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想法

这个杀人形式或卡丹杀戮形态是二进制不变多项式在任何有限维上都存在李代数.

定义

给定有限维$k个$-李代数 $\马特拉克{g}$它的杀人形式 $B： \mathfrak{g}\otimes\mathfrak{g}\到k$是由公式给出的对称双线性形式

哪里

是线性地图由伴随作用属于$x个$，因此上的值$x个$的伴随表示 $ad\colon\mathfrak{g}\到Der（\mathfrak{g}）$.

如果$\{ta\}$是一个线性基础对于$\马特拉克{g}$和$\{C^a{}_{bc}\}$是在此基础上李代数的结构常数（定义为$[t_a，t_b]=\sum_c c^c_{a b}t_c$)，然后

属性

杀人表格是一个不变多项式在那里面

为所有人$x、 y，z\in\mathbb{g}$。这源于追踪.

对于复李代数$\马特拉克{g}$Killing形式的非退化性（即作为度量制$\马特拉克{g}$一度量李代数)等于半简单性属于$\马特拉克{g}$.

对于简单的复李代数或实李代数的紧形式，任何不变的非退化对称双线性形式都与Killing形式成正比。事实上，人们经常在简单李代数上使用Killing格式的正规化，使其成为正定的内积，这样对应于长根的代数元素（同构下$\mathfrak{g}^*\simeq\mathfrak{g}$由原始杀戮形式诱导）具有长度$\方形{2}$Killing形式和这个正规化版本都给了一个简单李代数一个度量李代数一个正定，一个负定。这种正规化的杀人形式有时被称为，紧随普莱斯利和西格尔之后基本内积关于李代数。

下面是简单实矩阵李代数紧形式的基本内积，来自(Wang–Ziller 1985年，第583页）：

• $\mathfrak{su}（n）$:$\语言X，Y\rangle=-tr_{\mathbb{C}}（XY）$.
• $\mathfrak{so}（3）$:$\兰格X，Y\rangle=-tr_{mathbb{R}}（XY）/4$.
• $\mathfrak{so}（n）$,$第5页$:$\兰格X，Y\rangle=-tr_{mathbb{R}}（XY）/2$.
• $\mathfrak{sp}（n）$:$\langle X，Y\rangle=-Tr（XY）=-2\Re-Tr_{\mathbb{H}}（XY$.

追踪$tr{k}（\cdot）$这是除环上矩阵的一般迹$k个$、和减少的痕迹 $Tr（\cdot）$对于$n次n$四元数矩阵是嵌入到$2n\乘以2n$复矩阵（思考$\mathbb{H}\simeq\mathbb}C}\oplus j\mathbb{C}$)和复数矩阵的普通迹。

概括

有时人们更普遍地认为是一种杀人形式$B_ \rho$对于更一般的忠实有限维表示 $\ρ$,$B_\rho（x，y）=tr\big（\rho$.如果杀死形式是非退化的并且$x_1，\ldot，x_n$是$L（左）$具有$x_1^*，\ldot，x_n^*$双重基础$\马特拉克{g}^*$，关于的杀人表格$\ρ$，然后是规范元素$r=\sum_i x_i\otimes x_i^*$定义卡西米尔操作员 $C（\rho）=（\rho\otime\rho）（r）$在代表中$\ρ$; 如果地面场是$\mathbb{C}$，签署人舒尔引理 $C（\rho）$是非零标量运算符。通常，考虑泛包络代数，的卡西米尔元件在里面$U（\mathfrak{g}）$.

工具书类

有关一般性讨论，请参阅：

• 维基百科，杀人形式

关于标准化和相关数据的详细讨论如下：

• McKenzie Y.Wang和Wolfgang Ziller，关于正规齐次爱因斯坦流形《科学年鉴》，塞利418（1985），第4期，563–633。