n实验室伊斯贝尔对偶

上下文

高等代数

更高的几何图形

二元性

高等几何 $\左箭头$ 伊斯贝尔对偶 $\向右箭头$ 高等代数

\开始{对齐}[C，\mathcal｛V｝]^｛op｝（\mathcal｛O｝（X），A）& :=\int_{c\在c}中\mathcal{V}（A（c），\mathcal{O}（X）（c））\\& := \int_{c\在c}\mathcal{V}中（A（c），[c^{op}，\mathcal{V}]（X，c（-，c））\\& :=\c}中的int_{c\\\&\simeq（模拟）\C}中的int_{d\int_{C}（X（d），mathcal{V}（A（C），C（d，C）））\\&=：\int_{d\inC}\mathcal{V}（X（d），[C，\mathcal{V}]^{op}（C（d，-），A））\\& =:\int_{d\inC}\mathcal{V}（X（d），规范（A）（d））\\& =:[C^{op}，\mathcal{V}]（X，规格（A））\结束{对齐}\,.

备注

在这里，除了写出或隐藏结尾之外，唯一不是定义的步骤就是中间的步骤，我们在中间使用了它 $\数学{V}$ 是一个对称的闭单体范畴.

下面的证明不使用结尾，而是需要稍加准备，但它的结构在很大程度上也具有普遍性的优点高等范畴理论.

证明B

请注意

引理1: $规格（C（C，-））\simeq C（-，C）$

因为我们有一个自然的同构

\开始{对齐}规范（C（C，-））（d）& :=[C，\mathcal{V}]（C（C，-），C（d，-））\\&\simeq（模拟）C（d，C）\结束{对齐}

由米田引理.

从这里我们得到

引理2： $[C^{op}，\mathcal{V}]（规范C（C，-），规范A）\simeq[C，\mathcal{V}]（A，C（C，-））$

按自然同构序列

\开始{对齐}[C^{op}，\mathcal{V}]（规范C（C，-），规范A）&\simeq（模拟）[C^{op}，\mathcal{V}]（C（-，C），规格A）\\&\simeq（规范A）（c）\\&：=[C，\mathcal{V}]（A，C（C，-））\结束{对齐}\,,

其中第一个是引理1，第二个是米田引理.

因为（有时被称为co-Yoneda引理)每个对象 $X\在[C^{op}，\mathcal{V}]中$ 可以写成上极限

X\simeq{\lim_\to}_i C（-，C_i）

结束代表 $C（-，C_i）$ 我们有

X\simeq{\lim_\to}_i规范（C（C_i，-））\,.

根据相同的可代表性图表，如下所示

引理3：

\数学{O}（X）\simeq{\lim_{\leftarrow}}_i C（C_i，-）

因为使用上面的colimit表示和Yoneda引理，我们就有了自然同构

\开始{对齐}\数学{O}（X）（d）&=[C^{op}，\mathcal{V}]（X，C（-，C））\\&\模拟[C^{op}，\mathcal{V}]（{lim_\to}_i C（-，C_i），C（-、C））\\&\simeq（模拟）{\lim_\leftarrow}_i[C^{op}，\mathcal{V}]（C（-，C_i），C（-、C））\\&\simeq（模拟）{\lim_\leftarrow}_i C（C_i，C）\结束{对齐}\,.

利用所有这些，我们可以通过以下自然同构序列最终获得所讨论的附加词

\开始{对齐}[C，\mathcal{V}]^{op}（\mathcal{O}（X），A）& \西马克[C，\mathcal{V}]（A，{\lim_\leftarrow}_i C（C_i，-））\\&\simeq（模拟）{\lim_{\leftarrow}}_i[C，\mathcal{V}]（A，C（C_i，-））\\&\simeq（模拟）{\lim_{\leftarrow}}_i[C^{op}，\mathcal{V}]（规范C（C_i，-），规范A）\\&\simeq（模拟）[C^{op}，\mathcal{V}]（{\lim_{to}}_i规范C（C_i，-），规范A）\\&\模拟[C^{op}，\mathcal{V}]（X，规格A）\结束{对齐}\,.

这种证明模式的优点是它在很大程度上也经历了普遍性高等范畴理论没有参考丰富范畴理论的更高概念。

备注

在某些情况下，Isbell对偶性可以扩展到 $\数学{V}$ -丰富的类别 $C类$ 例如，如果 $C类$ 有一个较小的生成子类别 $S公司$ 和一个小的热电联产子类别 $T型$ ，然后针对每个 $F： C^{op}\to\mathcal{V}$ 和 $G： C\to\mathcal{V}$ ，可以构造 $\数学{O}（F）$ 和 $规格（G）$ 中适当的对象级子对象 $\数学{V}$ 以下为：

\数学{O}（F）（c）=[c^{op}，\mathcal{V}]（F，c（-，c））\hookrightarrow\int_{s:s}\mathcal{V}（Fs，\hom（s，c）

规范（G）（c）=[c，\mathcal{V}]（G，c（c，-））\hookrightarrow\int_{t:t}\mathcal{V}（G t，\hom（c，t））

例子

在最简单的情况下，即对于普通类别 $\数学｛C｝$ ，预拱和共檐之间的附加作用如下。

的类别预升 $[\mathcal{C}^{op}，\mathrm{Set}]$ 是自由共完成属于 $\数学｛C｝$ 。这意味着任何函子

f\colon\mathcal｛C｝\到\mathcal｛D｝

到共完成类别 $\数学{D}$ 沿着Yoneda嵌入 $y\colon\mathcal{C}\ to[\mathcal{C}^{op}，\mathrm{Set}]$ 到共连续函子

F\colon[\mathcal{C}^{op}，\mathrm{Set}]\to\mathcal{D}

以一种自然同构所特有的方式。

双重的共檐 $[\mathcal{C}，\mathrm{Set}]^{op}$ 是自由完井属于 $\数学｛C｝$ 。这意味着任何函子

g\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D}

到完整类别 $\数学{D}$ 沿着co-Yoneda嵌入 $z\colon\mathcal{C}\ to[\mathcal{C}，\mathrm{Set}]^{op}$ 到连续函子

G\冒号[\mathcal{C}，\mathrm{Set}]^{op}\到\mathcal{D}

以一种自然同构所特有的方式。

我们可以应用这些思想来得到伊斯贝尔对偶中涉及的函子。预处理类别 $[\mathcal{C}^{op}，\mathrm{Set}]$ 具有所有的极限，所以我们可以将Yoneda嵌入扩展到连续函子

Y\冒号[\mathcal{C}，\mathrm{Set}]^{op}\到[\mathcal{C{^{op{，\mathrm{Set}]

从共檐到预拱。对偶，共叶范畴 $[\mathcal{C}，\mathrm{Set}]^{op}$ 具有所有大肠杆菌，所以我们可以将co-Yoneda嵌入扩展到共连续函子

Z\冒号[\mathcal{C}^{op}，\mathrm{Set}]\到[\mathcal{C{，\mathrm{Set}]^{op{

从预升到合流。

伊斯贝尔对偶说这些是伴随函子： $Y（Y）$ 是右邻接的 $Z轴$ .

属性

与Yoneda嵌入的关系

$规格$ 是左Kan扩展的Yoneda嵌入沿着逆变Yoneda嵌入，而 $\数学{O}$ 是反变体Yoneda嵌入沿着Yoneda嵌入的左Kan扩展。

这个码敏单子的Yoneda嵌入与Isbell附加诱导的单子同构， $规格\规格{O}$ (Kock 66，定理4.1和Di Liberti 19，定理2.7).

尊重限制

选择任何班 $L（左）$ 属于限制中的 $C类$ 并写入 $[C，\mathcal{V}]_\times\subset[C，\ mathcal}]$ 对于完整子范畴由那些保持这些极限的函子组成。

提议

这个 $（\mathcal{O}\dashv规范）$ -附加确实下降到这个包含，因为我们有一个附加

（\mathcal{O}\dashv规范）以下为：[C，\mathcal{V}]_{times}^{op}\stackrel{\overset{\mathcal{O}}{\leftarrow}}{\ underset{Spec}{\to}}[C^｛op｝，\数学｛V｝]

证明

因为人-叛徒s保留所有限制秒：

\开始{对齐}\数学{O}（X）（{\lim_{\leftarrow}}_jc_j）&：=[C^{op}，\mathcal{V}]（X，C（-，{\lim_{\leftarrow}}_j C_j））\\&\simeq[C^{op}，\mathcal{V}]（X，{lim_{leftarrow}}_j C（-，C_j））\\&\simeq{\lim_{\leftarrow}}_j[C^{op}，\mathcal{V}]（X，C（-，C_j））\\&=：{\lim_{\leftarrow}}_j\mathcal{O}（X）（c_j）\结束{对齐}\,.

Isbell自对偶对象

定义

一个物体 $X（X）$ 或 $A类$ 是伊斯贝尔自对偶如果

$A\stackrel{}{\to}\mathcal{O}规范（A）$ 是一个同构在里面 $[C，\mathcal{V}]$ ;
$X\符合规范\mathcal{O}X$ 是一个同构在里面 $[C^{op}，\mathcal{V}]$ 分别是。

提议

全部代表Isbell是自对偶的。

证明

由证明B，引理1我们有一个自然同构中的 $c \以c表示$

规范（C（C，-））\simeq C（-，C）\,.

因此我们也有自然同构

\开始{对齐}\mathcal{O}规范C（C，-）（d）&\simeq（模拟）\数学{O}C（-，C）（d）\\& :=[C^{op}，\mathcal{V}]（C（-，C），C（-、d））\\&\simeq（模拟）C（C，d）\结束{对齐}\,,

其中第二步是米田引理类似地，情况正好相反。

伊斯贝尔信封

请参见伊斯贝尔信封.

自反完成

请参见自反完成.

示例和类似二重性

伊斯贝尔二元性是许多其他事物的模板空间/代数-二元性在里面数学.

功能 $T型$ -预升代数

让 $\数学{V}$ 是任何笛卡尔闭范畴.

让 $C:=温度$ 成为句法范畴的 $\数学{V}$ -浓缩的劳维尔理论，这是一个 $\数学{V}$ -有限范畴产品这样，所有对象都是在产品下从单个对象生成的 $1$ .

然后写 $T Alg:=[C，\mathcal{V}]_\次$ 对于积保函子的范畴： $T型$ -代数。这是典型的健忘函子

U_T:T算法{V}:A\mapsto A（1）

写入

F_T:T^{op}\hookrightarrow T算法

对于Yoneda嵌入.

定义

呼叫

\马特布{A} _T（_T）：=规范（F_T（1））\在[C^{op}，\mathcal{V}]中

这个 $T型$ -线条对象.

观察

对于所有人 $X\在[C^{op}，\mathcal{V}]中$ 我们有

\数学｛O｝（X）\simeq[C^{op}，\mathcal{V}]（X，规格（F_T（-）））\,.

特别地

U_T（\mathcal{O}（X））\simeq[C^{op}，\mathcal{V}]（X，\mathbb{A} _T（_T）)\,.

证明

我们有自然的同构 $k\单位：T$

\开始{对齐}[C^｛op｝，\mathcal｛V｝]（X，规范（F_T（k）））&\simeq（模拟）T Alg（F_T（k），\mathcal{O}（X））\\&\simeq（模拟）\数学{O}（X）（k）\结束{对齐}

通过上述附加词，然后通过米田引理.

所有这些都概括为以下情况：

而不是设置 $C:=温度$ 让我们更笼统地说

T\子集C\子集T Alg^{op}

成为小的完整子类别属于 $T型$ -代数，包含所有自由 $T型$ -代数。

那么 $\mathcal{O}\dashv规范$ 不再有意义，但就线对象而言，仍然有意义

提议

设置

规格A:B\mapsto T Alg（A，B）

和

\数学{O}（X）：k\mapsto[C^{op}，\mathcal{V}]（X，规格（F_T（k）））\,.

那么我们还有一个附属品

（\mathcal{O}\dashv规范）以下为：T算法^｛op｝\stackrel{\overset{\mathcal{O}}{\leftarrow}}{\ underset{Spec}{\to}}[C^{op}，\mathcal{V}]\,.

证明

\开始{对齐}Alg^{op}（\mathcal{O}（X），A）& :=\int_{k\在T}中\mathcal{V}（A（k），\mathcal{O}（X）（k））\\& := \int_{k\在T}中\mathcal{V}（A（k），[C^{op}，\mathcal{V}]（X，规范（F_T（k）））\\&：=\ int_{k\在T}\int_{B\在C}中\mathcal{V}（A（k），\mathcal{V}（X（B），T Alg（F_T（k）、B））\\&T}中的\ simeq\int_{k\在C}中\mathcal{V}（A（k），\mathcal{V}（X（B），B（k）））\\&T}中的\ simeq\int_{k\在C}中\mathcal{V}（X（B），\mathcal{V}（A（k），B（k）））\\&=：在C}中的int_{B\ mathcal{V}（X（B），T Alg（A，B））\\& =:\int_{B\inC}\mathcal{V}（X（B），规范（A）（B））\\&=：[C^{op}，集合]（X，规格（A））\结束{对齐}\,.

非定义的第一步是米田引理之后的步骤是 $\数学{V}$ .

功能 $k个$ -导代数 $\英菲$ -烟囱

我们的结构证明B以上内容在更高范畴理论中得到了体现。

根据派生堆栈s超过（∞，1）-范畴属于dg-代数s、这基本上就是出现的论点第23页第页，共页(本·兹维纳德勒).

功能 $T型$ -上的代数 $\英菲$ -烟囱

目前请参阅∞堆栈上的函数代数.

代数堆栈上的函数2-代数

看见几何堆栈的Tannaka对偶

盖尔芬德对偶

Gelfand对偶是范畴的等价性在（非均匀）交换之间C*-代数和(本地)紧拓扑空间。有关详细信息，请参阅此处。

Serre-Swan定理

这个Serre-Swan定理说那很合适模块在可交换的上C*-代数是等效的模块部分属于纤维丛超过Gelfand-对偶拓扑空间。

相关概念

二元性 $\;$ 代数和几何学

$\幻影{A}$ 几何学 $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ 类别 $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ 双重类别 $\幻影｛A｝$	$\幻影{A}$ 代数 $\幻影{A}$
$\幻影{A}$ 拓扑结构 $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ $\幻影{NC}顶部空间_{H，cpt}$ $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ $\重叠{\text{<a href=“https://ncatlab.org/nlab/show/Gelfand-Kolmogorov网站+定理“>Gelfand-Kolmogorov</a>}}{\hookrightarrow}Alg^{操作}_{\mathbb{R}}$ $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ 交换代数 $\幻影{A}$
$\幻影{A}$ 拓扑结构 $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ $\幻影{NC}顶部空间_{H，cpt}$ $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ $\覆盖{\text{<a class=“existingWikiWord”href=“https://ncatlab.org/nlab/show/Gelfand+二元性“>Gelfand二元性</a>}}{\simeq}TopAlg^{操作}_{C^\ast，comm}$ $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ 通信C-星代数 $\幻影{A}$
$\幻影{A}$ 不符合。拓扑结构 $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ $NCTopSpaces_{H，cpt}$ $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ $\重叠{\phantom{\text{Gelfand对偶}}{\coloneqq}TopAlg^{操作}_{C^\ast}$ $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ 一般的C-星代数 $\幻影{A}$
$\幻影{A}$ 代数几何 $\幻影{A}$	$\幻影｛A｝$ $\幻影{NC}方案_{事务}$ $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ $\过度设置｛\text｛<a href=“https://ncatlab.org/nlab/show/affine网站+scheme#AffineSchemesFullSubcategoryOfOppositeOfRings“>几乎按定义</a>}}{\hookrightarrow}\phantom{顶部}藻类^{操作}_{翅片}$ $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ 翅片。消息。 $\幻影{A}$ $\幻影{A}$ 交换代数 $\幻影｛A｝$
$\幻影{A}$ 不符合。代数的 $\幻影{A}$ $\幻影{A}$ 几何学 $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ $NC方案{Aff}$ $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ $\超集｛\phantom｛\text｛Gelfand对偶｝｝｝｝｝｛\coloneqq｝\phantom{顶部}藻类^{操作}_{翅片，红色}$ $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ 翅片。消息。 $\幻影{A}$ 结合代数 $\幻影{A}$ $\幻影｛A｝$
$\幻影{A}$ 微分几何 $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ $平滑歧管$ $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ $\重叠{\text{<a href=“https://ncatlab.org/nlab/show/embeding++光滑+流形+到+形式+对偶+到+R-代数“>Milnor的练习</a>}}{\hookrightarrow}\phantom{顶部}藻类^{操作}_{通信}$ $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ 交换代数 $\幻影{A}$
$\幻影{A}$ 超几何 $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ $\数组{SuperSpaces_{Cart}\\\\mathbb{R}^{n\vertq}}$ $\幻影｛A｝$	$\幻影{A}$ $\数组{\overset{\phantom{\text{Milnor的练习}}}{\hookrightarrow}&Alg^{操作}_{\mathbb{Z} _2\幻影{AAAA}}\\mapsto&C^\infty（\mathbb{R}^n）\times\wedge^\bullet\mathbb}R}^q}$ $\幻影｛A｝$	$\幻影{A}$ 超交换的 $\幻影{A}$ $\幻影{A}$ 超代数 $\幻影{A}$
$\幻影{A}$ 正式的更高 $\幻影{A}$ $\幻影{A}$ 超几何 $\幻影{A}$ $\幻影{A}$ (超级谎言理论) $\幻影{A}$	$\幻影{A}\array{Super L_\infty Alg_{fin}\\mathfrak{g}}\phantom{A}$	$\幻影{A}\array{\overset{\phantom{A}\text{<A href=“https://ncatlab.org/nlab/show/L-无穷代数#ReformationInTermsOfSemifreeDGAlgebra“>Lada-Markl</a>}\phantom{a}}{\hookrightarrow}&sdgcAlg^{op}\\mapsto&CE（\mathfrak{g}）}\phant{a}$	$\幻影{A}$ 微分分级交换 $\幻影{A}$ $\幻影｛A｝$ 超代数 $\幻影{A}$ (“外国存托凭证”)

在里面物理学以下为：

$\幻影{A}$ 代数 $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ 几何学 $\幻影{A}$
$\幻影｛A｝$ 泊松代数 $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ 泊松流形 $\幻影{A}$
$\幻影{A}$ 形變量子化 $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ 几何量化 $\幻影{A}$
$\幻影{A}$ 可观测代数	$\幻影｛A｝$ 状态空间 $\幻影{A}$
$\幻影{A}$ 海森堡图片	$\幻影{A}$ 薛定谔图片 $\幻影{A}$
$\幻影{A}$ AQFT公司 $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ FQFT公司 $\幻影{A}$

$\幻影{A}$ 高等代数 $\幻影｛A｝$	$\幻影{A}$ 高等几何 $\幻影{A}$
$\幻影{A}$ 泊松n-代数 $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ n-plectic流形 $\幻影{A}$
$\幻影｛A｝$ En-代数 $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ 高辛几何 $\幻影{A}$
$\幻影{A}$ BD公司-BV量化 $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ 高几何量化 $\幻影{A}$
$\幻影{A}$ 可观测度的因子分解代数 $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ 扩展量子场论 $\幻影{A}$
$\幻影{A}$ 因子分解同源性 $\幻影{A}$	$\幻影{A}$ 配体表示 $\幻影{A}$

工具书类

关于Isbell二元性和伊斯贝尔信封是

伊斯贝尔,类别的结构，美国数学学会公报72(1966), 619-655. [欧几里得：1183528163,ams:1966-72-04/S0002-9904-1966-11541-0]
伊斯贝尔,类别的正常完成《中西部品类研讨会报告》，47，施普林格（1967）110-155[doi:10.1007/BFb0074302]
安德斯·科克.一个小类别的Yoneda连续表示丹麦奥胡斯大学，1966年。(pdf格式)

n实验室伊斯贝尔对偶

上下文

高等代数

代数理论

代数和模

高等代数

模型类别演示

代数形式对偶上的几何

定理

更高的几何图形

二元性

目录

想法

定义

提议

备注

证据A

备注

证明B

备注

例子

属性

与Yoneda嵌入的关系

尊重限制

提议

证明

Isbell自对偶对象

定义

提议

证明

伊斯贝尔信封

自反完成

示例和类似二重性

功能T型T型-预升代数

定义

观察

证明

提议

证明

功能k个k个-导代数∞\英菲-烟囱

功能T型T型-上的代数∞\英菲-烟囱

代数堆栈上的函数2-代数

盖尔芬德对偶

Serre-Swan定理

相关概念

工具书类

功能 $T型$ -预升代数

功能 $k个$ -导代数 $\英菲$ -烟囱

功能 $T型$ -上的代数 $\英菲$ -烟囱