n实验室KK理论

上下文

指数理论

上同调

算子代数

功能分析

非交换几何

动机上同调

KK理论是一个“二变的“联合概括算子K理论和K同源性：用于 $A、 B类$ 二C*-代数，的KK-组 $KK（A、B）$ 是天然的同伦等价类属于 $（A、B）$ -希尔伯特双模配备了额外的左弱电Fredholm模块结构。这些KK集团 $KK（A、B）$ 在第一个参数中表现为K同源性属于 $A类$ 第二个是K-上同调/算子K理论属于 $B类$ .

抽象地说，KK-理论是一种加性类别属于C*-代数哪一个是分开的-准确的和同伦-不变量本地化属于C*藻类在紧凑运算符因此，抽象地说，KK理论是非交换拓扑，但其标准呈现方式为弗雷多姆-希尔伯特双模如上所述植根于功能性的分析此本地化过程的一个微小变体称为E-理论.

由于此联合根功能分析和(非对易的)上同调/同伦理论(“非对易稳定同伦理论“），KK理论是指数理论，用于椭圆算子在光滑流形以及它们的泛化等变的情况，到叶理一般来说李广群-理论（通过他们的群体卷积C*-代数)和非交换几何.

作为这种情况的特例，量化化身为前推几何量化已被认为自然会继续指数理论在KK理论中(兰德斯曼03,博斯07). 也包括D膜和他们的Chan-Paton捆绑包在里面扭曲K理论具有RR-增压在里面弦理论自然地被以下两者之间的耦合捕获K同源性和K-上同调在KK理论中（例如。沙波08).

定义

我们首先声明 $KK公司$ -就以下方面而言的组等价类属于弗雷德霍姆-希尔伯特C*-双模块在里面

就Fredholm Hilbert C-星型双星而言

然后我们陈述摘要分类理论的特征化依据本地化在里面

通用类别理论表征.

等价且明确同伦理论与标准类似的特性同伦范畴 Ho（顶部）在中

根据星自同伦类.

就Fredholm-Hilbert而言 $C^\ast（最后一个）$ -双模块

定义

在以下所有情况中，“ $C^\ast（最后一个）$ -代数”是指可分离的 C*-代数.我们写作C*藻类用于类别谁的物体是可分离的 $C^\ast（最后一个）$ -代数及其态射是 $\ast公司$ -同态在这些之间。

例子

我们写作

$\数学{B}\coloneqq\mathcal{B}（H）$ 对于 $C^\ast（最后一个）$ -代数有界运算符关于复无穷维可分希尔伯特空间;
$\mathcal{K}\coloneqq\mathcal{K}（H）\hookrightarrow\mathcal{B}（H）$ 对于紧凑运算符.

定义

对于 $B\英寸$ C*藻类，一个Hilbert C*-模块结束 $B类$ 是

一复杂的向量空间 $\数学{H}$ ;
配备有C*-表示属于 $B类$ 从右边；
配备有等平衡图（第二个参数为线性）

$\langle-，-\rangle\colon\mathcal｛H｝\times\mathcal｛H｝\到B$

（该 $B类$ -有价值的内积)

这样的话

$\兰格-，-\兰格$ 行为确实像一个积极的内部产品 $B类$ :
1. $\langle x，y\rangle^\ast=\langle y，x\rangle$
2. $\兰格x，x\rangle\geq 0$ （在意义上积极因素在里面 $B类$ )
3. $\langle x，x\rangle=0$ 准确地说，如果 $x=0$ ;
4. $\langle x，y\cdot b\langle=\langle x，y\langle\cdot b$
$H（H）$ 是完成关于规范:

${\Vert x\Vert_H}\coloneqq{\Vert\langle x，x\rangle\Vert_B}$ .

定义

对于 $A、在C^\ast Alg中$ 一个 $（A、B）$ -希尔伯特C*-双模是一个 $B类$ -Hilbert C*-模块，定义。 $（\mathcal{H}，\langle\rangle）$ 配备有C星表示属于 $A类$ 从左边这样 $a中的\$ 在 $B类$ -有价值的内部产品，意味着

\langle a ^\ast\cdot x，y\rangle=\langle x，a y\range语言\,.

定义

对于 $A、 B\英寸$ C*藻类,卡斯帕罗夫 $（A、B）$ -双模是一个 $\马特布{Z} _2$ -分级 $（A、B）$ -希尔伯特双模 $\数学{H}，语言-，-\语言$ ，定义。，配备有一个相邻的奇点有界算子 $F\in\mathcal公司{B} _B（_B）（\mathcal{H}）$ 这样的话

$（F^2-1）\pi（a）\in\mathcal{K} _B（_B）（\mathcal{H}）$
$[F，\pi（a）]\in\mathcal中{K} _B（_B）（\mathcal{H}）$
$（F-F^\ast）\pi（a）\in\mathcal{K} _B（_B）（\mathcal{H}）$

为所有人 $a中的\$ ,

因此 $F类$ 平方到恒等式，使用乘法运算符进行交换，并且是自共轭的高达紧凑运算符.

例如(Blackadar 99，第144页).

例子

对于 $B=\mathbb{C}$ 卡斯帕罗夫 $（A、B）$ -双模相当于 $A类$ -Fredholm模块对于本质上的自伴随Fredholm操作员

定义

A类同伦两个卡斯帕罗夫之间 $（A、B）$ -双模块是一个 $（A，C（[0,1]，B））$ -在两者之间插入的双模块。

(…)

定义

写入 $KK（A、B）$ 对于一组等价类卡斯帕罗夫 $（A、B）$ -同伦下的双模，def。.

提议

$KK（A，B）$ 自然是阿贝尔群在下面直接和双模和算子。

提议

有一个合成操作

KK（A，B）\乘以KK（B，C）\到KK（A，C）

这样（…）。这称为卡斯帕罗夫产品.

卡斯帕罗夫产品定义的简化版本在(斯坎达利斯84).

备注

从E-理论卡斯帕罗夫积等价于完全正同伦类的构成渐近C*-同态。请参阅E-理论了解更多信息。

备注

另一方面，至少在 $C^\ast（最后一个）$ -代数是函数代数在光滑流形 $A_i=C（X_i）$ ，KK-类由信件 $X_1\左箭头Z\至X_2$ 卡斯帕罗夫产品是由纤维制品-信函的合成操作(Connes-Skandalis 84，定理3.2,Weinberger 99区块，第3段).

通用类别理论表征

提议

卡斯帕罗夫产品定义。，是相联的因此，在卡斯帕罗夫产品下

KK（-，-）\；\冒号\；C^\ast Alg\times C^\ast Alg\to C^\asp Alg

是人-叛徒的加性类别.

(Higson 87，定理4.1)

类别 $KK公司$ 是一种本地化属于C-星代数:

定理

正则函子

Q\colon C^\ast Alg\to KK公司

展览 $KK公司$ 作为普遍范畴从接收函子C*-代数这样的话

$KK公司$ 是一个加性类别;
$问$ 同伦不变量；
$问$ 反转这个张量积使用C*-代数属于紧凑运算符

（对于所有人 $C^\ast（最后一个）$ -形式的同态 $id \otimes e \langle e，-\rangle\；\冒号A\；\到A\otimes\mathcal{K}$ 态射 $Q（标识语言）$ 是一个同构).
$问$ 保存分裂短精确序列.

这是由于(Higson 87，定理4.5). 对等变情况的推广是由于(汤姆森98).

备注

这里的定位条件类似于定义稳定（∞，1）-范畴到非交换动机有关更多信息，请参阅参考资料在下面.

推论

最小值C-星代数的张量积

\otimes\colon C^\ast Alg\times C^\asp Alg\to C^\ast Alg

唯一扩展到张量积 $\奥蒂梅斯{KK}$ 在 $KK公司$ 这样就有了交换图属于仿函数

\阵列{C^\ast Alg\times C^\ast Alg&\stackrel｛Q\times Q｝｛\to｝和KK\\\向下箭头^{\mathrlap{\otimes}}&&\downarrow^{\athrlap}\otimess_{KK}}\\C^\ast Alg&\stackrel{Q}{\to}&KK}\,.

(Higson 87，定理4.8)

有关更明确地介绍这一点的更多讨论本地化获取KK理论的过程参见C*-代数上的同伦结构以及算子代数的模型结构.

根据同伦类 $\ast公司$ -同态

定理（Cuntz）

如果 $A、 B类$ 是C-星代数具有 $A类$ 可分离和 $B类$ $\西格玛$ -那么是unital

KK（A，B）\simeq[q A，B\otimes\mathcal{K}]\,,

哪里

$问题A$ 是内核的共对角线的 $从A到A$ ,
$\数学{K}$ 是 $C^\ast（最后一个）$ -的代数紧凑运算符.
$[-,-]$ 是一组同伦等价类属于 $\ast公司$ -同态.

（在中审查(约阿希姆·约翰逊07)).

根据群胚的对应/跨度

至少在某种程度上，KK-等级介于C*-代数属于连续函数在流形/空间上，可能更普遍地在群体卷积代数可以用某些等价类属于跨度/信件

X\左箭头（Z，E）\到Y

这样的空格.

参见相应的参考如下.

这样的描述是通过对信件让人联想到主上同调。请参阅在下面。有关更多信息，请参阅位于的指针激励量化.

(…)

配备有cocycle的等变对应的类别： $\帽子F_{\mathcal{G}}^\ast$ （定理2.26）；
特别针对K-理论循环： $\宽海特{KK}_{\mathcal{G}}^\ast$ （第27页第4节）
定理证明4.2中与KK对应的拉力，第27页底部

(…)

作为非对易拓扑中动机的模拟

在某种程度上KK理论/E理论看起来像是非交换拓扑中的内容代数几何是的类别动机. (康奈斯·康萨尼·马尔科利05). (迈耶06).

特别是跨度/对应性方面的表征在上面让人联想到纯粹动机，请参见以下参考：在通信方面.双变量之间的关系代数K理论和主上同调在中进行了讨论(Garkusha-Panin 11号).

一个通用函子从KK理论到非交换动机

KK\右箭头NCC_{dg}

在中给出(马汉塔13). 这将发送一个C*-代数到dg-类别属于完全配合物超过（统一化）其基础结合代数.

等变KK理论

几乎所有的KK理论都概括为等变上同调其中所有代数和模都配有行动给定的拓扑群或者更一般地说拓扑广群 $\数学{G}$ ，所有操作员都适合不变量/等变的在此操作下。请参阅等变KK理论了解更多信息。

这个Baum-Connes猜想和格林-朱尔定理断言在某些条件下 $\数学{G}$ -等变KK理论等价于群体卷积代数对应的动作群。请参阅格林-朱尔定理了解详细信息。

示例

基本示例

例子

对于 $f\冒号A\至B$ 一同态属于 $\马特布{Z} _2$ 分次C*-代数，采取 $B类$ 作为一项权利希尔伯特模块并用左边的装备行动属于 $A类$ 诱发因素 $（f）$ 。这使它成为希尔伯特双模。与0一起使用-Fredholm操作员，这表示一个元素

KK（A，B）中的（B，f，0）\,.

例如(Blackadar 99，示例17.1.2 a）).

例子

对于

KK（A，B）中的（H_i，F_i）

一弗雷德霍姆 $（A _ i，B）$ -希尔伯特双模对于 ${1,2\}中的i$ ，的直接和是

KK（A_1 oplus A_2，B）中的（H_1\oplus H_2，F_1\oprus F_2）\,.

例如(Blackadar 99，示例17.1.2 c）).

典型例子

例子

让 $（X，克）$ 成为关闭光滑的黎曼流形，并让 $V_0，V_1$ 两个光滑纤维丛结束 $X$ 带有Hermitian结构(相关给一个被选中的人酉群-主束).

然后给出一个椭圆形伪微分算子

P\冒号\伽马（V_0）\至\伽马

光滑的部分它扩展到本质上单一的 Fredholm操作员在平方可积部分 $L^2（V_i）$ .

那么考虑一下 $\马特布{Z} _2$ -分级希尔伯特空间

H\coloneqq L^2（V_0）\oplus L^2

具有明显的行动 $C（X）$ （由“乘法运算符?”). 然后使用 $P（P）$ 一参数矩阵对于 $问$ ，操作员

F\coloneqq（法语）\左[\阵列{0和Q\\P&0（&0）}\右]

是一个Fredholm操作员在 $H（H）$ ，所以

\左(L^2（V_1）\oplus L^2，\左[\阵列{0和Q\\P&0（&0）}\右]\右）\在KK（C（X），\mathbb｛C｝）\,.

例子

让 $（X，克）$ 成为几乎复流形然后让 $D\冒号\上划线{\partial}+\上划线}^\ast$ 成为Dolbeault-Dirac操作员。这扩展到上的运算符

H\coloneqq L^2（\Omega^{0，\bullet}）

和

F\coloneqq\frac｛D｝｛\sqrt｛1+D^2｝｝

（由定义函数微积分)那么是一个Fredholm操作员在那上面。然后

\左(L^2（\Omega^{0，\bullet}），\裂缝{\上划线{\部分}+\上划线}\部分}^\ast}{\sqrt{1+（上划线{\partial}+\下划线{\局部}^\last）^2}}\右）\英寸KK（C（X），\mathbb{C}）\,.

属性

与算子K-上同调、K-同调、扭曲K-理论的关系

KK理论是对算子K理论，因此也是拓扑K理论，以及的K同源性和，共扭曲K理论.

对于 $A\英寸$ C*藻类我们有这个

$KK（\mathbb{C}，A）\simeq K_0（A）$

是算子K理论组 $A类$ 以0度和

$KK（C（\mathbb{R}^1），A）\simeq K_1（A）$

是算子K理论组 $A类$ 1度。（例如(导言，第20页). 如果在这里 $A=C（X）$ 是C*-代数在适当的拓扑空间 $X$ ，那么这就是拓扑K理论那个空间的

$KK（\mathbb{C}，C（X））\simeq K^0（X）$
$KK（C（\mathbb{R}），C（X））\simeq K^1（X）$ .

一般来说，如果 $A=C_r（\mathcal{希腊}_\项目符号）$ 是减少的吗广群卷积代数的李广群，然后

$KK（\mathbb{C}，C_r（\mathcal{希腊}_\项目符号））\simeq K^0（\mathcal{G}）$

是对应的K理论可微堆栈.如果此外 $c\colon\mathcal{G}\to\mathbf{B}^2U（1）$ 是一个圆2-组-主2束( $U（1）$ -束gerbe)超过 $\数学{X}$ 如果 $A=C（\mathcal{X}（X）_\子弹，c）$ 是扭曲群体卷积代数对应的中心扩展李广群，然后

$KK（\mathbb{C}，C_r（\mathcal{X}（X）_\项目符号，x））=K^0（\mathcal{x}，c）$

是对应的吗扭曲K理论(Tu，Xu，Laurent Gengoux 03).

另一方面 $A类$ 在第一个参数和第二个参数中的复数中，我们得到了

$K（A，\mathbb{C}）\simeq K^0（A）$

ar等价类 $A类$ -Fredholm模块因此K同源性属于 $A类$ .

(…)

与扩展的关系

有一个同构

$KK（A，B）\simeq扩展^1（A，B）$

到合适的一组合适的扩展属于 $A类$ 通过 $B类$ . (卡斯帕罗夫80，在中审阅宣布就职).

三角形结构和 $库克大学$ -模块结构

提议

$KK公司$ 自然是一个稳定的三角范畴.

(迈耶07,Uuye 10，定理2.29).

提议

有一个函子

\mathbb{K}（-）\；\冒号\；C^\ast Alg\to Ho（光谱）

到稳定同伦范畴这样的话

$\pi_n（\mathbb{K}）（A）\simeq K_n（A）$ ，对于所有人 $在C^\ast Alg中$ ，（因此该谱是算子K理论属于 $A类$ );
$\mathbb{K}（\mathbb{C}）$ 自然是环形谱;
$\mathb{K}（A）$ 是天生的对称的 $\mathbb{K}（\mathbb{C}）$ -模数谱
$\mathbb{K}$ 提升至lax单体函子

$\mathbb{K}\；\冒号\；C^\ast Alg\to Ho（\mathbb{K}（\mathbb{C}）Mod）$

到同伦范畴属于模谱，这又延伸到lax单体函子关于KK-类别

$\mathbb{K}\；\冒号\；KK\到Ho（\mathbb{K}（\mathbb{C}）Mod）\,.$
$\mathbb{K}$ 限制为完全忠实函子上厚子范畴的三角范畴 $KK公司$ 由生成张量单位（“引导程序类别”).

这是(DEKM 11，第3段).

备注

自 $\mathbb｛K｝$ 是一个lax单调函子尤其是它能保存双重对象和对偶态，因此Poincaré对偶代数和他们的Umkehr地图.

Künneth定理

这个厚子范畴的三角范畴 $KK公司$ 生成自张量单位被称为引导程序类别 $启动\挂钩箭头KK$ 。对于 $启动时的A\hookrightarrow KK$ 一个有那个 $KK（A、B）$ 满足Künneth定理。请参阅引导程序类别了解更多信息。

切除与E-理论的关系

定义

给定一个短精确序列属于C*-代数其中一个说 $KK公司$ 满足切除或者说它是激动的如果它保留它的精确性在中间。

例子

根据定理, $KK公司$ 兴奋结束了拆分精确序列.

提议

$KK公司$ 是兴奋的核C*-代数在第一个参数中。

这已经讨论过了(卡斯帕罗夫80，第7节), (昆茨·斯坎达利斯86).

一般来说：

提议

$KK公司$ 是兴奋的K-核C*-代数在第一个参数中。

(斯坎达利斯88)

备注

一般情况下，切除并不完全满足于 $KK公司$ 相反普遍的改进 $KK公司$ -可以构建切除下的理论。这叫做E-理论。请参阅此处了解更多信息。

庞加莱对偶与托姆同构

定义

A类C*-代数是一个庞加莱对偶代数如果是可对偶对象在中对称单体范畴 $KK公司$ 带双its对立代数.

(Brodzki-Mathai-Rosenberg-Szabo 07，定义2.1)

提议

让 $X$ 成为光滑歧管哪个是契约.然后C*-代数 $C（X）音符C_0（T^\ast X）$ 函数代数的张量积紧凑型支架在 $X$ 以及在其上余切束)同构，in $KK公司$ ，至 $\mathbb{C}$ :

d\colon C（X）\otimes C_0（T^\ast X）\stackrel{\simeq}{\to}\mathbb{C}\,.

(卡斯帕罗夫80)

推论

对于 $X$ 一契约光滑歧管，有一个自然同构(托姆同构)

K_0（C_0（T^\ast X））\西马克KK（\mathbb{C}，C_0（T^\ast X））\堆栈{KK（C，（-）\otimes C（X））}{\to}KK（C（X），C（X）\otimes C_0（T^\ast X））\欠置{\simeq}{KK（C（X），d）}{\to}KK（C（X），\mathbb{C}）\,.

有关更多讨论，请参阅庞加莱对偶代数.

KK理论中的推动

Umkehr地图在KK理论中(Brodzki Mathai Rosenberg Szabo 07，第3.3节)

如果 $A类$ , $B类$ 是Poincaré对偶代数，定义。，然后针对 $f\冒号A\至B$ 同态，对应的Umkehr地图是（合成后）对偶态射第个，共个对立代数版本：

f！\上校q（f^op）^\ast\,.

(Brodzki-Mathai-Rosenberg-Szabo 07，第14页)

有关更多信息和讨论扭曲的Umkehr地图请参见庞加莱对偶代数和Freed-Witten-Kapustin异常消除.

进一步的定理

这个Baum-Connes猜想在KK理论中自然形成。
这个诺维科夫猜想已在许多情况下使用KK理论进行了验证。（参见示例罗森博格80).
这个Atiyah-Singer指数定理在KK理论中自然形成/E理论（请参见(希格森·罗伊)).

几何上下文	通用添加剂双变量（保存拆分精确序列)	通用定位双变量（保留所有精确序列中间）	通用加法不变量	通用定位不变量
非交换代数几何	非交换动机 $Mot_{add}（添加）$	非交换动机 $电机{loc}$	代数K理论	非连通代数K-理论
非交换拓扑	KK理论	E-理论	算子K理论	…

工具书类

概述

KK理论由吉纳迪·卡斯帕罗夫在里面

吉纳迪·卡斯帕罗夫,操作员 $K（K）$ -函子与的扩张 $C^｛\ast｝$ -代数，Izv公司。阿卡德。Nauk SSSR序列。材料。44（1980），编号3，571-636，719，MR81m:58075,Zbl公司,摘要,英语doi，免费俄文原件：pdf格式

受到Brown-Douglas-Fillmore理论特别是在1977年的最后一篇文章中。

定义的一些简化出现在

乔治·斯坎达利斯,卡斯帕罗夫理论述评，J.Funct。分析。59 (1984) 337-347.

教科书帐户在

布鲁斯·布莱克达尔,算子代数的K-理论第二版，剑桥大学出版社，剑桥（1999）

介绍和调查包括

吉纳迪·卡斯帕罗夫,算子K理论及其应用：椭圆算子、群表示、高级签名 $C^\ast（最后一个）$ -扩展《ICM 1983 Warszawa会议录》，PWN-Elsevier（1984）987-1000。
奈杰尔·希格森,KK理论上的底漆.程序。交响乐。纯数学。51，第1部分，239–283。(1990) (pdf格式)
乔治·斯坎达利斯,卡斯帕罗夫双变量K理论及其应用博览会。数学。9, 193–250 (1991) (pdf幻灯片)
KK理论和E-理论简介，讲稿（里斯本，2009年）(pdf幻灯片)
希思·爱默生,R.梅耶（S.Hong作笔记），KK理论和Baum-Connes猜想，讲座算子代数和非对易几何暑期学校（2010年6月）(pdf格式)
R.梅耶,双变量K-理论中分析和拓扑如何相互作用, 2006 (pdf格式)

关于使用拟自同构的方法：

约阿希姆·坎茨詹姆斯·盖博（James Gabe）。广义同态与具有额外结构的KK(2024). (arXiv公司：2404.06840).

切除

KK理论的切除在

约阿希姆·坎茨,乔治·斯坎达利斯,KK理论中的映射锥和精确序列，J.运算子理论15（1986）163-180。
乔治·斯坎达利斯,无核概念的K-theorie，K-Theory 1（1988）549-574。

范畴理论与同伦理论

KK理论自然被理解为通用属性在里面范畴理论和中同伦理论.

那个 $KK（A、B）$ 自然被认为是“广义”的集合同态“第个，共个 $C^\ast（最后一个）$ -代数在

约阿希姆·坎茨,之间的广义同态 $C^\ast（最后一个）$ -代数与KK-理论《施普林格数学讲义》，1031（1983），31-45。数字对象标识：2007年10月10日/BFb0072109
约阿希姆·坎茨,K理论与C-代数，_施普林格数学讲义，1046（1984），55-79。

在卡斯帕罗夫产品下，这些确实是hom对象在一个类别首次发现于

奈杰尔·希格森,KK理论的特征《太平洋数学杂志》。第126卷，第2期（1987年），253-276。(欧洲CLID)

此外，该类别实现为普遍的加法和拆分精确”本地化“第个，共个 $C^\ast藻类$ 在 $C^\ast（最后一个）$ -的代数紧凑运算符.

将此语句概括为等变的KK-理论在

克劳斯·汤姆森，等变KK理论的普适性(K-理论预印本)

将KK理论描述为卫星函子的

赫维德里·伊纳萨里泽,卡斯帕罗夫双变量K-理论的普适性(pdf格式,秒)

A类三角范畴KK理论的结构在

拉尔夫迈耶,双变量K-理论的范畴方面, (arXiv:数学/0702145)
拉尔夫迈耶,Ryszard Nest公司,双变量K-理论和其他三角范畴中的同调代数(arXiv:数学/0702146)
拉尔夫迈耶,作为三角分类的KK理论，讲稿（2009）(pdf格式)

A类模型类别KK理论的实现在

迈克尔·约阿希姆,马克·约翰逊,将Kasparov的KK理论群实现为Quillen模型范畴映射的同伦类(阿西佛：0705.1971)

A类fibrant对象的类别-上的结构C*藻类以下讨论了将上述同主题图片统一起来的方法

Otgonbayar Uuye公司,同伦理论 $C^\ast（最后一个）$ -代数(arXiv:1011.2926)

更多信息请访问C*-代数上的同伦结构.

在以下背景下的进一步讨论稳定同伦理论和E-理论在中

马丁·格雷辛，非交换稳定同伦理论(arXiv:1302.4751)
斯尼格达扬·马汉塔,较高非均匀性奎伦 $K’$ -理论、KK-性及其在拓扑中的应用 $\mathbb{T}$ -二元性《几何与物理杂志》，第61卷，2011年第5期，第875-889页。(pdf格式)

的细化算子K理论到上同调光谱在中进行了讨论

乌尔里希·邦克,迈克尔·约阿希姆,斯蒂芬·斯托尔茨,分级K-理论的分类空间和谱 $C^\ast（最后一个）$ -代数，高维流形拓扑，世界科学。公开。，新泽西州River Edge，2003年，第80–102页

此结构（仅）用于本质的 $\ast公司$ -的同态C*-代数.

作为稳定的同伦范畴 $\英菲$ -类别

将KK-类别细化为光谱-富集类别( $\模拟$ 稳定（∞，1）-范畴)在中声明

迈克尔·约阿希姆,斯蒂芬·斯托尔茨,丰富了 $KK公司$ -对称谱范畴的理论数学硕士。2 (2009), 143–182 (pdf格式)

并将其推广到等变K理论几何上离散的群胚在

保罗·米切纳, $KK公司$ -理论光谱 $C^\ast（最后一个）$ -范畴与离散群胚 $C^\ast（最后一个）$ -代数(arXiv:0711.2152)

但该结构在第3页上被认为是错误的

伊沃·德尔·阿姆布罗乔,希思·爱默生,塔玛斯·坎德拉基,拉尔夫迈耶,函数等变K-理论谱和等变Lefschetz公式(arXiv公司：1104.3441)

本文反过来考虑了(本克-Joachim-Stolz 03)它给出了泛函的算子K-理论谱 $\ast公司$ -同态。

与正品相关的观察稳定（∞，1）-范畴结构可能至少E-理论在中

斯尼格达扬·马汉塔,非交换稳定同伦与半群 $C类^*$ -代数，ESI预印本2394(arXiv:1211.6576)

完全实现(等变的，甚至）KK-理论同伦范畴的稳定的 $（\infty，1）$ -类别:

乌尔里希·邦克,亚历山大·恩格尔,马库斯土地,一个马厩 $\英菲$ -等变KK理论的类别 $[$ arXiv公司：2102.13372 $]$

在诺维科夫猜想的背景下

罗森博格,C组-代数和拓扑不变量，Proc。1980年罗马尼亚内普顿会议，皮特曼（伦敦，1985年）

在Atiyah-Singer指数定理的背景下

古典主义Atiyah-Singer指数定理在中审阅算子K理论（对KK理论有一些暗示）

奈杰尔·希格森,约翰·罗,算子K理论和Atiyah-Singer指数定理讲座(2004) (pdf格式)

中相对情况的概括KK理论因此，对于纤维状指数椭圆算子在Hilbert C*-模块-光纤束在中

乔迪·特劳特，上的渐近形态和椭圆算子 $C^\ast（最后一个）$ -代数《K理论》，18（1999）277-315(arXiv:math/9906098)

卷积代数与In几何量子化

讨论KK理论，着眼于C星表示属于群体卷积代数在…的背景下几何量化通过向前推在中

克拉斯·兰德斯曼,作为函子的量子化(arXiv:math-ph/0107023)
克拉斯·兰德斯曼,函数量子化与Guillemin-Sternberg猜想，程序。比亚沃维耶扎2002(arXiv:math-ph/0307059)
流氓博斯,几何量子化中的群群博士论文（2007）(pdf格式)

中包含摘要/说明

克拉斯·兰德斯曼,量化的功能性：一种KK理论方法2010年10月，达特茅斯学院ECOAS演讲(网状物)

另请参阅上的相关参考资料Guillemin-Sternberg几何量化猜想.

扭曲卷积代数的KK理论及其与扭曲K理论属于可微堆栈在中进行了讨论

让-路易·图,徐萍（Ping Xu）,Camille Laurent-Gengoux公司,可微堆栈的扭曲K理论(arXiv:数学/0306138)

广群1的讨论-自行车以及它们对广群代数KK理论在

Bram Mesland，群胞与K-理论(arXiv:1005.3677)

就通信/跨度而言

对于普通KK理论

KK-等级介于函数代数在光滑流形按以下方面描述等价类属于通信带有向量束第3节

阿兰·孔涅,乔治·斯坎达利斯,叶理的纵向指数定理，出版物。Res.Inst.数学。科学。206, 1139-1183 (1984) (pdf格式)

这概括了鲍姆-道格拉斯几何循环从K同源性KK理论。

这个的进一步推广，其中一个代数 $C（Y）$ 概括为 $C（Y）\注释A$ 对于 $A类$ 单位可分 $C^\ast（最后一个）$ -代数，见第3节：

乔纳森·布洛克,施穆尔·温伯格,正标量曲率的算术流形，J.差异几何。52，编号2375-406（1999年）。(网状物)

在第5节

杰克·布罗茨基,瓦尔盖塞·马泰,罗森博格,理查德·萨博,双变量K-理论中的非交换对应、对偶和D-膜高级Theor。数学。物理13:497-5522009(arXiv:0708.2648)

首先回顾了这一点，然后从以下方面对其进行了描述共跨属于C*-代数给出了。此版本实际上是对昆茨的描述复制于(Blackadar 99，推论17.8.4).

有关类似结构，请参见动机在节中与双变量K理论的关系.

KK理论在跨度方面的“生成器和关系”描述见

Bernhard Burgsteller，KK理论的生成器和关系图，（2016）arXiv：1602.03034

对于等变KK理论

此类的一般化信件-演示文稿等变KK理论（因此，由格林-朱尔定理基本上符合KK理论群胚代数属于动作群属于紧拓扑群)–于年推出

希思·爱默生,拉尔夫迈耶,基于对应的双变量K理论高级数学。225 (2010), 2883-2919 (arXiv:0812.4949)

基于

希思·爱默生,拉尔夫迈耶 等变嵌入定理与拓扑指数映射高级数学。225 (2010), 2840-2882 (arXiv:0908.1465)
希思·爱默生,拉尔夫迈耶,等变卡斯帕罗夫理论中的二重性(arXiv:0711.0025)

基于向前推进结构的技术方面和等变对应的组合

保罗·鲍姆,乔纳森·布洛克,奇异空间上的等变单车C.R.学院。科学。巴黎，t.311 Serie I，1990(pdf格式)
希思·爱默生,拉尔夫迈耶,等变嵌入定理与拓扑指数映射高级数学。225 (2010), 2840-2882 (arXiv:0908.1465)

这方面的进一步发展

希思·爱默生,对偶性、对应性和等变KK理论中的Lefschetz映射：综述(arXiv：0904.4744)
希思·爱默生、罗伯特·容肯、，等变对应与Borel-Bott-Weil定理(arXiv:0905.1153)

动机与代数KK-理论的关系

KK-cocycles和动机在中明确注明

阿兰·孔涅卡特琳娜·康萨尼，玛蒂尔德·马尔柯利,非交换几何与动机：内动机的热力学(arXiv:math/0512138)
阿兰·孔涅,玛蒂尔德·马尔柯利,非交换几何、量子场和动机

并且在(迈耶06).

之间的关系主上同调和双变量代数K理论在中进行了讨论

吉列尔莫·科尔蒂尼亚斯,托姆,双变量代数K-理论J.Reine Angew著。数学。510 (2007), 71–124. (arXiv:math/0603531)
斯尼格达哈扬·马汉塔,非交换对应范畴、单纯形集和pro $C^\ast（最后一个）$ -代数(arXiv:0906.5400)
斯尼格达哈扬·马汉塔,较高非均匀性奎伦 $K’$ -理论、KK-性及其在拓扑中的应用 $\mathbb{T}$ -二元性，《几何与物理杂志》，第61卷，2011年第5期，第875-889页。(pdf格式)
格里戈里·加尔库沙伊万·帕宁，代数簇的K-动机(arXiv:1108.0375)
格里戈里·加库沙,代数卡斯帕罗夫K理论。二(arXiv:1206.0178号)

有关文献集，另请参阅

安德鲁·布隆伯格,大卫·格普纳,戈萨洛·塔布阿达,高等代数K理论的一个普遍特征(arXiv:1001.2282)

（在非交换动机).

在

斯尼格达扬·马汉塔,较高非均匀性奎伦 $K’$ -拓扑T-对偶的理论、KK-性及其应用、J.Geom。物理。，61 (5), 875-889, 2011 (pdf格式,谈话笔记)

证明了存在一个泛函子 $KK\右箭头NCC_{dg}$ 从KK理论到类别非交换动机，这是dg-类别和dg-亵渎者直到它们之间的同伦。这是通过发送C*-代数到dg-类别属于完全配合物其基础的（统一化）结合代数.

另请参阅运动量子化和物理学中的动机.

在D-膜理论中

KK理论也描述了RR场收费和中的源D膜理论。

正在进行审阅

理查德·萨博,D-膜与双变量K-理论，《非交换几何与物理》3 1（2013）：131。(arXiv:0809.3029)

基于

杰克·布罗茨基,瓦尔盖塞·马泰,罗森博格,理查德·萨博,

非交换流形上的D-Branes、RR-场和对偶、Commun。数学。物理学。277(2008) 643-706 [arXiv:hep-th/0607020,doi:10.1007/s00220-007-0396-y]

双变量K-理论中的非交换对应、对偶和D-膜高级Theor。数学。物理13:497-5522009(arXiv:0708.2648)

非对易空间上的D-膜、KK-理论和对偶《物理学杂志》。Conf.序列号。103:012004,2008 (arXiv:0709.2128)

平滑细化和谱三元组

KK理论的讨论光谱三元组在中进行了讨论

布拉姆·梅斯兰,谱三元组和KK理论：综述(arXiv:1304.3802)

上次修订时间：2024年4月12日08:04:31。请参阅历史获取所有贡献的列表。

n实验室KK理论

上下文

指数理论

定义

指数定理

高等属

上同调

特殊和一般类型

特殊概念

变体

额外结构

操作

定理

算子代数

概念

定理

状态和观察结果

算子代数

本地QFT

摄动QFT

功能分析

概述图

基本概念

定理

函数分析主题

非交换几何

拓扑结构

光滑黎曼几何

代数几何

同伦理论

与物理学的关系

动机上同调

成分

定义

相关的

目录

想法

定义

就Fredholm-Hilbert而言C *C^\ast（最后一个）-双模块

定义

例子

定义

定义

定义

例子

定义

定义

提议

提议

备注

备注

通用类别理论表征

提议

定理

备注

推论

根据同伦类*\ast公司-同态

根据群胚的对应/跨度

作为非对易拓扑中动机的模拟

等变KK理论

示例

基本示例

例子

例子

典型例子

例子

例子

属性

与算子K-上同调、K-同调、扭曲K-理论的关系

与扩展的关系

三角形结构和库克大学库克大学-模块结构

提议

提议

备注

Künneth定理

切除与E-理论的关系

定义

例子

提议

提议

就Fredholm-Hilbert而言 $C^\ast（最后一个）$ -双模块

根据同伦类 $\ast公司$ -同态

三角形结构和 $库克大学$ -模块结构

作为稳定的同伦范畴 $\英菲$ -类别