \geq 1号机组$ 一多线性映射，调用了 $n个$ -ary支架表单的

$l_n（\cdot）\;\冒号\；[-，-，\cdot，-]_n\;\冒号\；\underset{n\；\text{copys}}{\undersbrace{\mathfrak{g}\otimes\cdots\otimes\ mathfrak{g}}\长向右箭头\马特拉克{g}$

和学位 $n-2个$

（如果此处包含 $n=0$ 然后有人说曲线L-无穷代数)

使以下条件保持不变：

(分级斜对称)每个 $l编号$ 是反对称的置换 $\西格玛$ 属于 $n个$ 元素和for everyn元组 $（v_1，\cdot，v_n）$ 均匀级配元件 $v_i\in\mathfrak中{克}_{\vert v_i\vert}$ 然后

$ln（v{σ（1）}，v{∑（2）}= \chi（\sigma，v_1，\cdots，v_n）\cdot l_n（v_1、v_2，\cdot v_n$

哪里 $\chi（\sigma，v_1，\cdots，v_n）$ 是 $（v_1，\cdots，v_n）$ -置换的分级签名 $\西格玛$ ，根据定义。;
(强同伦雅可比恒等式)为所有人 $n\in\mathbb{n}$ ，以及所有人 $n个$ -元组 $（v_1，\cdot，v_n）$ 均匀级配元件 $v_i\in\mathfrak中{克}_{\vert v_i\vert}$ 以下内容方程式持有

(1) $\sum_{{i，j\in\mathbb{N}}\顶部{i+j=N+1}}\UnShuff（i，j-1）}中的sum_{sigma\\chi（\sigma，v_1，\cdots，v{n}）（-1）^{i（j-1）}l{j}\左(l_i\左（v{\西格玛（1）}，\cdots，v{\西格玛（i）}\右），v{\西格玛（i+1）}，\cdots，v{\ sigma（n）}\右侧）= 0\，，$

内部总和覆盖所有 $（i，j-1）$ -无遮蔽物 $\西格玛$ 以及在哪里 $\气$ 是来自def的分级签名。.

示例

在最低程度上，广义雅可比恒等式表示

对于 $n=1$ ：一元映射 $\部分\coloneqq l_1$ 平方到0：

$\部分（\部分（v_1））=0$
对于 $n=2$ ：一元映射 $\部分$ 是分级的推导二进制映射的

$-[\部分v_1，v_2]-（-1）^{\vert v_1\vert\vert v_2\vert}[\部分v_2，v_1]+\部分[v_1，v_2]=0$

因此

$\部分[v_1，v_2]=[\部分v_1、v_2]+（-1）^{\vert v_1\vert}[v_1，\partial v_2]\,.$

示例

当所有高括号消失时， $l_{k\gt 2}=0$ 然后针对 $n=3$ :

[[v_1，v_2]，v_3]+（-1）^{\vert v_1\vert（\vert v_2\vert+\vert v _3\vert）}[[v_2，v_3]，v_1]+（-1）^{\vert v_2\vert（\vert v_1\vert+\vert v _3\vert）}[[v_1，v_3]，v_2]=0

这是分级的雅可比恒等式因此，在这种情况下 $L_\输入$ -代数等价于adg-Lie代数.

示例

什么时候？ $l3型$ 可能是不消失的，然后在元素上 $x _ i$ 在其中 $\部分=l_1$ 消失，广义Jacobi恒等式 $n=3$ 给予

[[v_1，v_2]，v_3]+（-1）^{\vert v_1\vert（\vert v_2\vert+\vert v _3\vert）}[[v_2，v_3]，v_1]+（-1）^{\vert v_2\vert（\vert v_1\vert+\vert v _3\vert）}[[v_1，v_3]，v_2]=-\部分[v_1，v_2，v_3]\,.

这表明雅可比恒等式具有“精确”项，因此具有同伦性。

根据半自由微分余代数

在(拉达·斯塔舍夫92)有人指出 $L_\输入$ -代数（定义。)关于梯度共交换的归纳无余余余代数 $\V形^\bullet\mathfrak{g}$ 在下面的分次向量空间上 $\马特拉克{g}$ a的结构微分梯度余代数，带差速器 $D=[-]+[-，-]+[-，-，-]+\c点$ 高括号之和，按等级扩展代码驱动较高的Jacobi恒等式等价于以下条件 $D^2=0$ .英寸(拉达马克94)据观察，相反，这种“半游离”微分分次余代数是的等效化身 $L_信息$ -代数。

（如果使用单位dg-co代数，则 $L_\输入$ -用way编码的algbras通常是曲线L-无穷代数为了限制到非弯曲的dg-co代数或非酉余代数。）

注意，这立即意味着如果 $\马特拉克{g}$ 是逐步有限维的，然后传递给对偶向量空间转动半自由微分梯度余代数进入之内半自由的微分分次代数，因此是相反的-相当于 $L_信息$ -代数有限型。对于 $\马特拉克{g}$ 普通有限维李代数，那么这个dg-代数就是它的Chevalley-Elenberg代数，因此我们通常可以说Chevalley-Elenberg代数属于 $L_\输入$ -代数有限型（更一般地说，如果有人调用pro-objects（问题对象），请参阅L-无穷代数的模型结构——pro-dg-代数的使用).

根据歌剧演员定义 $L_信息$ -代数在上面这种等价是Koszul对偶在谎言操作和交换操作的.

我们现在详细说明dg-代数的化身 $L_\输入$ -代数。

A（已连接） $L_\输入$ -代数是

一个 $\马特布{无}_+$ -梯度向量空间 $\mathfrak｛g｝$ ;
配备差速器 $D:\vee^\bullet\mathfrak{g}\to\vee|bullet\mathfrak}$ 学位 $-1$ 上自由分次共交换余代数结束 $\马特拉克{g}$ 平方为0

D^2=0\,.

这里是自由分次共交换共代数 $\V形^\bullet\mathfrak{g}$ 作为向量空间，与分级格拉斯曼代数 $\楔形^\bullet\mathfrak{g}$ 我们作为其元素编写

3 t_1\vee t_2+t_3+t_3\vee t_4\vee t_5

等（其中 $\V形$ 只是一种写楔子的有趣方式 $\楔子$ ，以提醒我们：……）

但认为配备了标准副产品

\增量（v_1\vee v_2\cdots\vee v_n）\propto\sum_i\pm（v_1\vee\cdots\vee v_i）\otimes（v_{i+1}\vee_cdots\vee v_n）

（制定或查看标志和预告的参考）。

因为这是一个自由的分级共交换余代数，我们可以看到任何微分

D:\vee^\bullet\mathfrak{g}\to\vee|bullet\mathfrak}

关于它是由它的值“关于同系物”固定的（这是一个可能不太熟悉的语句，但只是我们下面更熟悉的语句的直接对偶语句，即自由分次代数上的微分是由它们对生成器的作用固定的），这意味着我们可以分解 $D类$ 作为

D=D_1+D_2+D_3+\cdots\,,

其中每个 $i（_i）$ 充当 $l我$ 当在窗体的同质元素上求值时 $t_1\vee\cdots\vee t_n$ 然后唯一地扩展到所有 $\V形^\bullet\mathfrak{g}$ 通过将其扩展为共同激励在一个联合体上。

例如 $D_2（D_2）$ 作用于单词长度为3的同质元素

D_2（t1、t2、t3）=D_2（t1，t2）\vee t_3\pm置换\,.

读者练习：用所有的符号和每件事更详细地把这一切拼出来。可能通过在下面给出的参考文献中查找它。

使用这个，可以检查 $D类$ 平方到0正好等价于广义雅可比恒等式的无限塔：

（D^2=0）\左右箭头\左(\对于所有n：\sum{i+j=n}\sum{shuffles\sigma}\pm li（lj（v{σ（1）}，\cdots，v{∑（j）}），v{\sigma（j+1）}，\cdots，v{\sigma（n）}）=0\右侧）\,.

总之，我们有：

一个 $L_\输入$ -代数是一个dg-代数其基础联合布拉格不含钴且呈负浓度。

根据半自由微分代数

重新制定 $L_\输入$ -代数只是一个半共自由的分次共交换余代数 $（\vee^\bullet\mathfrak{g}，D）$ 是对原始定义的一个有用的重新打包，但合并方面不仅不熟悉，而且有点不方便。至少当梯度向量空间 $\马特拉克{g}$ 是有等级的有限的，有限的维度的，我们可以简单地传递到其程度上的对偶梯度向量空间 $\马特拉克{g}^*$ .

（当使用dg-代数和pro-objects（问题对象）在里面dg-代数，请参阅L-无穷代数的模型结构——pro-dg-代数的使用).

它格拉斯曼代数 $\楔形^\bullet\mathfrak{g}^*$ 然后自然配备普通差速器 $d=d^*$ 作用于 $\omega\in\wedge^\bullet\mathfrak{g}^*$ 作为

（d\omega）（t1\vee\cdots\vee t_n）=\pm\omega（D（t_1\vee\cdots\vee t_n））\,.

当尘埃落定时，人们会发现

\楔形^\bullet\mathfrak{g}^*=k\oplus\mathfrak{g}^*_1\oplus

当地面场为0度时 $\马特拉克{g}^*$ 1度等 $d日$ 度为+1，当然平方为0

d^2=0\,.

这意味着我们有一个半游离dga

CE（\mathfrak{g}）：=（\wedge^\bullet\mathfrak{g}^*，d）\,.

在这种情况下 $\马特拉克{g}$ 碰巧是个普通人李代数，这是普通的Chevalley-Elenberg代数这个李代数。因此，我们通常应该致电 $CE（\mathfrak｛g｝）$ 这个Chevalley-Elenberg代数的 $L_\输入$ -代数 $\马特拉克{g}$ .

有人观察到这种结构是双向的：每个（度有限维）cochain半自由dga正度生成来自a（度有限维） $L_\输入$ -代数就是这样。

这意味着我们也可以定义a（逐步有限维） $L_\输入$ -代数作为对象相反类别（度有限维）可换的dg-代数是的半自由dgas和正生成。

（通常，这对应于曲线L-无穷代数.公寓 $L_\输入$ -代数 $\马特拉克{g}$ 对偶对应于以下dg-代数增强的结束 $\mathbb{R}$ ，即标准投影 $CE（\mathfrak{g}）\longrightarrow\mathbb{R}$ 是dg-代数的同态。）

事实证明，这是关于 $L_\输入$ -代数。

特别是，如果我们简单地去掉dg-代数以正次生成的条件，并允许它在0次代数上以非负次生成，那么我们就有了（Chevalley-Elenberg代数的）L-无穷代数体.

细节

我们详细讨论了显示 $L_\输入$ -上的代数结构 $\马特拉克{g}$ 相当于adg-代数-上的结构 $\楔形^\bullet\mathfrak{g}^*$ .

让 $\马特拉克{g}$ 在一定程度上是有限维的 $\马特布{无}_+$ 梯度向量空间配备多线性分级对称地图

[-，\cdots，-]_k:Sym^k\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}

度-1，每个 $k\in\mathbb{无}_+$ .

让 $\{ta\}$ 成为基础属于 $\马特拉克{g}$ 和 $\{t^a\}$ 阶对偶的对偶基础 $\马特拉克{g}^*$ .装备格拉斯曼代数 $符号^\bullet\mathfrak{g}^*$ 用一个推导

d:Sym^\bullet\mathfrak{g}^*\到Sym^\ bullet\mathfrak}^*

发电机上的定义

日期：t^a\地图-\sum_｛k=1｝^\数量\压裂{1}{k！}[t{a_1}，\cdots，t{a_k}]^a_k\,t^｛a_1｝\楔形\cdots\楔形t^｛a_k｝\,.

我们拿着 $塔卡$ 与 $时间（TA）$ 因此，该推导的次数为+1。

我们计算平方 $d^2=d\circ d$ :

\开始{对齐}日期t^a&= d（-1）\sum_{k=1}^\infty\压裂{1}{k！}[t{a_1}，\cdots，t{a_k}]^a_k\,t^{a_1}\楔形\cdots\楔形t^{a_k}\\& = \和{k，l=1}^\裂缝{1}{（k-1）！l！}[[t{b1}，\cdots，t{bl}]，t{a2}，\tots，t_{ak}]^a\,t^{b_1}\楔形\cdots\楔形t^{bl}\楔子t^{a_2}\楔形\cdots\楔形t^{{k}}\结束｛对齐｝\,.

这里右边的楔形产品将嵌套括号投影到其分级对称组件上。这是通过对所有数据进行求和得出的置换秒 $\西格玛\in\sigma_{k+l-1}$ 被Koszul人称量-签名排列的：

\cdots=\和{k，l=1}^\裂缝{1}{（k+l-1）！}\sum_{sigma\in\sigma_{k+l-1}}（-1）^{sgn（\sigma）}\裂缝{1}{（k-1）！l！}[[t{b1}，\cdots，t{bl}]，t{a2}，\tots，t_{ak}]^a\,t^｛b_1｝\楔形\cdots\楔形t^｛b_l｝\楔子t^{a_2}\楔形\cdots\楔形t^{{k}}\,.

所有排列的和分解为 $（l，k-1）$ -不颤抖s和作用于第一个置换的和 $我$ 和最后一个 $（k-1）$ 指数。根据括号的分级对称性，后者不会更改嵌套括号的值。既然有 $（k-1）！我！$ 他们中的许多人

\光盘=\和{k，l=1}^\裂缝{1}{（k+l-1）！}\Unsh（l，k-1）}中的sum_{sigma\（-1）^{sgn（\sigma）}\左[\left[t{a1}，\cdots，t{al}\right]\,t^{a_1}\楔形\cdots\楔形t^{{k+l-1}}\,.

因此，条件 $d^2=0$ 等同于条件

\和{k+l=n-1}\Unsh（l，k-1）}中的sum_{sigma\（-1）^{sgn（\sigma）}\左[\left[t{a1}，\cdots，t{al}\right]= 0

为所有人 $n\in\mathbb{n}$ 以及所有 $\{t{a_i}\in\mathfrak{g}\}$ 这是方程式(1)上面写着 $\{\mathfrak{g}，\{[-，\dots，-]_k\}$ 是一个 $L_信息$ -代数。

根据操作数上的代数

$L_\输入$ -代数正是操作数上的代数的共纤维分辨率谎言操作.

示例

特殊情况

一个 $L_\输入$ -代数，其中 $五$ 集中在第一个 $n个$ 学位是谎言 $n个$ -代数（有时还包括：“ $L_n（L_n）$ -代数”）。
一个 $L_\输入$ -只有一元运算和二进制括号是非平凡的代数是dg-Lie代数：a李代数内部到这个类别属于dg-代数从更高的谎言理论角度来看，这是一个严格的 $L_\输入$ -代数雅可比恒等式恰好“在鼻子上”，而不仅仅是非平凡的相干同构。
所以特别是
- 一个 $L_\输入$ -一阶代数是一个普通的代数李代数;
- 一个 $L_\输入$ -1次和2次生成的代数是李2-代数;
  - 一个 $L_\输入$ -仅在1次和2次生成的代数，最多带有二元括号，是一个严格李2-代数，在差分交叉模.
- 一个 $L_信息$ -仅在1度、2度和3度生成的代数是李3-代数;
如果 $\马特拉克{g}$ 是上面的李代数吗 $\矩阵{K}$ 、和 $b^{k-1}\mathbb{k}$ 是由字段组成的复合体 $\mathbb{K}$ 以度为单位 $1公里$ ，然后是 $L_\输入$ -代数态射 $\马特拉克{g}$ 到 $b^{k-1}\mathbb{k}$ 正是一个学位 $k个$ 李代数余循环.
李括号的不对称性严格保持在 $L_\输入$ -代数。预计削弱这一点也会产生更普遍的结果垂直分类李代数。对于 $n=2$ 这是由德米特里·罗滕伯格（Dmitry Roytenberg）制定的：关于弱李2-代数.
这个水平分类属于 $L_\输入$ -代数是 $L_\输入$ -代数体第条。
一个 $L_\输入$ -只有的代数 $编号（_n）$ 非消失称为n-李代数–区别于谎言 $n个$ -代数! 然而，在大部分文献中 $n个$ -考虑李代数，其中 $编号（_n）$ 是不级配中要求的均匀度，或首先不考虑级配。这样的 $n个$ -李代数不是 $L_\输入$ -然后是代数。有关更多信息，请参阅n-李代数.
一个 $L_\输入$ -代数内部到超向量空间s是一个超L-∞代数.

示例类

自同构李2-代数?
内导子李2-代数
自同构∞-李代数
对于每个 $\不完整的$ -李代数 $\马特拉克{g}$ 有它的自同构∞-李代数.在以下方面有理同伦理论该模型对的有理自同构群有理空间对应于 $\马特拉克{g}$ .
泊松括号李n-代数
海森堡李n-代数的n-plectic流形或更一般地n-完全光滑无穷广群
一些类W-代数据称是诱导 $L_\输入$ -代数Blumenhagen-Fuchs-Traube 17号

具体示例

属性

Ind-Conilpotency公司

备注

(Pridham 10，备注3.15，备注3.13)

对于 $\马特拉克{g}$ 一个 $L_\输入$ -代数，然后是它的CE链dgc-余代数 $CE_\项目符号（\mathfrak{g}）$ (在上面)是ind-幂零.

这意味着 $CE_\项目符号（\mathfrak{g}）$ 是一个过滤大肠杆菌对于二次幂次dg-代数，其中每一个子代数都有 $n\in\mathbb{n}$ 这样他们的 $n个$ -折叠副产物消失。因此，这些类似于“co-局部Artin代数”.

此外，由于每个dg-co代数都是联盟其有限维子代数的dg-代数该部分有限维碎片的过滤共线)，这意味着 $CE_\项目符号（\mathfrak{g}）$ 是一个过滤大肠杆菌有限维二次幂并代数。

这意味着对偶Chevalley-Elenberg-cochain代数 $CE ^\项目符号（\mathfrak{g}）$ 是一个过滤极限有限维幂零的dgc-代数（实际局部Artin代数).

模型类别结构

请参见L-∞代数的模型结构.

与dg-Lie代数的关系

每dg-Lie代数显然是一种 $L_\输入$ -代数。Dg-Lie代数正是那些 $L_\输入$ -代数 $n个$ -ary括号用于 $n\gt 2$ 微不足道。这些可能被认为是严格的 $L_\输入$ -代数：那些雅可比恒等式握住鼻子和所有可能的更高相干度都是微不足道的。

定理

让 $k个$ 成为领域属于特征0并写入 $L_\infty算法$ 对于类别属于 $左侧$ -上的代数 $k个$ .

然后每个对象 $L_\infty算法$ 是准同质的到dg-Lie代数.

此外，我们可以找到一个函数替换：有一个函子

W:L_\infty Alg_k\到L_\infty Alg_k

这样，对于每个 $\L_infty Alg_k中的mathfrak｛g｝\$

$W（\mathfrak{k}）$ 是一个dg-Lie代数;
有一个准同构

$\mathfrak{g}\stackrel{\simeq}{\to}W（\mathfrak{g}）\,.$

例如，它显示为(Kriz和May 1995，Cor.1.6).

有关更多信息，请参阅L-∞代数与dg-Lie代数的关系.

与的关系 $\英菲$ -李群胚

概括来说李代数集成到李群, $L_\输入$ -代数积分到∞-李群第条。

请参见

Lie集成

和

李积分∞-李群胚.

工具书类

概述

概念L-∞代数作为梯度向量空间配备有 $n个$ -满足广义的ary括号雅可比恒等式原因如下：

是吉姆·斯塔谢夫,微分分次李代数、拟Hopf代数和高同伦代数，英寸量子群数学课堂讲稿中的数字1510。施普林格，柏林，1992年(doi:10.1007/BFb0101184).
汤姆·拉达,是吉姆·斯塔谢夫,物理学家sh李代数简介，国际J.提奥。物理学。32(1993) 1087-1103 [doi:10.1007/BF00671791,arXiv:hep-th/9209099]
汤姆·拉达,马丁·马克尔,强同伦李代数，代数通信236 (1995) [doi:10.1080/00927879508825335,arXiv:hep-th/9406095]
马克西姆·孔采维奇，第4.3节：泊松流形的变形量子化，Lett。数学。物理学。66(2003) 157-216 (arXiv:q-alg/9709040,doi:10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf)

至少斯塔舍夫92正在关注兹维巴赫92，他观察到n点函数在里面闭弦场理论装备BRST综合设施的关闭玻色弦具有 $L_\输入$ -代数结构（参见更多参考那里). 反过来，Zwiebach也在跟踪BV形式主义由于巴塔林·维尔科维斯基83,巴塔金·弗拉德金83.

另请参阅L-无穷代数-历史.

关于以下方面的讨论共纤维分辨率的谎言操作:

伊戈尔·克里茨,彼得·梅，第28页，共页：运算、代数、模和动机，阿斯特里斯克233《法国数学协会》（1995年）(pdf格式,编号：AST_1995__233__1_0)
让-路易·洛迪,布鲁诺·瓦莱特第3.2.12节及以后版本：代数运算Wissenschaften数学研究所346，施普林格2012(国际标准图书编号978-3-642-30362-3,pdf格式)

历史调查是

是吉姆·斯塔谢夫,高同伦结构，过去和现在，在开幕式研讨会属于几何学和物理学中的高等结构2016年波恩MPI(pdf格式,arXiv公司：1809.02526)

另请参见

《玛丽莲日报》， $L_\输入$ -构筑物，博士论文，2004(网状物)
克劳斯·白令，汤姆·拉达,同伦李代数实例数学档案(arXiv:0903.5433)

综合调查，重点是 $L_\输入$ -代数上同调:

本·雷恩霍尔德， $L_\输入$ -代数及其上同调，紧急科学家三4（2019年）&lbrack；doi:10.1051/emsci/2019003&rbrack；

特殊情况审查李2-代数强调的是分类:

约翰·贝兹,Alissa Crans公司,高维代数VI：李2-代数,节气门执行器控制12, (2004), 492–528. (arXiv:数学/0307263)

作为有理同伦类型的模型

那个 $L_\输入$ -代数是有理同伦理论是隐式的奎伦69（通过他们的与dg-Lie代数的等价性)并在年明确表示Hinich希尼奇98.展览会在

乌尔茨·布伊斯,伊夫·费利克斯,阿尼塞托·穆里略，第2节 $L_\输入$ -映射空间的有理同伦(arXiv:1209.4756)，发布为 $L_\输入$ -基于映射空间的模型，J.数学。《日本社会》第63卷第2期（2011年），第503-524页。

和泛化到非-有联系的有理空间在

Urtzi大厦,阿尼塞托·穆里略,非连通空间的代数模型与同伦理论 $L_\输入$ -代数《数学进展》236（2013）：60-91。(arXiv:1204.4999)

$L_\输入$ -物理学中的代数

以下主要按发现时间顺序列出，L-∞代数出现在中的结构物理学尤其是在超重力,BV-BRST形式主义,形變量子化,弦理论，更高Chern-Simons理论/AKSZσ模型和局部场理论.

有关更多信息，请参阅高等范畴理论与物理学.

在超重力中

隐含地，在他们的等价物中形式对偶伪装Chevalley-Elenberg代数（参见在上面), $L_信息$ -代数有限型–事实上超L-∞代数–在超重力的D'Auria-Fré公式至少从那以后

里卡多·达乌里亚,彼得罗·弗雷,D=11的几何超引力及其隐超群，核物理B201(1982) 101-140 [doi:10.1016/0550-3213（82）90376-5,勘误表]
莱昂纳多·卡斯特拉尼,里卡多·达乌里亚,彼得罗·弗雷，第III.6章：超重力和超弦——几何透视《世界科学》（1991）[doi:10.142/0224，第III.6章：pdf格式]
彼得罗·弗雷，§6.3英寸：重力，几何课程，第2卷：黑洞、宇宙学和超重力导论，施普林格（2013）[doi:10.1007/978-94-007-5443-0]
莱昂纳多·卡斯特拉尼，§6英寸：群几何框架中的超重力：引子，福施尔。物理学。664 (2018) [doi:10.1002/2014年6月18日,arXiv公司：1802.03407]

在这里，它们被称为“自由微分代数”（“FDA”）can Nieuwenhuizen 1982年)，这是对数学中所称的用词不当半自由dgas（因为它只是潜在的分级交换代数必须是免费的有差别的至关重要不通常是免费的，否则只有威尔代数).

翻译D'Auria-Fré形式主义（“FDA”）明确(超级的) $L_\输入$ -代数语言产生于：

Urs Schreiber公司,SuGra 3连接重新加载(2006)
希沙姆·萨蒂,Urs Schreiber公司,是吉姆·斯塔谢夫，第6.5.1节示例5，第54页： $L_\输入$ 代数连接及其在String和Chern-Simons n传输中的应用，单位：量子场论，Birkhäuser（2009）303-424[arXiv公司：0801.3480,doi:10.1007/978-3-7643-8736-5_17]
多梅尼科·菲奥伦萨,希沙姆·萨蒂,Urs Schreiber公司,超李n-代数扩张、高WZW模型和具有张量多重场的超p-膜，《现代物理学几何方法国际期刊》1202（2015）1550018&lbrack；arXiv公司：1308.5264,doi:10.1142/S021988781550188&rbrack；

将它们连接到WZW术语更高的Green-Schwarz sigma模型基本的超p膜(薄膜花束).

另请参阅超重力李3-代数、和超重力李6代数.

进一步阐述和审查超重力“FDA”的（双重）识别超级的 $L_\输入$ -代数:

Urs Schreiber公司,超重力中的同伦李n-代数，《物理学论坛-洞察力》（2015）
布拉尼斯拉夫·尤尔奇奥,克里斯蒂安·塞曼,Urs Schreiber公司,沃尔夫:M理论中的高级结构，简介2018年M理论中的高级结构，富士奇。d.物理。678-9（2019）1910001&lbrack；arXiv公司：1903.02807,doi:10.1002/prop.201910001&rbrack；
多梅尼科·菲奥伦萨,希沙姆·萨蒂,Urs Schreiber公司:M-理论的合理高等结构，英寸2018年M理论中的高级结构，福施尔。der Physik公司678-9 (2019) 1910017 [arXiv:1903.02834号,doi:10.1002/prop.201910017]

请注意，有一个不同的“菲利波夫”概念n-李代数“建议者Bagger&Lambert 2006年在描述共形场理论在中近地平线极限属于黑色p膜尤其是BLG模型对于共形世界卷关于M2-起重机.

实现这些“菲利波夫 $三$ -李代数“作为2项 $L_\输入$ -代数(李2-代数)配备二进制文件不变多项式（“度量李2-代数”）位于：

萨姆·帕尔默，克里斯蒂安·塞曼，第2节非阿贝尔Gerbes的M膜模型，JHEP 1207:010，2012(arXiv:1203.5757)
帕特里夏·里特,克里斯蒂安·塞曼，第2.5节李2-代数模型，JHEP 04（2014）066(arXiv:1308.4892)

基于

保罗·德·梅德罗斯,何塞·菲格雷奥·奥法里尔,埃琳娜·曼德斯·埃斯科瓦尔,帕特里夏·里特,度量3-代数的李代数起源、Commun。数学。物理290:871-9022009(arXiv:0809.1086)

另请参见

何塞·菲格雷奥·奥法里尔，节三系与李超代数在里面M2-布朗、ADE和李超代数，在IPMU 2009上发言(pdf格式)

超重力C-场规范代数

识别超粒度规范代数C字段在里面D=11超重力（非平凡超级Lie支架 $[v_3，v_3]=-v_6$ ):

尤金·克雷默,伯纳德·朱莉娅、H.Lu、，克里斯托弗·波普，式（2.6）二元性的二元化，II：双重场和超对偶的扭曲自我二元性，编号。物理。B类535(1998) 242-292 [doi:10.1016/S0550-3213（98）00552-5,arXiv:hep-th/9806106]
I.V.Lavrinenko，H.Lu，克里斯托弗·波普,凯洛格·S·斯特尔，（3.4）英寸：超对偶、Brane张量和大规模IIA/IIB对偶，编号。物理。B类555(1999) 201-227 [doi:10.1016/S0550-3213（99）00307-7,arXiv:hep-th/9903057]
尤西·卡基宁,凯洛格·S·斯特尔，第（75）页，共页：M理论中的大规范变换、J.Geom。物理学。48(2003) 100-132 [doi:10.1016/S0393-0440（03）00027-5,arXiv:hep-th/0212081]
伊戈尔·A·班多斯,阿列克谢·努尔马甘贝托夫,德米特里·索罗金，（86）英寸：IIA型超重力的各种面，编号。物理。B类676(2004) 189-228 [doi:10.1016/j.nuclphysb.2003.10.036,arXiv:hep-th/0307153]

标识为 $L_\输入$ -代数（a）dg-Lie代数，在这种情况下）：

希沙姆·萨蒂，（4.9）英寸：与M膜相关的几何和拓扑结构，英寸超弦、几何、拓扑和 $C^\ast（最后一个）$ -代数，程序。交响乐团。纯数学。81(2010) 181-236 [ams:pspum/081,arXiv:1001.5020]

和理性的认同怀特黑德 $L_信息$ -代数（该理性奎伦模型)的4个球体（参见。假设H):

希沙姆·萨蒂,亚历山大·沃罗诺夫，（13）英寸：神秘审判与M理论[arXiv公司：2212.13968]
希沙姆·萨蒂,Urs Schreiber公司，（22）英寸：相空间上的通量量子化[arXiv公司：2312.12517]

在BV-BRST形式主义中

介绍BV-BRST复合物作为导出的临界轨迹的动作功能属于规范理论是由于

伊戈尔·巴塔林,格里戈里·维尔科维斯基,规范代数与量子化，物理。莱特。B 102（1981）27–31。doi:10.1016/0370-2693（81）90205-7
伊戈尔·巴塔林,格里戈里·维尔科维斯基,可约规范理论的费曼规则，物理。莱特。B 120（1983）166-170。

doi:10.1016/0370-2693（83）90645-7
伊戈尔·巴塔林,埃菲姆·弗雷德金,可约规范理论的广义规范形式和量子化，物理。莱特。B122（1983）157-164。
伊戈尔·巴塔林,格里戈里·维尔科维斯基,具有线性相关生成器的规范理论的量子化，物理。修订版D 28（10）：2567–258（1983）doi:10.1103/PhysRevD.28.2567。勘误表-同上30（1984）508 doi:10.1103/PhysRevD.30.508

如中所述

马克·亨诺,克劳迪奥·泰特博伊姆,量规系统的量化普林斯顿大学出版社，1992年。xxviii+520页。
约阿金·戈米斯、J.Paris、S.Samuel、，反球拍、反场和规范理论量子化(arXiv:hep-th/9412228)

了解到这些BV-BRST复合物数学上是形式对偶 Chevalley-Eilenberg代数的导出的L-∞代数体起源于

是吉姆·斯塔谢夫,约束泊松代数的同调约简，J.差异几何。第45卷，第1期（1997），221-240(arXiv:q-alg/9603021,欧几里得)
是吉姆·斯塔谢夫,Batalin-Vilkovisky方法的（秘密？）同调代数(arXiv:hep-th/9712157)

同伦讨论Lie-Linehart对是由于

拉尔斯·凯西思,同伦Lie-Linhart对的同伦Rinehart上同调，同调同伦应用。第3卷，第1期（2001），139-163。(欧几里得)

这个L-∞代数体-结构也在(v1的定义4.1)第页，共页(萨蒂·施雷贝尔·斯塔舍夫09).

提取 $L_\输入$ -代数从一个正式的邻居导出的临界轨迹可能首先在以下内容中明确说明：

马克西姆·格里戈里耶夫,德米特里·鲁丁斯基,关于 $L_\输入$ -局部规范场理论探讨 $[$ arXiv2303.08990型 $]$

弦场理论

第一个明确的的外观 $L_\输入$ -理论物理中的代数是 $L_信息$ -上的代数结构BRST综合设施的关闭玻色弦在封闭玻色子背景下发现弦场理论在里面

巴顿·兹维巴赫,闭弦场理论：量子作用和B-V主方程，编号。物理。B390（1993）33(arXiv:hep-th/9206084)
是吉姆·斯塔谢夫,闭弦场理论、强同伦李代数和模空间的操作作用在几何和物理专题会议(1992) (arXiv:hep-th/9304061)

开闭玻色弦场理论的推广L-∞代数与交互A-∞代数:

Kajiura宏志,同伦代数形态与经典弦场理论的几何(2001) (arXiv:hep-th/0112228)
广岛加久拉,是吉姆·斯塔谢夫,受经典开闭弦场理论启发的同伦代数，公共数学。物理。263 (2006) 553–581 (2004) (arXiv:数学/0410291)
马丁·马克尔,闭弦场理论中的循环同伦代数(1997) (arXiv:hep-th/9711045)

另请参见

是吉姆·斯塔谢夫,高等同伦代数：弦场论和Drinfeld拟Hopf代数，诉讼程序理论物理微分几何方法国际会议，1991年(塔尖)

有关更多信息，请参阅弦场理论-参考-与A-无穷和L-无穷代数的关系.

变形量化中

的一般解决方案形變量子化的问题泊松流形由于

Kontsevich康采维奇97

关键性地利用L-∞代数后来人们了解到L-∞代数等价于无穷小的通用模型形变理论（指任何事物），也称为形式模问题:

弗拉基米尔·希尼奇,DG余代数作为形式堆栈(arXiv公司：9812034)
雅各布·卢里,形式模问题
乔纳森·普里德姆,统一导出的变形理论高级数学。224（2010），第3期，772-826(arXiv:0705.0344)

在杂化弦理论中

接下来又是 $L_\输入$ -代数有限型这引起了人们的注意。最终人们了解到字符串结构它体现了格林-施瓦兹异常消除中的机制杂色弦理论进一步平滑细化为G-结构对于字符串2组，这是Lie集成的李2-代数调用了弦李2-代数。这是由于

约翰·贝兹,Alissa Crans公司,Urs Schreiber公司,丹尼·史蒂文森,从回路组到2组,同伦、同调和应用 9(2007), 101-135. (arXiv:数学。质量保证/0504123)
安德烈·恩里克,正在集成 $L_\输入$ 代数，作曲。数学。144（2008），编号4，1017–1045(国防部,数学。电话：0603563)

与Green-Schwarz机制的关系在

希沙姆·萨蒂,Urs Schreiber公司,是吉姆·斯塔谢夫,扭曲微分弦和五膜结构《数学物理通信》，2012年，第315卷，第1期，第169-213页(arXiv:0910.4001)

本文还观察到，类似的情况出现在对偶异质弦理论使用五膜李6--代数代替字符串Lie 2-代数。

高阶Chern-Simons场理论与AKSZ sigma模型

普通Chern-Simons理论对于一个简单的仪表组，都由李代数3-余环Chern-Simons理论对AKSZ-sigma模型被理解为由编码辛李n-代数体（后来重新流行为“移位辛结构“）中

德米特里·罗滕贝格,Courant代数体、派生括号甚至辛超流形博士论文(arXiv:9910078)
帕沃尔·塞韦拉,包含单词“同伦”和“辛”的一些标题，例如这个基于2000年6月马赛CIRM“泊松2000”的演讲；(arXiv:0105080)
德米特里·罗滕贝格,关于分次辛超流形和Courant代数体的结构在里面量化、泊松括号及其他,西奥多·沃罗诺夫（编辑），内容。数学。，第315卷，美国。数学。2002年，国际扶轮社普罗维登斯(arXiv公司)
德米特里·罗滕贝格,AKSZ-BV形式主义和Courant代数体诱导的拓扑场理论莱特。数学。物理79:143-1592007(arXiv:hep-th/0608150).

以这种方式获得的全球定义的AKSZ动作函数如所示

多梅尼科·菲奥伦萨,克里斯·罗杰斯,Urs Schreiber公司,高阶Chern-Weil理论中的AKSZ Sigma-模型国际地质杂志。方法Mod。物理。10 (2013) 1250078 (arXiv:1108.4378)

作为更高Lie积分过程的特例

佛罗伦萨多梅尼科,Urs Schreiber公司,是吉姆·斯塔谢夫,微分特征类的Cech余环，《理论与数学物理学进展》，第16卷第1期（2012年），第149-250页(arXiv:1011.4735)

非症状性的进一步例证 $L_\输入$ -通过这种方式获得的Chern-Simons理论包括7维Chern-Simons理论在串2-连接:

多梅尼科·菲奥伦萨,希沙姆·萨蒂,Urs Schreiber公司,多个M5骨架、弦2连接和7d非贝拉Chern-Simons理论《理论和数学物理进展》第18卷第2期（2014年）第229-321页

在局域前量子场论中

无限维 $L_\输入$ -表现类似于泊松托架李代数–泊松括号李n-代数–被注意到

克里斯·罗杰斯, $L_\输入$ 多符号几何中的代数，《数学物理快报》，2012年4月，第100卷第1期，第29-50页(arXiv:1005.2230,杂志).
克里斯·罗杰斯,高辛几何博士论文（2011）(arXiv:1106.4068)

在

多梅尼科·菲奥伦萨,克里斯·罗杰斯,Urs Schreiber公司,高预量子丛中局部可观测的L-∞代数《同源、同伦与应用》，第16卷（2014）第2期，第107–142页(arXiv公司：1304.6292)

这些被证明是对称性的无穷小版本前量子n束如中所示局部预量子场论，更概括地说泊松托架是的李代数量子主义群.

这些还编码了迪基支架在诺特守恒电流哪个用于Green-Schwarz sigma模型沦为谎言 $n个$ -代数BPS费用哪种方法更精细超李代数例如M理论超李代数:

这使我们有了一个具体的建议： $L_\输入$ -的代数精化Dickey支架属于守恒电流在里面局部场理论那是在

格伦·巴尼奇,罗纳德·福尔普,汤姆·拉达,是吉姆·斯塔谢夫,场论中泊松括号的sh-Lie结构(arXiv:hep-th/9702176)

对这种情况进行了全面调查和阐述

Urs Schreiber公司,高等预量子几何，英寸加布里埃尔·卡特伦,马修·阿内尔（编辑），数学和物理的新空间, 2016

在微扰量子场论中

进一步确定L-∞代数-结构在中费曼振幅/S矩阵属于拉格朗日语微扰量子场论:

马库斯·弗罗布,时间序列乘积中的反常现象及其在量子规范理论BV-BRST公式中的应用 数学物理中的通信2019年（首次在线）(arXiv:1803.10235号)
亚历克斯·阿瓦尼塔基斯,这个 $L_\输入$ -S-矩阵代数(arXiv公司：1903.05643)

在双场理论中

在双场理论:

安德烈亚斯·德瑟,是吉姆·斯塔谢夫,偶辛超模与双场理论《数学物理通讯》，2015年11月，第339卷，第3期，第1003-1020页(arXiv:140.6.3601)
奥拉夫·霍姆,巴顿·兹维巴赫, $L_\输入$ 代数与场论(arXiv:1701.08824)

n实验室L-无穷代数

上下文

∞\英菲-谎言理论

高等代数

代数理论

代数和模

高等代数

模型类别演示

代数形式对偶上的几何

定理

有理同伦理论

dg-代数

有理空间

PL de Rham杂岩

沙利文模型

相关主题

目录

想法

历史

备注

定义

根据操作数上的代数

就较高括号而言

定义

定义

示例

示例

示例

根据半自由微分余代数

根据半自由微分代数

细节

根据操作数上的代数

示例

特殊情况

示例类

具体示例

属性

Ind-Conilpotency公司

备注

模型类别结构

与dg-Lie代数的关系

定理

与的关系∞\英菲-李群胚

相关概念

工具书类

概述

作为有理同伦类型的模型

L（左） ∞L_\输入-物理学中的代数

在超重力中

超重力C-场规范代数

在BV-BRST形式主义中

弦场理论

变形量化中

在杂化弦理论中

高阶Chern-Simons场理论与AKSZ sigma模型

在局域前量子场论中

在微扰量子场论中

在双场理论中

相关说明

$\英菲$ -谎言理论

与的关系 $\英菲$ -李群胚

$L_\输入$ -物理学中的代数