n实验室海廷代数

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地形理论

$(0,1)$ -范畴理论

Heyting代数的定义可以重新定义为等式形式：在格的方程理论中加入不等式 $（x\向右箭头y）\楔形x\leq y$ 和 $y\leq x\右箭头（y\楔形x）$ ，通过等价性以等式形式写出这些不等式 $阿列克b$ 若（iff） $a=楔块b$ 因此，我们可以说内部的海廷代数在任何产品类别.

定义

海廷代数同态是底层的同态晶格是保存的 $\向右箭头$ Heyting代数及其同态构成了一个混凝土类别 HeytAlg公司.

如果放松要求 $\勒克$ 是反对称的，以便代替偏序集 $L（左）$ 只是一个预先订购，结果是Heyting前代数.

属性

提议

任何Heyting代数都是分配格也就是说，有限集合分布在有限联接上，反之亦然。

证明

如上所述分配格，证明两个（对偶）二进制分配律中任一个的非平凡方向就足够了，例如。 $x\wedge（y\vee z）\leq（x\weedge y）\vee（x\widge z）$ 。这很简单运动应用通用属性(1).

更抽象地说：分配定律 $x\wedge（y\vee z）=（x\wecket y）\vee（x\widge z）$ 正是这样说的 $x\楔形{-}$ 保留二进制联接，因为它有一个右伴随（即 $x\右箭头｛-｝$ )因此保留所有腹痛.

的关系桥式起重机立即从(1)：对于任何 $a、 b条$ 在Heyting代数中，

(2)

a \楔形（a \向右箭头b）\ leq b

我们列出了一些经常有用的进一步基本事实，包括以下证据：

提议

对于任何 $a、 b、c$ 在任何Heyting代数中：

构成法则： $（a \右箭头b）\楔形（b \右箭头c）\leq a\右箭头c$ .
货币兑换： $a\楔形b\右箭头c=a\右箭头（b\右箭头c）$ .
$a\右箭头{-}$ 是单调的： $a\右箭头b\leq a\Rightarrow c$ 如果 $b\leq c公司$ .
$a\右箭头{-}$ 正在增加： $b\leq a\右箭头b$ .
$a\右箭头{-}$ 是幂等的： $a\Rightarrow（a\Riightarrow b）=a\Right arrow b$ .
${-}\Rightarrow右箭头$ 是锑色调： $c\右箭头a\leq b\Rightarrow a$ 如果 $b\leq c公司$ .
${-}\Rightarrow右箭头$ 是自共轭的： ${-}\右箭头a:L\右箭头L^{\mathrm{op}}$ 是的左伴随 ${-}\右箭头a:L^{\mathrm{op}}\Rightarrow L$ .

明确地， $b\leq（c\右箭头a）$ 只是如果 $（b\右箭头a）\leq^{\mathrm{op}}c$ ，即如果 $c\leq（b\右箭头a）$ .
$（{-}\Rightarrow a）\Right箭头a$ 正在增加： $b\leq公司（b\右箭头a）\右箭头$ .
$（｛-｝\Rightarrow a）\Rightarrow a（右箭头a）$ 是幂等的： $（b\右箭头a）\右箭头=（（（b\Rightarrow a）\Rightarrow a$ .

证明

每个都是使用通用属性的简短练习(1)和ponens方法(2).

这些事实中的大多数可以更抽象地打包，如下所示：

提议

在任何Heyting代数中 $H（H）$ ，对于任何元素 $a \英寸H$ :

$a\右箭头{-}$ 是一个单子.
$（{-}\Rightarrow a）\Right箭头a$ 是一个单子。

证明

偏序集中的单子（或预先订购，又名（0,1）-类别)像 $H（H）$ 只是一个单调、递增的幂等函数。

来自命题这直接描述了这两者 $a\右箭头{-}$ 和 $（{-}\Rightarrow a）\Right箭头a$ .

否定

在任何Heyting代数中 $H（H）$ ，我们可以定义一个否定操作员：

定义

这个否定操作人员 $\否定\冒号H^{op}\到H$ 是 $\负x=（x\右箭头0）$ ，其中 $0$ 是晶格的底部元素。

推论

$\neg\ neg\冒号H\至H$ 是一个单子.

证明

立即从.

我们进一步收集了一些经常有用的事实：

提议

在任何Heyting代数中 $H（H）$ ，我们有以下所有 $x、 y\单位H$ :

负电是锑酮： $\负y\leq\neg x$ 如果 $x \leq y（x \leqy）$ .
货币兑换： $\neg（x\wedge y）=（x\Rightarrow\neg y）$ .
三重否定就是否定： $\neg\neg\neg x=\neg x$ .
矛盾证明： $x\leq\否定$ 只是如果 $x\楔形y\leq 0$ .
德摩根定律对于析取的否定：

$\neg（x\vee y）=\neg x\wedge\neg y$ .
单向德摩根（De Morgan）关于否定优先于连词的定律： $\neg x\vee\neg y\leq\neg（x\wedge y）$ .
$x\楔形\neg x=0$
$\neg\neg（x\vee\neg x）=1$ （相当于， $\负（x\vee\neg x）=0$ )
$\负x\vee y\leq x\Rightarrow y$
(3) $\neg（x\Rightarrow y）=\neg\neg x\wedge\neg y$

证明

每个都是短的运动使用通用属性(1)，命题以及列表中前面的属性。

中的几个事实常见命题恒等式的弱化经典逻辑:

Heyting代数，其中剩余的德摩根法律 $\neg（x\wedge y）=\neg x\vee\neg y$ holds正好是一个德摩根-海廷代数.
满足以下任何（等价）条件的Heyting代数正是布尔代数:
- $\对于所有x；\负x=x$
- $\对于所有x；x\vee\neg x=1$
- $\对于所有x，y；x\向右箭头y=\neg x\vee y$
这也意味着德摩根法律。

双重否定

双重否定图 $\neg\ neg\冒号H\至H$ 关于Heyting代数 $H（H）$ 通常是相关的，尤其是在关系中用布尔代数.我们看到了那个 $\阴性\阴性$ 是一个单子。进一步：

引理

双重否定 $\neg\ neg\冒号L\至L$ 保存有限的，有限的满足.

证明

Nullary meet是微不足道的： $\负1=负0=1$ 对于二进制相遇，方向 $\neg\neg（x\wedge y）\leq（\neg\neg x）\ wedge（\neg\neg y）$ 持有只是因为 $\阴性\阴性$ 是单调的。

在另一个方向，我们显示 $（\neg\neg x）\楔形（\neg/neg y）\leq\neg\neg（x\wedge y）$ 通过咖喱（每个) $\负（x\楔形y）$ 计算：

\开始{对齐}（\neg\neg x）\wedge（\neg/neg y）\weedge\neg（x\wedget y）& =（\neg\neg x）\wedge（\neg y\Rightarrow 0）\weedge（x\Rightarrow\neg y）\\&\列克（\neg\neg x）\楔形（x\右箭头0）\\& =（\neg x \右箭头0）\楔形\ neg x\\&\勒克0\结束{对齐}

其中两个不等式来自组合（命题)和ponens方法(2).

以下引理对双重否定翻译.

引理

双重否定 $\neg\ neg\冒号L\至L$ 保存含义: $\neg\neg（a\右箭头b）=（\neg\neg a\右箭头\neg\ neg b）$ .

证明

应用(3)和咖喱（作者)，我们有

\neg\neg（a\右箭头b）=\neg（（\neg\neg a）\楔形（\neg b））=（\neg\neg a\右箭头（\neg b\右箭头0））=（\neg\neg a\右箭头\neg\ neg b）\; .

与其他概念的关系

到地形

安基本地形是一个垂直分类Heyting代数的概念本质上等价于（0,1）-地形。请注意格罗腾迪克 $(0,1)$ -topos是一个框架或区域设置.

在一个Heyting类别，每子对象偏序集 $子项（A）$ 是一个Heyting代数。特别是，这适用于每个地形此外，在拓扑中电源对象 $\数学{P}（A）$ 是一个内部的对应于外部Heyting代数的Heyting代数学 $子项（A）$ 。在布尔拓扑，内部的Heyting代数都是内部的布尔代数然而，一般来说内部逻辑拓扑（或其他Heyting范畴）是直观的。

引理的证明可以完全等式化，因此在产品的任何类别中都是内部有效的。应用于内部Heyting代数 $L=\欧米茄$ 的地形，这是子对象分类器，这个引理正好说明了双重否定运算符 $\neg\neg\冒号\Omega\to\Omega$ 定义了Lawvere–Tierney拓扑类似地，我们得到双否定子区域任何区域设置.

到拓扑

Heyting代数的主要来源之一由拓扑.作为偏序集，拓扑空间的拓扑 $X（X）$ 是一个完整晶格（它具有任意性连接和满足，虽然无限满足一般不是由交叉)，蕴涵算子由下式给出

（U \右箭头V）=int（U ^c \ V）

哪里 $U、 V（V）$ 是开放集， $单位（^c）$ 是的集合理论补足 $U型$ 、和 $int（S）$ 表示子集的内部 $S \子结构X$ .

一般来说框架（a）超晶格其中有限集合分布在任意sups上）也具有Heyting代数结构。在一个框架中，我们可以定义

（u\Rightarrow v）=\bigvee_{x\wedge u\leq v}x

分配性保证了普适性(1)持有。（详细的证据是伴随函子定理.)

因此，框架在外延上与完成Heyting代数然而，密集地它们大不相同；也就是说，框架的态射通常不是完全Heyting代数的态射：它们不保留蕴涵算子。

一区域设置与框架是一样的，但形态又是不同的；它们被颠倒。

拓扑是布尔代数是例外而不是规则；基本示例包括石材空间; 看见石头的二元性。另一个示例是离散空间 $X（X）$ .

布尔代数的伴随

布尔代数和Heyting代数之间有几种来回传递的方法，与双重否定操作员。由，双重否定 $\neg\neg\冒号L\到L$ 是一个单子。此外，由，它保存有限的，有限的满足.

现在让我们 $L_{\neg\neg}$ 表示的偏序集规则元素秒属于 $L（左）$ 也就是说，这些元素 $x个$ 这样的话 $\负x=x$ .（何时 $L（左）$ 是一个空间的拓扑，一个开集 $U型$ 是有规律的当且仅当它是其闭包的内部时，即当它是上述开集的Heyting代数的正则元素时。）借助引理，我们可以证明

定理

偏序集 $L_{\neg\neg}$ 是布尔代数。此外，任务 $L\mapsto L_{\neg\neg}$ 是函子的对象部分

法科伦·海特（F\colon Heyt）至布尔（Bool）

打电话布尔化，它与完整而忠实的包含相伴随

i\colon Bool\hookrightarrow Heyt。

单位附加，应用于Heyting代数 $L（左）$ ，是地图 $L\到L_{\neg\neg}$ 映射每个元素的 $x个$ 至其正规化 $\负\负x$ .

证明

为了避免混淆两个不同的映射 $\阴性\阴性$ 只在密码子上有所不同 $M： L \右箭头L$ 对于monad和 $U：左向右箭头L_{\neg\neg}$ 用于左边的伴随词。写入 $\iota:L_｛\neg\neg｝\右箭头L$ 正确的伴随词，所以 $M=\iota\circ U$ .

我们首先展示 $L_{\neg\neg}$ 是Heyting代数 $U型$ 是Heyting-algebra映射。因为 $U型$ 是surpjective（且单调），这足以表明它保留了Heyting-algebra算子：有限满足、有限连接和蕴涵。

因为 $\奥塔$ 是满的，它反映了相遇。因此，根据引理 $M=\iota\circ U$ 保留有限的满足，也是如此 $U型$ 作为左伴随词，它保留连接。

最后，对于 $a、 b\单位L$ ，我们证明了这一点 $\neg\neg（a\右箭头b）$ ，根据引理是 $L（左）$ -暗示 $\neg\neg a\右箭头\neg\neg b$ ，满足通用属性(1)也在 $L_{\neg\neg}$ 。对于任何 $L_{\neg\neg}中的x$ , $\iota（x）\leq\neg\neg a\Rightarrow_L\neg\neg b$ 只是如果 $\iota（x）\wedget_L\neg\neg a\leq\neg\neg b$ 根据普遍属性 $L（左）$ ; 但是因为 $\iota公司$ 反映满足这相当于 $x\wedge_{L_{\neg\neg}}\neg\neg a\leq\neg\n b$ ，完成通用属性。

现在因为 $U型$ 保留隐含和（空连接） $0$ ，它保留否定。因此 $\阴性\阴性$ 在里面 $L_｛\neg\neg｝$ 是恒等式，所以后者是布尔代数。

因此 $U=\neg\neg\冒号L\到L_{\neg\neg}$ 是Heyting代数商，它是 $1，\neg\neg\冒号L\stackrel{\to}{\to{L$ 下面是Heyting代数图 $L至B$ 到任何布尔代数 $B类$ ，即任何Heyting代数，其中 $1$ 和 $\阴性\阴性$ 通过该协等式唯一地重合、因子，以及诱导映射 $L_{\neg\neg}\到B$ 是布尔代数映射。换句话说， $\neg\neg\冒号L\到L_{\neg\neg}$ 是通用Heyting代数到布尔代数的映射，它建立了附加。

因此 $\neg\neg\冒号L\到L_{\neg\neg}$ 保留有限联接、有限满足和蕴涵。在另一方面，我们有一个包容性 $i\冒号L_{\neg\neg}\到L$ 这种蜜饯是相接的，但不是结合的。它还保留否定；更广泛地说，也许令人惊讶的是，它还保留了含义。

不要与常规元素混淆补充元素?秒，即元素 $x个$ 在Heyting代数中 $x\vee\neg x=1$ ，尽管每个补足元素都是正则的。单位间隔给出了一个未补足的正则元素示例 $(0, 1)$ 作为拓扑的元素 $\mathbb｛R｝$ ; 拓扑给出的Heyting代数中的补足元素与氯苯子集.

补元素提供了布尔代数和Heyting代数之间的另一种普遍关系：Heyting代数学中的补元素集 $H（H）$ 是布尔代数 $压缩机（H）$ ，以及包含 $组件（H）至H$ 是Heyting代数映射，在Heyting代数映射中是通用的 $B至H$ 布尔代数之外 $B类$ 换句话说，我们得到了以下结果。

定理

任务 $H\mapsto组件（H）$ 是健忘函子右伴随的宾语部分 $布尔\托·海特$ .

证明

在Heyting代数中 $H（H）$ ，元素 $0$ 和 $1$ 得到了明确的补充。如果 $x个$ 和 $年$ 是互补的，那么也是 $x\楔形y$ , $x\vee年$ 、和 $x\向右箭头y$ ; 我们离开会场，加入运动应用，并演示暗示（使用(3)):

\开始{对齐}（x\向右箭头y）\vee\neg（x\右箭头y）&=（x\右箭头y）\vee（\neg\neg x\楔形\neg y）\\&=（（x\右箭头y）\vee\neg\neg x）\楔形（（x\向右箭头y）\vee\neg y）\\&\geq（\neg x \vee x）\楔形（y\vee\neg y）\\&= 1\; .\结束{对齐}

因此补元素形成Heyting子代数 $组件（H）\hookrightarrow H$ .很明显 $压缩机（H）$ 是布尔代数，显然如果 $B类$ 是布尔值，然后是任何Heyting代数映射 $B至H$ 因素唯一通过 $组件（H）\hookrightarrow H$ 这证明了定理。

示例

提议

对于 $\数学{T}$ 一地形和 $X\in\mathcal{T}$ 任何对象，装腔作势者 $子（X）$ 属于子对象第s个，共s个 $X（X）$ 是一个Heyting代数。

换句话说，每个拓扑都是Heyting类别.

特别是对于 $X=\欧米茄$ 这个子对象分类器, $Sub（\欧米茄）$ 是一个Heyting代数。

在 $\数学{T}=$ 设置每套 $S公司$ 我们有这个 $子（S）$ 是布尔代数的子集 $S公司$ .

更多详细信息和示例请参见内部逻辑#示例.

提议

一框架 $L（左）$ 是一个Heyting代数。

证明

由伴随函子定理，右伴随词 $x\向右箭头-$ 到地图 $x\楔形-：L\至L$ 存在，因为此映射保留了任意连接。

另请参见

工具书类

原始参考文献：

阿伦德·海廷,直觉主义逻辑规范。一、二、三。Wissenschaften的Preußischen Akademie的Sitzungsberichte，Physikalisch Mathematische Klasse（1930）42-56，57-71158-169

节略重印：

Karel Berka，Lothar Kreiser（编辑），逻辑-文本，De Gruyter（1986）188-192[doi:10.1515/9783112645826]

快速介绍见第1.2节

弗朗西斯·博尔塞克斯,
范畴代数手册3.滑轮类别，剑桥大学出版社，1994年。国际标准图书编号：0521441803。

上次修订时间：2024年5月13日08:33:19。请参阅历史获取所有贡献的列表。

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内部逻辑

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