n实验室Kan扩展

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上下文

范畴理论

2范畴理论

丰富的范畴理论

极限和结肠炎

“普通”或“弱”Kan扩展

这些定义了整个函子的扩展，通过伴随关系。

在这里我们必须进一步区分
1. 全局Kan扩展,
  
  定义的扩展全部的给定域和余域的可能函子（如果它们都存在）；
2. 本地Kan扩展,
  
  它只定义单个函子的扩展，即使不是每个函子都有扩展，也可能存在。
“逐点”或“强”Kan扩展

这些定义了价值通过加权（co）极限.

此外，逐点Kan扩展可以是“绝对”.

如果存在逐点版本，则它与“普通”或“弱”版本一致，但前者可能存在，而不存在逐点版。请参见在下面了解更多信息。

一些作者（如凯莉)断言只有逐点Kan扩展才配得上“Kan扩展”这个名称，并将该术语用作具有通用自然变换的函子的“弱Kan扩展（weak Kan extension）”。当然，实践中出现的大多数Kan扩展都是逐点的。这种区别在丰富的类别理论。

普通或弱Kan扩展

全局Kan扩展

让

p:C\到C'

成为函子。对于 $D类$ 任何其他类别，写

p^*：[C'，D]\至[C，D]

上的诱导函子函子范畴：这将发送一个函子 $h:C'\至D$ 到复合函子 $p^*h:C\stackrel{p}{\to}C'\stackrel{h}{\to}D$ .

定义

如果 $第页^*$ 有一个左伴随，通常表示

p_！：[C，D]\至[C'，D]

或

Lan_p:[C，D]\至[C'，D]

那么这个左伴称为(普通的或虚弱的)左Kan扩展沿……运行 $对$ 。对于 $h\英寸[C，D]$ 我们打电话给 $p_！小时$ 这个的左Kan扩展 $小时$ 沿着 $对$ .

类似地，如果 $第页^*$ 有一个右伴随，这个右伴称为右Kan扩展沿……运行 $对$ 通常表示

p_*：[C，D]\至[C'，D]

或

Ran=Ran_p:[C，D]\至[C'，D]\,.

类似的定义在其他上下文中很有意义，例如丰富范畴理论.

提议

如果 $C’=*$ 是终端类别，然后

左Kan扩展操作形成上极限函子；
右Kan扩展操作形成限制函子的。

证明

函子 $第页^*$ 在这种情况下，发送对象 $d日$ 属于 $D类$ 到常数函子 $\增量（_d）$ 在 $d日$ 请注意，对于 $F\in[C，D]$ 任何函子，

一自然转化 $\增量到F（_d）$ 与圆锥体结束 $F类$ ;
一自然转化 $F\至\Delta_d$ 与古柯碱在下面 $F类$ .

因此伴随函子秒 $（p_！\dashv p^*）$ 和 $（p^*\dashv p_*）$

D（D，p_*F）\simeq函数（\Delta_D，F）

和

D（p_！F，D）\simeq函数（F，\Delta_D）

断言

$p_*F$ core表示圆锥体s结束 $F类$ ：根据定义，这意味着 $p_*F=\lim_\leftarrow F$ 是限制结束 $F类$ ;
$p_！F类$ 代表古柯碱s低于 $F类$ ：根据定义，这意味着 $p_！F=\lim_\至F$ 是上极限属于 $F类$ .

本地Kan扩展

还有一个地方的“给定函子的Kan扩张”的定义 $F类$ 沿着 $对$ “即使上面定义的整个函子不存在，也可以存在。这是对以下事实的概括：特别的形状图 $C类$ 可以有一个限制，即使不是每个这样的图都有。这也是在伴随函子伴随函子可以不完全存在，但仍然可以部分定义。如果给定的某些函子存在每个函子的局部Kan扩张 $p\冒号C\到C'$ 和 $D类$ ，然后这些局部Kan扩展组合在一起，定义一个函子，即全局Kan扩展。

因此，根据“部分伴随词”的一般概念；我们说

定义

当地左Kan扩展函子的 $F\in[C，D]$ 沿着 $p:C\到C'$ 是函子（如果存在）

Lan_p\，F:C'\至D

配备有自然同构

Hom_{[C，D]}（F，p^*（-））\cong Hom_[C'，D]{（Lan_p\，F，-）\,,

因此a（共同）代表函子的 $Hom_{[C，D]}（F，p^*（-））$ .

右Kan扩张的局部定义 $对$ 是双重的。

至于伴随词和极限，根据可表示函子的通常逻辑，这可以等价地用泛态射:

定义

这个左Kan延伸 $Lan F=Lan_p F$ 属于 $F:C\至D$ 沿着 $p:C\到C'$ 是函子 $局域网F:C'\至D$ 配备有自然转化 $\eta_F:F\Rightarrow p^*区域F$ .

具有每一次自然转换的特性 $F \右箭头p^*G$ 因素唯一通过 $\eta_F$ 作为

同样，对于右Kan扩展，自然变换的方向颠倒了：

通过通常的推理（参见示例。类别工作，第四章，定理2），如果每个 $F类$ 然后可以将它们组织成左（右）伴随 $车道（_p）$ ( $跑步（_p）$ )至 $第页^*$ .

备注

这种形式的定义不仅在猫但在每个2类。在稍微不同的术语中，1个单元格的左Kan扩展 $F： C至D$ 沿着1个单元格 $p \in K（C，C'）$ 在2类中 $K$ 是一对 $（Lan_p F，\alpha）$ 哪里 $\alpha:F\到Lan_p F\circ p$ 是一个2单元反射对象 $F在K（C，D）中$ 沿着函子 $p^*=K（p，D）：K（C'，D）\到K（C，D）$ 等价地，它是这样一对，对于每一个 $G\冒号C'\至D$ ，函数

K（C'，D）（Lan_p F，G）\xrightarrow{-\cdot\alpha}K（C，D）

是一个双射.

在这种形式下，定义很容易推广到任何n类对于任何 $第2页$ .如果 $K$ 是一个 $n个$ -范畴，我们说1-态射的左Kan扩张 $F： C至D$ 沿着1-同态 $p \in K（C，C'）$ 是一对 $（Lan_p F，\alpha）$ ，其中 $Lan_p F\colon C'\至D$ 是1-态射 $\alpha:F\到Lan_p F\circ p$ 是2-态射，其性质是对于任何1-态射 $G\冒号C'\至D$ ，诱导函子

K（C'，D）（Lan_p F，G）\xrightarrow{-\cdot\alpha}K（C，D）

是一个等效属于 $（n-2）$ -类别。

Kan扩展的保存

我们说Kan扩展 $车道_ F$ 是保存由函子 $G公司$ 如果复合材料 $G\circ车道_p F$ 是Kan的扩展 $G F公司$ 沿着 $对$ 以及普遍的自然转化 $G F\到G（车道_ F）p$ 是以下项的组合 $G公司$ 具有通用转换 $F\到（Lan_p F）p$ .

逐点或强Kan扩展

如果密码子类别 $D类$ 承认一定（co）限额，然后可以在域类别的每个对象（“点”）上构造左Kan扩展和右Kan扩展 $C’$ 其中：接受这种形式的Kan扩展称为逐点（审查包括(里尔，I 1.3)).

逐点Kan扩展的概念值得在丰富范畴理论，我们在下面进行。读者可能想跳到这一节

圆锥（co）极限的点态Kan扩张

它讨论了普通情况(设置-丰富)范畴理论普通极限（“锥形”极限，定义为圆锥体s、与更一般的区别加权限额s）。虽然这种情况下的公式是经典的，并且在实践中基本有用，但它们确实严重依赖于丰富类别的特殊属性设置.

一般丰富上下文中逐点Kan扩展的一般公式是

根据加权（co）极限.

在共染色质类别为（co）张量的这些可以等效地表示

就（共同）目的而言.

首先，这里是一个不依赖任何计算框架的特征描述：

定义

Kan扩展名，def。，被称为逐点当且仅当它是保存所有人可表示函子第条。

(类别工作，定理X.5.3）

就加权（co）限额而言

假设给定 $F:C\至D$ 和 $p:C\到C'$ 这样每 $c'\在c'中$ ，的加权限额

（Ran_p F）（c'）\coloneqq lim^{c'（c'，p（-））}F\,.

存在。然后这些对象组合成一个函子 $跑步_ F$ 它是的右Kan扩展 $F类$ 沿着 $对$ .双重的，如果加权大肠杆菌

（Lan_p F）（c'）\coloneqq colim^{c'（p（-），c'）}F\,.

对所有人都存在 $c’$ ，然后它们组合成一个左Kan扩展 $车道_ F$ 这些定义显然在以下方面具有普遍意义 $V（V）$ -丰富范畴理论对于 $V（V）$ 一关闭对称单体范畴（事实上，它们可以稍作修改，以便在配备探针的2类.)

特别是，这意味着如果 $C类$ 是小的和 $D类$ 是完成（分别是cocomplete），然后是函子的所有右（分别是左）Kan扩张 $F\冒号C\至D$ 沿任何函子存在 $p\冒号C\到C'$ .

我们可以证明，以这种方式构造的任何Kan扩展都必须是逐点的，即被上述所有可表示项所保留。此外，相反，如果Kan扩展 $车道_ F$ 是有意义的，那么我们可以证明 $（兰_p F）（c'）$ 事实上必须是 $C'（p（-），C'）$ -加权共线 $F类$ 和双重；因此，这两个概念是等价的。

展开加权（co）极限的定义，可以将其定义为表示对象

D\大(d日,\, （等级_p F）（c'）\大）\;\模拟\；设置^C\Big(C'\大（C'，p（-）\大）,\, D\大（D，F（-）\大）\大）

D\大(（兰_p F）（c'）,\, d日\大）\;\模拟\；设置^{C^{op}}\Big(C'\大（p（-），C'\大）,\, D\大（F（-），D\big）\大）\,.

同样，对于 $V（V）$ -丰富的类别，更换设置这里有浓缩宇宙 $V（V）$ .

就（共同）目的而言

如果 $V（V）$ -丰富的类别 $D类$ 是权力ed结束 $V（V）$ ，则可以用结束作为

（Ran_p F）（c'）\simeq\int_{c\ in c}c'（c'，p（c））\干草叉F（c）\,.

因此，特别是当 $D=V$ 这是

(1)

（Ran_p F）（c'）\simeq\int_{c\在c}中[c'（c'，p（c）），F（c）]\,.

(方钻杆（4.24）)

类似地，如果 $D类$ 是张量的结束 $V（V）$ ，则左Kan扩展由共同（coend）.

(2)

（Lan_p F）（c'）\simeq\int^{c\in c}c'（p（c），c'）\otimes F（c）\,.

(方钻杆（4.25）)

例子

（预升的左Kan延伸系数公式）

当考虑以下内容时，左Kan扩展的coend公式可以很好地理解 $C类$ 和 $D类$ 以上为相反的类别和用于 $\mathcal{V}=设置$ ，所以需要预升 $F类$ 在 $C类$ 沿着 $p\冒号C\到C'$ 预升 $车道_ F$ 在 $C’$ ，根据公式

（Lan_p F）（c'）\simeq\int^{c\in c}c'（c'，p（c））\times F（c）\,.

使用米田引理重写 $F（c）\simeq Hom_{PSh（c）}（c，F）$ ，这是

（Lan_p F）（c'）\simeq\int^{c\在c}中Hom_{c'}（c'，p（c））\times Hom_{PSh（c）}（c，F）\,.

在这种形式中，可以看到coend生成的集合的元素是等价类成对的态射

（c’到p（c），c到F）

只要有 $f\colon c1\到c2$ 使得

\阵列{&&c’\\&\swarrow&&\searrow\\p（c1）&&\stackrel{p（f）}{\longrightarrow}&&p（c2）\\c1&&\stackrel{f}{\longrightarrow}&&c2\\&\searrow&&\swarrow\\&&F类}\,.

当我们想到 $C类$ 和 $C’$ 在相同的基础上，尤其是当 $对$ 是一个完整子范畴包含。因为在这种情况下，我们可以想象一对代表 $（c’到p（c），c到F）$ 是元素实际回调的替代 $F类$ 通过形成复合材料” $c'\至c\至F$ ”，只是没有定义此组合。但上述等价关系正是该复合物在其中保持不变的关系。

就锥形（co）极限而言

在普通之间的函子的情况下本地小类别，因此在特殊情况下 $V（V）$ -丰富范畴理论对于 $V（V）=$ 设置，有一个加权（co）极限的表达式，因此有一个点态Kan扩展作为普通（“圆锥形”），意思是：圆锥体s）（co）超过逗号类别:

提议

让

$C类$ 成为小类别;
$D类$ 都是小的限制第条。

那么函子的右Kan扩张 $F:C\至D$ 沿着函子的局部小范畴 $p:C\到C'$ 存在及其在对象上的值 $c'\在c'中$ 由限制

（等级_p F）（c'）\西马克\lim_\leftarrow\left（（\Delta_{c'}/p）\toC\stackrel{F}{to}D\right）\,,

哪里

$\增量{c'}/p$ 是逗号类别;
$\增量{c'}/p\到c$ 是规范的健忘函子.

同样，如果 $D类$ 可容纳少量上极限s、函子的左Kan扩张存在，并由上极限

（兰_p F）（c'）\西马克\lim_\to\left（（p/\Delta_{c'}）\toC\stackrel{F}{\to}D\right）\,.

例如，它显示为(波切，I，thm 3.7.2). 在以下背景下进行讨论丰富范畴理论在中(凯利，第3.4节).

一个健忘的模仿者的卡通图片逗号类别 $p/\增量{c'}\到c$ 需要记住的是

\左(\阵列{p（c1）&&\stackrel{p（\phi）}{\to}&&p（c2）\\&\searrow&&\swarrow\\&&c’}\右侧）\;\;\地图\;\;\左(c1\stackrel{\phi}{\to}c2\右侧）\,.

这个逗号类别这里相当于元素类别函子的 $C'（p（-），C'）：C^｛op｝\要设置$

（p/\Delta_{c'}）\simeq el（c'（p（-），c'））\,.

证明

考虑一下左Kan扩展的情况，另一种情况类似，但具有双重性。

首先注意，上述函子值的逐点定义规范地扩展到实际函子：

对于 $\φ：c'1\至c'2$ 中的任何态射 $C’$ 我们得到一个函子

\phi_*：p/\增量{c'_1}\到p/\增量_{c'_2}

逗号类别，通过后组合。This morphism of图表s规范地归纳了上极限秒

（兰_p F）（c'_1）至（兰_p-F）（c’_2）\,.

现在讨论函子的普遍性质 $车道_ F$ 这样定义。对于 $c'\在c'中$ 表示结肠炎的成分古柯碱 $（Lan_p F）（c'）：=\lim_｛\to｝（p/\Delta_｛c'｝\to c\stackrel｛F｝｛\to｝D）$ 通过 $s{（-）}$ ，如中所示

\阵列{（p（c1）\stackrel{\phi}{\to}c'）&&\stackrel{p（h）}{\到}&&（p（c_2）\stackrel｛\lambda｝｛\to｝c'）\\\\\\F（c_1）&&\stackrel{F（h）}{\to}&&F（c_2）\\&{}{\mathllap{s\phi}}\searrow&&\swarrow{\mathrlap{s{\lambda}}}\\&&（兰_p F）（c'）}\,.

我们现在在组件中构建一个自然转换

\eta_F:F\到p^*Lan_p F

对于 $车道_ F$ 如上定义，并表明它满足所需的普遍性质。的组件 $\eta_F$ 结束 $c \以c表示$ 是形态

\eta_F（c）：F（c）到（Lan_p F）（p（c））\,.

把这些交给

\eta_F（c）：=s_{Id_{p（c）}}

（这与米田引理，所有这些参数都是Yoneda引理参数的变体，反之亦然）。检查这些是否是自然的，以及以这种方式定义的自然转换是否具有所需的通用属性，即使有点繁琐，也很简单。

比较定义

我们已经看到，如果 $D类$ 有足够的极限或共线，那么就可以根据这些极限定义逐点Kan扩张，并且必然满足首先描述的泛性质。然而，并非所有的Kan扩展都是逐点的：即具有通用转换 $F\到（Lan_p F）p$ 并不一定意味着 $车道_ F$ 是其密码子中的极限或结肠炎。即使在以下情况下，也可以存在非点Kan扩展 $D类$ 不承认太多的限制。

然而，应该注意的是，逐点Kan扩展仍然存在，因此存在特定的必要限制/共线，即使 $D类$ （co）不完整。例如，在研究导出函子s是逐点的，事实上绝对的（保存人全部的函子），尽管它们的余域是同伦范畴通常不承认所有限制和结肠炎。

非点式Kan扩展在实践中似乎非常罕见。然而，2范畴中Kan扩展的抽象概念（有时简称为“扩展”）及其提升的双重概念在2范畴理论例如，双类别例如教授允许所有正确的扩展和正确的提升；具有此属性的双类别可以被视为水平分类的闭单体范畴.

绝对Kan扩展

安绝对的Kan扩展 $车道_ F$ 是一个保存由所有函子 $G公司$ 从 $F类$ :

G（Lan_p F）\simeq Lan_p（G F）

（右Kan扩展相同）。

绝对Kan扩展最突出的例子是伴随函子; 事实上，它们可以定义为某些绝对Kan扩展。请参阅此处以获取准确的说明。

备注

（绝对与逐点）
绝对Kan扩展总是逐点的，因为后者可以定义为那些由可表示项保存的扩展；有很多点态Kan扩展的例子，它们不是绝对的。

请注意，在一般的2类中，绝对Kan扩展非常有意义，而定义逐点扩展则需要更多的结构：逗号对象和/或一些可以让我们处理（co）限制的结构里面2类（例如（co）Yoneda结构或探测设备).

的 $（\infty，1）$ -函子

根据回调的左/右邻接，函子的Kan扩展的全局定义可以在（∞，1）-类别

请参阅（∞，1）-Kan扩张.

一般2类

函子的Kan扩张可以更抽象地视为2类猫类别的。相同的扩展问题可以在任何2类因此，有一个相应的更普遍的Kan扩展概念1-形态在里面2类。这在中进行了讨论(Lack 09，第2.2节).

定义逐点一般2类中的Kan扩展更微妙，至少有两种不同的方法。如果2类有逗号对象，然后我们可以定义Kan扩展为逐点扩展，如果它在粘贴任何逗号对象时仍然是Kan扩展；这是上述定义在以下方面的“内在化”圆锥形的结肠炎。另一方面，在配备探针的2类我们可以使用可表示的权重将逐点Kan扩展定义为特定的加权（co）极限；这将上述定义推广为加权（co）极限。

在一些2类中，例如 $猫$ ，两种定义一致；但在其他情况下则不然，通常情况下，设备理论版本才是“正确的”。例如，在 $V类别$ 设备理论版给出了点式Kan扩展的正确概念，而逗号对象扩展的概念太强了。

作为一个具体的例子，让 $V=类别$ ，所以 $V类=2类$ ; 那么逗号对象的信息量不够，因为它们“看不到2个单元格”。更具体地说，让我们 $B类$ 成为行走2-电池和 $M（M）$ 平行1-态射的行走对 $f： 1至B$ 和 $g： 1至M$ 平行1-态射的公共域的包含；然后是设备-理论-点 $车道（_f）$ 域对象是常量，而逗号对象是点式的 $Lan_f克$ 不存在。请参见（罗尔德，示例2.24）了解详细信息。

存在

以下复制了MathOverflow答案通过伊万·迪·利贝蒂:

引理

（菅直人）。让 $\mathsf{B}\stackrel{f}{\leftarrow}\mathsf}A}\stackrel{g}{\to}\mathsf{C}$ 成为跨度哪里 $\mathsf{A}$ 是小的和 $\mathsf{C}$ 是（小）共同完成。然后左Kan扩展 $\马瑟夫{局域网}_f克$ 存在。

Kan扩展在日常实践中是一个有用的工具，在许多不同的主题中都有应用范畴理论。在这个引理（这是本主题中使用最多的引理之一）中，集合理论问题远未被隐藏： $\mathsf{A}$ 需要小（相对于 $Ob（\mathsf{C}）$ !当 $\mathsf{A}$ 是一个大类别确实如此结肠炎可以通过Kan扩展计算，这个引理意味着每个（小）共完成类别是大cocomplete，这是不允许的，因为共完备小范畴是偏序集此外，没有机会通过说：好吧，让我们考虑一下 $\mathsf{C}$ 大而完整，同样是因为共完备小范畴是偏序集.

这个问题很难避免，因为我们感兴趣的类别的大小是事实上总是大于其居民的规模（这只是意味着大多数时候奥布 $\mathsf{C}$ 是一个适当等级，与丰富).

注意Kan扩展问题恢复伴随函子定理一，因为伴随词是通过大范畴恒等式的Kan扩展来计算的。事实上，在这种情况下解集条件正是为了减少一些大肠杆菌的大小所需要的，否则大肠杆菌会太大而无法计算，这可以通过尖锐的Kan引理来合成。

柠檬

尖锐Kan引理。让 $\mathsf{B}\stackrel{f}{\leftarrow}\mathsf}A}\stackrel{g}{\to}\mathsf{C}$ 是一个跨度，其中 $\矩阵{B}（f-，B）$ 对每一个 $b\in\mathsf{b}$ 和 $\mathsf{C}$ 是（小）完整的。然后是左Kan扩展 $\马瑟夫{局域网}_f克$ 存在。

事实上，这个引理允许 $\mathsf{A}$ 规模很大，但我们必须对其前卫类别表示敬意： $（f）$ 需要以某种方式局部较小（关于Ob公司 $\mathsf{C}$ ).

引理

Kan引理Fortissimo。让 $\mathsf｛A｝\stackrel｛f｝｛\to｝\mathsf｛B｝$ 做一个函子。以下是等效的：

对于每个 $g:\mathsf{A}\to\mathsf{C}$ 哪里 $\mathsf{C}$ 是一个小完整类别， $\mathsf公司{局域网}_f克$ 存在。
$\马瑟夫{局域网}_f年$ 存在，其中 $年$ Yoneda是否嵌入小预升类别 $y： \mathsf｛A｝\到\mathcal｛P｝（\mathsf｛A｝）$ .
$\矩阵{B}（f-，B）$ 对于每个 $b\in\mathsf{b}$ .

甚至在不知不觉中，前面的讨论也是本地可呈现类别事实上，拥有一个高密度发电机是一个很好的折衷方案普遍性与温顺性作为这方面的证据可访问类别尖锐的Kan引理可以简化。

引理

Tame Kan引理。让 $\mathsf{B}\stackrel{f}{\leftarrow}\mathsf}A}\stackrel{g}{\to}\mathsf{C}$ 是可访问类别的跨度，其中 $（f）$ 是一个可访问函子，并且 $\mathsf{C}$ 是（小）完整的。然后是左Kan扩展 $\马瑟夫{局域网}_f克$ 存在。

夏普的参考资料。我不知道这个结果的参考。它可以通过仔细分析道具。答7在我的论文里编码性：伊斯贝尔对偶性、pro-objects、紧凑性和可访问性证明的结构保持不变，必须用小的预应力代替预应力。

Tame参考。这是一个练习，它可以直接遵循尖锐的Kan引理，但这足以正确地组合通常的Kan引理，道具A.1和2以及可及函子有arity。

属性

代表/完全忠诚的左翼菅直人延伸

让 $\数学{V}$ 是一个合适的富集类别（a宇宙). 尤其是 $\数学{V}$ 可能是设置.

提议

对于 $F:C\至D$ 一 $\数学{V}$ -富足函子之间小的 $\数学{V}$ -丰富的类别我们有

左边的Kan延伸线 $F类$ 拿可代表的预升 $C（C，-）：C\to\mathcal{V}$ 到他们的图像下 $F类$ :

$Lan_F C（C，-）\simeq D（F（C），-）$

为所有人 $c \以c表示$ .
如果 $F类$ 是一个完全忠实函子然后 $F^*（Lan_F H）\simeq H$ 事实上 $（Lan_F\dashv F^*）$ -附加词的单位是一个自然同构

$Id\stackrel{\simeq}{\to}F^*\circ Lan_{F}$

它从何而来这个属性属于伴随函子s）那个 $Lan_F:[C，\mathcal{V}]\到[D，\matchcal{V}]$ 本身就是一个完全忠实函子.

例如，第二条语句显示为(凯利，道具。4.23).

证明

对于第一个语句，使用共同（coend）左Kan扩展的公式在上面我们自然会 $d中的d’$ 表达式

\开始{对齐}Lan_F C（C，-）：d’\mapsto（地图）& \整数^{c'\在c}D（F（c'），D'）中\\&\模拟\整数^{c'\在c}D（F（c'），D'）\cdot c（c，c'）中\\&\simeq（模拟）D（F（c），D’）\结束{对齐}\,.

这里最后一步有时称为co-Yoneda引理例如，它通过观察 $\整数^{c'\在c}D（F（c'），D'）\cdot c（c，c'）中$ 等价地双重表示不可表示的左Kan扩展的表达式 $D（F（-），D'）：C^{op}\to\mathcal{V}$ 沿着身份函子。

第二种情况类似，如果 $H:D\至E$ 是任何 $\数学{V}$ -富足函子具有 $E类$ 张量的结束 $\数学{V}$ ，然后在图像上计算其左Kan扩展 $F类$ 是

\开始{对齐}兰_F H:F（d）\mapsto&\nint^{c\在c}D（F（c），F（D））\cdot H（c）中\\&\simeq（模拟）\整数^{c\在c}c（c，d）\cdot H（c）中\\&\当量H（d）\结束{对齐}\,.

保持某些极限的左Kan扩展

下面的声明说左正合函子进入之内地形沿着Yoneda嵌入(Yoneda扩建)而且这是反像的几何态射属于sheaf拓扑如果原始函子保持不变盖子.

（我们在（∞，1）范畴理论，同样的说法在普通情况下也是正确的范畴理论无视“ $\英菲$ ”.)

提议

让 $\矩阵{H}$ 做一个（∞，1）-拓扑然后让 $\数学{C}$ 做一个（∞，1）-位置具有（∞，1）-层（∞、1）-范畴 $Sh（\mathcal{C}）$ .然后（∞，1）-函子

顶部（\mathcal{X}，Sh（\mathcal{C}））\西马克函数^{lex，leftadj}（Sh（\mathcal{C}），\mathcal{X}）\stackrel{（-）\circ L}{\longrightarrow}功能（PSh（\mathcal{C}），\mathcal{X}）\stackrel{（-）\circ Y}{\longrightarrow}函数（\mathcal{C}，\mathcal{X}）

通过预合成给出∞-堆叠/脱毛 $L（左）$ 并使用（∞，1）-Yoneda嵌入 $Y（Y）$ 是一个完全忠实（∞，1）函子此外，其基本形象由这些组成（∞，1）-函子 $f\colon\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal{X}$ 哪些是左侧精确并为 $\{U_i\到X\}_i$ 一覆盖在里面 $\数学{C}$ ，然后 $\协生成_i f（U_i）\到f（X）$ 是一个有效满射在里面 $\数学{X}$ .

这显示为Lurie，HTT，道具。6.2.3.20.

备注

道具。是对地形进行分类。请参阅此处了解更多信息。

有关左Kan扩展保留的左精确属性的更多讨论，请参见(Borceux-Day公司,Karazeris-Protsonis公司).

沿（op）纤维的Kan延伸

提议

让 $f:C\至D$ 小的手术纤维化类别，并让 $\数学{C}$ 成为一个所有小的类别结肠炎然后针对每个 $d中的d\$ 夹杂物

f^{-1}（d）\到f/d

的纤维结束 $d日$ 进入逗号类别由提供

c\mapsto（c，Id_{d}=Id_{f（c）}）

有一个左伴随.由给出

（c，f（c）到d）映射到c'\,,

哪里 $c\到c'$ 是的coCartesian升力 $f（c）至d$ .

因此（通过讨论在这里)它是一个余尾函子相应地，左Kan扩张的局部公式

f！：[C，\mathcal{D}]\到[D，\matchcal{D}]

通过取colimit除以纤维:

f！X:d\mapsto\lim_{\underset{f^{-1}（d）}{\to}}X\,.

类似的结果适用于 $（\infty，1）$ -类别。请参见Lurie，HTT，道具。4.3.3.10，套 $S=Y$ 和 $q=\id_Y$ .

示例

Kan扩展示例的中心点是：

Kan扩展无处不在.

在相当程度上，范畴理论都是关于Kan扩展和其他通用结构秒：限制第页，伴随函子第页，可表示函子s、这些都是Kan扩展的特例，Kan扩展就是这些特例。

中列出Kan扩展的示例范畴理论很像列出的例子完整的中的分析：可以而且确实可以用这些来填满书籍。（事实上，这个类比比普通人看到的要多：看共同（coend）更多信息）。

记住这一点，我们确实列出了一些特殊情况和特殊类别的示例，这些示例非常有用。但任何列表都必然是极其不完整的。

概述

对于 $C’=$ 这个指向，的右Kan扩展 $F类$ 是限制属于 $F类$ , $跑步F\simeq\lim F$ 左边的Kan分机是上极限 $兰氏结肠$ .
对于 $f:X\到Y$ 一位点的形态来自函子 $f^t:S_Y\到S_X$ 在基本范畴中，函子的左Kan扩张 $f^t公司$ 是反像操作 $f^{-1}:PSh（Y）到PSh（X）$ .
另请参阅Kan扩展的示例

非点Kan扩展

中讨论了非点式Kan扩展的示例Borceux，练习3.9.7.

滑轮的限制和延伸

有关以下内容的更多信息，另请参阅

滑轮的限制和延伸

使用上述逐点公式的左Kan扩张的基本示例是沿着拓扑空间的态射构造带轮的回缩。让 $f： X到Y$ 是一个连续的映射 $F类$ 预先清理 $X（X）$ 然后是公式 $（f_*f）（U）=f（f^{-1}（U））$ 清楚地定义了预兆 $f _*f$ 在 $Y（Y）$ ，这实际上是一捆，如果 $F类$ 是的。另一方面，如果预先治疗 $G公司$ 结束 $Y（Y）$ 我们无法定义拉回压力 $（f^{-1}G）（V）=G（f（V））$ 因为 $f（V）$ 通常可能不开放（除非 $（f）$ 是一张打开的地图）。对于Grothendieck场地，如 $f（V）$ 甚至没有意义。但可以考虑从上面近似计算 $G（宽）$ 为所有人 $W \补充f（V）$ 它们是开放的，并对这张内含物图进行了共点（全部 $W公司$ 更大，因此降低到下限意味着反向进入包裹体的方向）。但包括在内 $f（V）\子集W$ 暗示 $V\子集f^{-1}（f（V））\子集f^{-1-}（W）$ 后一种身份 $V\子集f^{-1}（W）$ 涉及仅开放集因此，我们对逗号类别进行了colimit $（V \向下箭头f^｛-1｝）$ 属于 $G公司$ .如果 $G公司$ 是一捆，大肠杆菌 $G（V）$ 被理解为规则 $V\映射到G（V）$ 还不是一捆，我们需要乳白色的结果是sheaf-theoretic回调

（f）^{-1}G=\mathrm{sheafify}（V\mapsto\mathrm{结肠}_｛V｝向右箭头f^{-1}宽}G（W））=\mathrm{sheafify}（V\mapsto\mathrm{结肠}_{（V\向下箭头f^{-1}）}G）

这是一层，我们可以分析这个结构来表明 $f^{-1}$ 是的左伴随词 $（f）_*$ 这种左Kan扩展的用法在更一般的Grothendieck拓扑中仍然存在。

物理学中的Kan延拓

我们在这里列出了Kan扩展在物理学.

注意，由于通过上述讨论，Kan扩展在范畴理论与其他标准基本相同通用结构比如值得注意的有限公司/限制在某种程度上范畴理论与物理学总之，它必然也会以某种形式涉及Kan扩展。但这里列出了一些例子，它们非常明确地出现在这里。

在扩展量子场论在开流形和闭流形上，通常“整体”理论（在闭流形中）是由“扩展”在边界上”，并且在很好的情况下，此扩展是明确的(同伦)-Kan扩展。这是一个值得注意的情况二维TQFT以…的形式TCFT公司(科斯特洛04)，请参阅TCFT–分类了解详细信息。
什么时候？路径积分量化形式化为广义上同调中的光纤积分（调查地点：激励量化)然后推前步骤，即路径积分本身，由左边给出同伦Kan扩张属于参数化光谱。有关详细信息，请参阅(Nuiten 13，第4.1节)，此外(Schreiber 14，第6.2节). 通过示例6.3，这种情况的一个特例是通过Kan扩展的积分公式(Hopkins-Lurie 14，第4节).

术语注释：向前推与向后拉

一般来说 $p:C\到C'$ 一函子，上的诱导“预合成”函子函子范畴

[C'，D]\stackrel{-\circ p}{\to}[中、日]

被称为向后拉上的函子 $C’$ 到上的函子 $C类$ ，因为此操作的方向与 $对$ 自身。由于这个原因，我们在上面将这个函子表示为 $第页^*$ 。同样，可以调用（左或右）Kan扩展 $对$ 一向前推进函子的 $C类$ 到上的函子 $C’$ .

此符号也与几何态射在一种情况下：任何函子 $p\冒号C\到C'$ 小范畴之间诱导几何态射 $[C，设置]\到[C'，设置]$ 属于堆前地形，谁的反像是上面的吗 $第页^*$ 和谁的直接图像 $第页_*$ 是右Kan扩张函子。请注意 $第页^*$ 保留逆像函子所要求的（有限）极限，因为它有左伴随，即左边Kan扩展。

另一方面，如果 $对$ 另外是一个平坦函子，则上述预合成函子也是直接的几何态射的图像，其逆图像由左边Kan扩展（当 $对$ 平坦）。一般来说，如果 $C^{op}$ 和 $（C'）^{op}$ 是地点和 $p^{op}\冒号C^{opneneneep \到（C'）^{op{$ 是平坦的，保留了覆盖家庭的区域（即位点的形态)，则预合成是几何态射的直接图像 $Sh（C^{op}）\到Sh（（C'）^{op{）$ 在层拓扑之间。

例如， $C^{op}$ 和 $（C'）^{op}$ 可能是偏序集 $打开（X）$ 和 $打开（X'）$ 的开放子集拓扑空间（或区域设置) $X（X）$ 和 $X’$ 和夹杂物，在这种情况下

打开（X）^{op}\以打开（X'）^{op}

来自相反方向的拓扑空间的连续映射

X\左箭头X'：f\,,

通过通常的反向图像 $f^{-1}:O（X）^{op}\到O（X'）^{op}$ 开放子集的。

因此，在这种情况下，函子 $第页^*$ ，看起来像是函数的拉回 $p=f^｛-1｝$ ，在几何上对应于向前推（预）滑轮 $（f）$ 因此，在预切文学（例如类别和滑轮)由 $对$ 通常表示 $对_*$ 而不是 $第页^*$ .

然而值得注意的是，在几何动机的例子中也会出现相反的观点。例如

如果 $C类$ 是离散范畴关于光滑空间和 $D=U（1）$ 是光滑空间上的离散范畴 $X（X）$ 作为Lie组的基础 $U（1）$ ，然后是平滑函子（即函子内部到平滑空间) $F:C\至D$ 可以用平滑来识别 $U（1）$ -上的值函数 $X（X）$ ，以及由光滑函子诱导的这些函子范畴上的函子 $p:C\到C'$ 与我们熟悉的拉回功能；
在更高程度上类似：如果 $C=P_1（X）$ 是光滑空间的光滑路径广群 $D=\mathbf{B}U（1）$ 光滑的组 $U（1）$ 被视为一个物体李广群，然后是光滑函子 $C\到D$ 对应于平滑1-形式 $\在\欧米茄^1（X）中$ 在 $X（X）$ ，并使用平滑函子进行预合成 $p:p_1（X）至p_1$ 对应于熟悉的概念拉回1-形式。

这意味着Kan扩展在几何上是否对应于前推或后推取决于领域类别的方式（协变或逆变） $C类$ , $C’$ 用几何图元标识。

工具书类

最初的定义是由于丹尼尔·菅直人，在同样定义伴随函子和限制:

丹尼尔·菅直人,伴随函子《美国数学学会学报》87:2（1958），294–294(doi:10.1090/S/20002-9947-1958-0131451-0).

教科书来源包括

弗朗西斯·博尔塞克斯，第3.7节范畴代数手册我
Kashiwara和Shapira，2.3英寸截面类别和滑轮

这本书

桑德斯·麦克莱恩,职业数学家的类别

对Kan扩展有一个著名的处理方法：“Kan扩展的概念包含了范畴理论中的所有其他基本概念”。当然，范畴理论的许多其他基本概念也可以被视为包含所有其他概念。

着眼于应用的课堂讲稿同伦理论包括

艾米丽·里尔，第1章：范畴同伦理论，剑桥大学出版社（2014）[doi:10.1017/CBO9781107261457,pdf格式]

对于上下文中的Kan扩展丰富范畴理论看见

爱德华多·杜布克,丰富范畴理论中的Kan扩张《数学课堂讲稿》，第145卷，施普林格-弗拉格出版社，纽约柏林，1970年xvi+173页。

和第4章

马克斯·凯利,丰富范畴理论的基本概念,
剑桥大学出版社，数学课堂讲稿64，1982年，再版于：《范畴理论与应用的再版》，第10期（2005），第1-136页(塔克：tr10,pdf格式)

这个（∞，1）范畴理论概念在第4.3节中进行了讨论

雅各布·卢里,高等拓扑理论

Kan扩展在研究代数理论上的代数看见

保罗·安德烈·梅利埃和尼古拉斯·塔巴鲁,作为Kan扩张计算的T-代数理论的自由模型(网状物)

在中讨论了左Kan扩张函子对某些极限的保持

弗朗西斯·博尔塞克斯、和布莱恩·代伊,关于积保Kan扩张，《澳大利亚数学学会公报》，第17卷（1977年），247-255(pdf格式)
Panagis Karazeris、Grigoris Protsonis、，保持有限积的左Kan扩张, (pdf格式)

扩展的一般概念1-形态在里面2类在中进行了讨论

约翰·格雷，2类的拟Kan扩张，公牛。阿默尔。数学。社会学80:1（1974）142-147pdf格式
史蒂夫·莱克,2类伴侣，英寸约翰·贝兹,彼得·梅,走向更高类别施普林格，（2009）(arXiv:数学/0702535)
罗斯街,双类别中的逐点扩展和草图,arXiv:1409.6427
西尔普·罗尔德·库登堡，代数加权结肠炎,arXiv公司

关于伪函子的（二维）（逐点）双Kan扩张的概念，请参见

费尔南多·卢卡泰利·努斯,关于双共轭三角形，节气门执行器控制31-9
费尔南多·卢卡泰利·努斯,伪Kan扩张与下降理论，节气门执行器控制33-15

及其在（二维）理论中的应用平面函子可以在中看到

M.E.Descotte、E.J.Dubuc、M.Szyld、，关于平面2-函子的概念,高级数学，arXiv：1610.09429

有关将左Kan扩展作为“部分结肠炎”的处理，请参见

保罗·佩罗内,沃尔特·托伦,Kan扩展是部分结肠炎，应用分类结构，2022。(arXiv:2101.04531)

上次修订时间：2023年5月9日10:52:14。请参阅历史获取所有贡献的列表。