克莱斯利范畴

想法

给定单子 $T型$在一些类别 $\数学{C}$，然后是它克莱斯利范畴是完整子范畴的Eilenberg-Moore类别属于$T型$，因此类别为T-代数，在那些自由的 T-代数（免费$T型$-模块).

可以明确描述（Prop。以下）克莱斯利范畴属于$T型$（定义。)作为物体的对象$\数学{C}$，和一个态射$X到Y$在Kleisli范畴中是$\数学{C}$表单的$X至T（Y）$在里面$\数学{C}$.单子结构诱导自然作文此类“$T型$-移位的“形态”。

Kleisli类别还具有以下特征通用属性:

自附加导致单子上领域第个，共个左伴随，我们可能会问，是否每个单子都可以被解释为来自附加词。事实上这是真的，而且最初的在附加词范畴因为给定的单子具有克莱斯利范畴作为其左伴随的余域。

定义

让$\mathbf{T}=（T，\mu，\eta）$成为单子在里面猫，其中$T\colon\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal{C}$是一个内函子具有

• 乘法$\mu\冒号T T\到T$,

• 单元$\eta\冒号Id_C\至T$.

根据自由代数

就克莱斯利形态而言

从另一个角度来看，我们可以保留与中相同的对象$C$但要重新定义形态。这是最初的克莱斯利建筑：

（例如。Borceux（1994年），Prop。4.1.6条)

双面Kleisli类别

(Brookes&Van Stone 1993年Thm。2)

属性

通用属性

在更一般的2类中通用属性属于Kleisli对象具有双重的普遍属性Eilenberg-Moore对象.

特别地，$C_{\mathbf{T}}$是最初的在中附加词范畴对于$\矩阵{T}$（鉴于$C^{\mathbf{T}}$是终端). 有关证明，请参见语境中的范畴理论建议5.2.12。

示例

概述

特定

相关概念

• Kleisli三重

• co-Kleisli类别

• Kleisli物体

• 扩展系统

• 计算机科学中的单子

• Kleisli 2类

• thunk-force类别

工具书类

原始条款：

• 海因里希·克莱斯利,每个标准结构都由一对伴随函子诱导，程序。阿默尔。数学。索克。16，AMS（1965）544-546[ISSN0002-9939号,编号：2034693]

• Jean-Marie Maranda女士,关于基本构造和伴随函数，加拿大数学公告95 (1966) 581-591 [doi:10.4153/CBM-1966-072-9]

早期账户（连同Eilenberg-Moore类别):

• 弗雷德·林顿，§7英寸：功能语义学概述，英寸三元组和范畴同调理论研讨会，数学课堂笔记80，施普林格（1969）7-52[doi:10.1007/BFb0083080]

• 桑德斯·麦克莱恩，第VI.5条：数学工作者的范畴，数学研究生课程5斯普林格（1971）[doi:10.1007/978-1-4757-4721-8]

• 巴尔,查尔斯·威尔斯第3.2条：拓扑、三元组和理论格兰德伦数学。Wissenschaften公司278施普林格（1983）[节气门执行器控制（TAC）：12]

• JenöSzigeti，关于Kleisli范畴中的极限和结肠炎、Cahiers de Topologie et Géométrie Différentiele Cate goriques244 (1983) 381-391 [编号：CTGDC_1983__24_4_381_0]

这个范畴的等价性在克莱斯利范畴超过给定值单子使用co-Kleisli类别的伴随 余单子（如果存在）：

• 马克·克莱纳,伴随单体与Kleisli范畴的同构，代数杂志1331 (1990) 79-82 [doi:10.1016/0021-8693（90）90069-Z]

术语“Kleisli三重“对于单子显示为“扩展系统“以及与计算具有效果（请参阅计算机科学中的单子):

• 尤金尼奥·莫吉,计算和单子的概念信息与计算，931 (1991) [doi:10.1016/0890-5401（91）90052-4,pdf格式]

教科书帐户明确了克莱斯利等价:

• 弗朗西斯·博尔塞克斯，第191页，见：范畴代数手册，第2卷类别和结构，数学百科全书及其应用50剑桥大学出版社（1994）[doi:10.1017/CBO9780511525865]

课堂讲稿：

• 托马斯·斯特里彻，第54页，见：范畴理论与范畴逻辑导论(2003) [pdf格式,pdf格式]

讨论将Kleisli类别纳入Eilenberg-Moore类别是一个反射子范畴:

• 马塞洛·菲奥雷,马蒂亚斯·梅尼,因式分解单子的Eilenberg-Moore代数范畴的反射Kleisli子范畴《范畴的理论与应用》，第15卷，CT2004，第2期，第40-65页。(节气门执行器控制)

讨论组合的“双重”或“双面”Kleisli范畴，组合一个单子使用co-Kleisli类别的余单子那个分发在上面：

• 斯蒂芬·布鲁克斯,凯瑟琳·范·斯通,内涵语义学中的单数和连词(1993) [dtic:ADA266522,pdf格式,pdf格式]

并概括为2-单子:

• 理查德·加纳，第11页，共11页：基于伪分布律的多类别，数学进展2183 (2008) 781-827 [arXiv公司：0606735,doi:10.1016/j.aim.2008.02.001]

中的讨论内部类别理论：

• 托马斯·布热津斯基、阿德里安·巴斯克斯-马尔克斯、，内部Kleisli类别，《纯粹与应用代数杂志》2159 (2011) 213-147 [arXiv:0911.4048]

在以下背景下进行讨论范畴系统论:

• 大卫·杰斯·迈尔斯第2.3条：范畴系统理论，图书项目[github,pdf格式]

关于Kleisli范畴的讨论类型理论在中

• 亚历克斯·辛普森,Kleisli范畴中的递归类型(pdf格式)