此条目是关于模型属于模态逻辑; 对于框架在某种意义上几何逻辑请参阅此处。

---

目录

想法

在形式逻辑,克里普克框架，之后克里普克（1959）,(1963)，充当上下文基板集合理论的 语义学/模型对于模态逻辑（称为几何模型与…相反代数模型).

Kripke框架本身就是

• 一个有人居住的 设置 $W公司$

  通常称为可能的世界（或一套节点或状态或点)

• 配备有索引集二进制的关系 $R_i:W\次W\到道具$，每个一个模态算子 $\方框_i$在给定的模态逻辑

  调用了可达性或过渡世界或类似世界之间的关系，其中$R_i（w，w'）$通常被解释为（在认知的情况下）：“对代理人$我$在世界上$w个$，世界$w'（宽）$似乎（同样）可行。”

但请注意，由于模态逻辑有很多风格（认知、非神论、道义、时间、动态等），因此在相应的克里普克框架中对可及性关系有许多不同的解释。

因此Kripke框架是有态度的概念，即作为一个模态逻辑–其目的是解释：

1. 这个元素属于$W公司$作为“可能的世界“关于哪个命题在模态逻辑中，

2. 这个关系 $R_i（w，w'）$断言理性思考世界是有意义的$w'（宽）$在世界上$w个$.

即a模型基于这种克里普克框架的模态逻辑将解释

• 每个命题 $P（P）$作为逻辑的$W公司$-依赖的命题$P\colon W\to道具$,

• 每个情态动词命题$\方框_i P$作为$W公司$-依赖的位于的命题$w \英寸w$声称“$P（P）$保持所有这些$w'（宽）$在$我$与的关系$W公司$“，因此”$P（P）$在所有世界都有$w'（宽）$那个$我$认为尽可能$w个$”; 正式地（例如。Blackburn&van Benthem（2007）第10页):

（在这里，我们写下以下符号亚型—$P、冒号、W到道具$对于$W公司$-依赖的 命题，相当于关于$W公司$，相当于子集属于$W公司$这一主张适用的地方。）

定义

（单模）克里普克框架是一组$W公司$和二进制$R（右）$上的关系$W公司$.用于模态算子的多模态Kripke框架$\{\Box_i\}_{i\在i}中$是一套$W公司$以及二元关系$收件人（_i）$对于每个$i \在i中$等价地，单模克里普克框架是一个集合$W公司$和a联合布拉格对于幂集内函，$f_R:W\to\mathscr{P}（W）$.多模克里普克框架等价于一个集合$X（X）$内函子的余代数$\mathscr{P}（I\times-）$.

Kripke框架的一个态射，称为有界态射或p-态射（伪同态的缩写），是余代数的同态。

我们称之为单峰克里普克框架$\矩阵{Kr}$.$\矩阵{Kr}$与完整、原子、，完全添加剂 带运算符的布尔代数。这与以下结果类似$\mathbf{集合}$对偶等价于完备原子布尔代数的范畴。

一Kripke模型对于命题语言$L（左）$是Kripke框架$\兰格{W，f_R\rangle}$与一个估价 $五： 长\to\mathbb{2}^W$它保留了适当的逻辑结构。非模态连接词通常用它们的集合理论类似物处理（$\土地$，的联合$\勒（lor）$、否定补语等）。对于模态运算符$\盒子$，真相条款是$V（方框p）（w）=1$当且仅当$f_R（w）\子集V（p）$.

我们经常考虑由可及性关系的共同特征确定的克里普克框架的特定类别：例如自反性、及物性、对称欧几里德、密度等。这些对应于某些逻辑原则的有效性，以及不同的模态逻辑。然而，Kripke框架不足以对所有（正常）模态逻辑进行分类，详见霍利迪和利塔克，2019年虽然每一类克里普克框架都定义了一个正规模态逻辑，该类是完整的，但某些正规模态逻辑对于任何一类克里普克框架都是不完整的，这种现象被称为“克里普克不完整性”。通过对偶性，这意味着正规模态逻辑对任何一类完整的、原子的、，带算子的完全可加布尔代数。

下面我们详细介绍一些Kripke框架类。

几类Kripke框架

S5逻辑的透明案例。具体来说，对于S5模态逻辑和一个单身共鸣曲的 模态算子 $\盒子$Kripke框架（最初考虑克里普克1963)是一个

• 有人居住的地方$\;$ $W公司$

配备了一个

• 等价关系$\;$ $R（右）$

  （因此，这种关系是反射的,传递的和对称的)

也就是说$W公司$分解为不相交联合第个，共个等价类，这些是纤维的商 共投影

简单的案例必要性逻辑。在进一步的特例中，只有一个这样的类（因此“所有可能的世界都是相关的”，最初由克里普克1959)这就变成了

所以在模型基于这样一个框架模态算子 $\盒子$是的吗必然性:$\方框P$现在，独立于被评估的世界，断言$P（P）$保持在全部的 $w\单位：w$，因此$P（P）$持有必要地从这个意义上说：无论是哪个世界。

克里普克框架的一般情况实际上就是这个基本概念，添加了一些变体。例如一般情况(1)S5模态逻辑的$W/R（宽/宽）$-编入索引的不相交联合基本情况。

依赖型理论的观点。详见通过依赖类型的可能世界，模态算子的Kripke模型$\盒子$在这种情况下(2)属于S5模态逻辑具有全局可访问性关系的基本更改 余单子沿着投影(2)，同样的论点立即适用于一般的S5-case(1):

S4逻辑的情况。如果关系 $R（右）$在克里普克框架中(反射的和）传递的但不一定对称的，那么它仍然可以提供以下模型S4模态逻辑（参见。克里普克1959，§2).

在这种情况下，关系不再定义广群(“刚毛状的“）与S5-case一样，但它定义了（0,1）-类别具有物体的元素$W公司$.

因此，要保留类型理论视角(3)在这种情况下，需要某种形式的有向型理论.

一般情况

相关条目

• 可能的世界

• 必要性和可能性

• 认知模态逻辑

工具书类

原始条款：

• 索尔·克里普克,模态逻辑中的一个完备性定理《符号逻辑杂志》241 (1959) 1-14 [doi:10.2307/2964568,jstor:2964568,pdf格式]

• 索尔·克里普克,模态逻辑的语义分析Ⅰ.正规模态命题演算，数学逻辑四分之一95-6 (1963) 67-96 [doi:10.1002/malq.19630090502]

• 索尔·克里普克,模态逻辑的语义思考《费尼卡哲学学报》16(1963) 83-94 [pdf格式]

• 索尔·克里普克,模态逻辑的语义分析2。非正规模态命题演算，英寸模型理论（1963年伯克利国际研讨会论文集）逻辑与数学基础研究（1965）206-220[doi:10.1016/B978-0-7204-2233-7.50026-5]

现代博览会

• 帕特里克·布莱克本,本瑟姆,模态逻辑：语义视角，Ch 1英寸：模态逻辑手册，逻辑和实践推理研究三(2007) [doi:10.1016/S1570-2464（07）80004-8,书籍网页]

教科书账户；

• 帕特里克·布莱克本,马尔滕岛,Yde Venema公司，§1.3英寸：模态逻辑，《剑桥理论计算机科学丛书》53，剑桥大学出版社（2001）[doi:10.1017/CBO9781107050884]

• 瓦伦丁·戈兰科,马丁·奥托，§1.2英寸：模态逻辑的模型理论，在第5节中：模态逻辑手册，逻辑和实践推理研究三(2007) 249-329 [pdf格式,书籍网页,发布者页面]

• 奥利维埃·加斯奎特、安德烈亚斯·赫齐格、比拉尔·赛义德、弗朗索瓦·施瓦岑特鲁伯，克里普克的世界：通过Tableaux介绍模态逻辑《通用逻辑研究》，Springer（2014）[doi:10.1007/978-3-7643-8504-0,国际标准图书编号：978-3764385033]

Kripke框架的推广：

• 得夫·萨莫特，§6英寸：S5无分区知识，合成172(2010) 145–155 [doi:10.1007/s11229-009-9469-0]

关于Kripke框架的不完全性：

• Holliday，W.，Litak，T.（2019年）。完全可加性和模态不完全性。《符号逻辑评论》，12（3），487-535。[doi:10.1017/S1755020317000259]