n实验室格罗森迪克建筑

上下文

范畴理论

它的对象是指向的类别（即。对 $（A，A）$ 哪里 $A类$ 是一个类别，并且 $一$ 是一个对象属于 $A类$ )
及其态射 $（A，A）至（B，B）$ 是成对的 $（f，\gamma）$ ，其中 $f\冒号A\到B$ 是一个函子和 $\γ\结肠f（a）\至b$ 是一个同构在里面 $B类$ .
投影 $猫{*，\ell}\到猫$ 是显而易见的吗遗忘函子.

现在如果 $F\colon C\to猫$ 是一个伪函子从一个类别 $C类$ 到 $猫$ ，然后是它格罗森迪克建筑是（严格的）2-拉回 $p\colon\int F\到C$ 属于 $猫{*，\ell}\到猫$ 沿着 $F类$ :

\阵列{\int F&\longrightarrow&Cat_{*，\ell}\\\数学重叠{{}^{p}}\big\向下箭头&& \大\向下箭头\\C&\underset{F}{\longrightarrow}目录（&C）\马特拉普{\，.}}

这意味着：

这个物体属于 $\整型F$ 是成对的 $（c，a）$ ，其中 $对象（c）中的c$ 和 $目标中的a（F（c））$ ,
和中的形态 $\整型F$ 成对给出 $\big（c\覆盖{f}{to}c'，\，f（f）（a）\覆盖{phi}{to{a'big）$ .作为系统图表在里面猫这看起来如下：

这种结构扩展到2-函子之间双类别

\文本样式{\int}\;\冒号\；[C，类别]\长向右箭头类别/C

从伪函子在 $C类$ 到过度分类属于猫结束 $C类$ .

更常见的描述版本是逆变的伪函子，即伪函子 $C^{op}\到猫$ 来自相反类别在这种情况下，我们使用“通用 $猫$ -钴结合剂“ $（类别{*，c}）^{op}\到类别^{op{$ ，其中 $（类别{*，c}）$ 是colax切片，其对象又是指向的类别 $（A，A）$ 但它的形态 $（A，A）至（B，B）$ 是成对的 $（f，\gamma）$ 哪里 $f\冒号A\至B$ 和 $\γ\结肠b\至f（a）$ 现在是2回拉

\阵列{\整型F&\to&（Cat_{*，c}）^{op}\\{}^{\mathllap{p}}\向下箭头&&\向下箭头\\现金流}\,.

构成2-函子

\文本样式{\int}\;\冒号\；[C^{op}，类别]\长向右箭头类别/C\,.

在这种情况下，

的对象 $\整型F$ 还是成对的 $（c、a）$ ，其中 $对象（c）中的c$ 和 $对象（F（c））中的a$ ，但是
中的形态 $\整型F$ 从 $（c，a）$ 到 $（c'，a'）$ 是成对的 $\big（c\覆盖{f}{\to}c'，a\覆盖{\phi}{\to}f（f）（a'）\big）$ :

请注意，这与应用于 $C^{op}\到猫$ 因为在这种情况下 $C类$ 朝相反的方向走。

属性

（Co）Grothendieck结构中的限制

我们讨论了(有限公司)限制 在里面a格罗森迪克建筑。

提议

给定一个伪函子 $F\colon C^{op}\到猫$ .

如果

$C类$ 是完成.
$F（J）$ 全部完成 $J \in C$ .
$F（F）：F（J）至F（K）$ 保留限制为所有人 $f\冒号K\ toJ型$ 在里面 $C类$ .

然后 $\整型F$ 已完成。

双重，如果

$C类$ 是共同完成.
$F（J）$ 对所有人来说都是完整的 $J \in C$ .
$F（F）：F（J）至F（K）$ 有一个左伴随为所有人 $f:K\至J$ 在里面 $C类$ .

然后 $\整型F$ 已完成。

这在中得到了证明Tarlecki，Burstall&Goguen（1991），§3.1，3.2.

结肠炎的情况也在Harpaz&Prasma（2015），《提案》。2.4.4:

给定一个伪函子

（1）

\阵列{\金属板{\mathbf{C}\，\冒号\，\;}底部和\纵向箭头和类别\\\数学{X}&\mapsto&\mathbf{C}（C）_{\mathcal{X}}\\\大\下箭头\mathrlap{{}^{f}}&&\数学重叠{^{f_！}}\Big\向下箭头\仪表盘\大\uparrow\mathrlap{{}^{f^\ast}}\\\数学{Y}&\mapsto&\mathbf{C}（C）_{\mathcal{Y}}}

这样的话

$底座$ 是完整的
$\马特布夫{C}（C）_{\mathcal{X}}$ 是共同完成对于每个 $\基数中的数学｛X｝\$

然后也是格罗森迪克建筑 $\int_{\mathcal{X}}\mathbf{C}（C）_{\mathcal{X}}\，\in\，类别$ 已完成。

明确地，结肠炎在里面 $\int_{\mathcal{X}}\mathbf{C}（C）_{\mathcal{X}}$ 计算如下：

给出Grothendieck结构图

\数学可控硅{垂直}_{\mathcal{X}}\;\冒号\；我\长向右箭头\文本样式{\int}\mathbf{C}（C）_{(-)}

它的潜在的中的图表 $底座$

\数学{X}\;\冒号\；我\重叠{\mathscr{垂直}_{\mathcal{X}}{\longrightarrow}\整数\mathbf{C}（C）_{(-)}\重叠{\pi}{\longrightarrow}底座

假设有共济失调 $底座$ ，使用共投影要这样表示的语素：

\数学{X}（i）\重叠{\；\；q（i）\；\\在I}{\longrightarrow}}{\lim}中下划线{\underset{j\\数学{X}（j）\,.

现在的想法是，在 $\整数\mathbf{C}（C）_{(-)}$ 通过以下方式获得

首先推动所有形态 $\φ\冒号f！\mathscr｛V｝（i）\到\mathscr｛V｝（j）$ 在图中沿着各自的 $q_j个$
从而获得图表 $q_！\mathscr{V}$ 在里面 $\马特布夫{C}（C）_{\underset{\longrightarrow}{\lim}\mathcal{X}}$
谁的大肠杆菌 $\下划线{\longrightarrow}{\lim}q_！\mathscr{V}$ 假设存在于 $\矩阵{C}$

然后 $\big（underset｛\langrightarrow｝｛\lim｝q_！\mathscr｛V｝\big）_｛\langrightarrow｝｛\lim｝\mathcal｛X｝｝$ 所需的大肠杆菌在 $\int\mathbf｛C｝$

例子

(笛卡尔积在格罗森迪克建筑中外部产品纤维类别）

给定一个逆变的伪函子

\阵列{X（X）\\\大\下箭头\mathrlap{{}^{f}}\\Y（Y）}\;\;\;\;\;\地图\；\；\阵列{\马查尔{C} X（_X）\\\大\uparrow\mathrlap{{}^{f^\ast}}\\\马查尔{C} 是（_Y）}

其中基本类别和所有光纤类别 $\马查尔{C}（C）_{(-)}$ 有笛卡儿积以及所有基本更改地图 $f^\ast（快速）$ 保存这些产品，然后是格罗森迪克建筑 $\int_X\数学{C} X（_X）$ 在对象上给定笛卡尔积

\数学可控硅{五} X（_X）\，\等价\，\大(\mathscr{V}\，\in\，\mathcal{C} X（_X）\大）

根据公式

(2)

\数学可控硅{V} _X（X）\次\数学可控硅{W} Y（_Y）\；\；\西马克\；\；\大(\大（pr_X^\ast\mathscr{V}\big）\，\次\，\大（pr_Y^\ast\mathscr{W}\big）\大）_{X\乘以Y}\,,

我们用什么来表示

\阵列{&&X\乘以Y\\& \金属圈{{}^{pr_X}}\swarrow&& \searrow\mathrlap{{}^{pr_Y}}\\X轴和Y轴}

产品投影基本类别中的映射。

形式的产品(2)被称为外张量积这里是关于纤维类别的“外部笛卡尔积”；另请参见这个命题在自由余积完成.

作为一个息肉大肠杆菌

格罗森迪克建筑 $F:C\至Cat$ 相当于息肉大肠杆菌病属于 $F类$ （例如Gepner-Haugseng-Nikolaus盖普内·豪格森·尼科劳斯15). 这意味着对于每个类别 $X（X）$ 有一个范畴的等价性

Lax（F，\Delta X）\simeq[{\textstyle\int}F，X]

那是很自然的 $X（X）$ ，其中 $\X增量$ 是值为的常数函子 $X（X）$ （请参见息肉大肠杆菌病解释原因松弛自然变换出现在息肉科利米特）

A类松弛自然变换 $\阿尔法$ 从 $F类$ 到 $\德尔塔X$ 由提供

对于每个对象 $c（c）$ 属于 $C类$ ，函子 $\alpha_c\冒号F c\到X$ 、和
对于每个态射 $m\冒号c\到d$ 在里面 $C类$ ，一个自然转化 $\alpha_m\冒号\ alpha_c\右箭头\ alpha_d\圆圈m_*$ （书写 $m_*=F米$ ),

这样的话 $\字母{1c}$ 是同构 $F1_c\cong1_{Fc}$ 由提供伪功能属于 $F类$ ，如果 $m\冒号c\到d$ , $n \冒号d \ to e$ 是一对可组合的 $C类$ ，然后 $\字母{nm}$ 等于显而易见的粘贴属于 $\字母_m$ 和 $\字母_n$ .

我们想证明，对于每个这样的lax变换，都对应一个本质上唯一的函子 $\整数F\到X$ 首先，给定 $\阿尔法$ 如上所述，让 $A类$ 是发送的函子 $x\在F c中$ 到 $\字母c x$ ，并对箭头起作用

（m\冒号c\到d，f\冒号m_*x\到y）\四元\mapsto\quad\alpha_cx\重叠{\alpha_mx}{\到}\alpha_dm_*x\覆盖{\alpha_df}{\to}\alpha-dy

那 $A类$ 是一个函子，由 $\阿尔法$ 关于 $C类$ .

相反，如果 $A\冒号\ int F\到X$ 是函子，我们得到一个lax变换 $\阿尔法$ 如下：

对于每个 $c \以c表示$ , $\字母c$ 是的限制 $A类$ 到类别 $财务总监$ ，它是的子类别 $\整型F$ 其对象是 $财务总监$ 其态射是第一成分为同一态射的态射。这显然使 $\字母c$ 函子。
对于每个 $m\冒号c\到d$ 在里面 $C类$ , $\字母_m$ 有个组件 $\alpha_c x\至\alpha_d m_*x$ 由提供 $A类$ 的值 $（m，1_{m*x}）$ 这是一种自然的转变，因为如果 $k\冒号x\到x'$ 是中的同态 $财务总监$ ，那么自然广场的两边都是 $A类$ 在同态 $（m，m*k）$ .

正如人们所料，一致性条件 $\阿尔法$ 遵循…的功能 $A类$ .

然后很容易检查这两个映射是否在 $松弛（F，\Delta X）$ 和 $[\int F，X]$ .

至于涉及的形态修改在lax变换和自然变换在函子之间，很容易证明它们也是双射对应的。因此，我们已经证明了上述等价性成立。

通过检查上述证明，很容易看出与函子相关的lax变换 $\整数F\到X$ 是一个伪自然变换当且仅当函子反转（即发送到同构）类的每个成员 $秒$ 的语态 $\整型F$ 它的第二个组成部分是身份。（这些实际上是笛卡尔式的关于投影的态射 $\整型F\到C$ .）本地化 $\整数F[S^{-1}]$ 因此是（弱项）2-科利米特属于 $F类$ :

Ps（F，\Delta X）\simeq[{\textstyle\int}F，X]_{S^{-1}}\simeq[{\textstyle\int}F[S^{-1}]，X]

最后一个结果出现在新加坡通用航空公司第6节Expose®VI。

局部较小

一般来说（加权）大肠杆菌大的的图表本地小类别不再需要局部较小。然而，在息肉大肠杆菌的情况下，即Grothendieck结构，我们有：

定理

如果 $F： C^{op}\到猫$ 是伪函子， $C类$ 局部较小，且每个类别 $F（c）$ 当地规模较小，然后是格罗森迪克建筑 $\整型F$ 在当地也很小。

证明

回想一下中的态射 $\整型F$ 从 $（c，a）$ 到 $（c'，a'）$ 是成对的 $（c\覆盖{f}{to}c'，a\覆盖{alpha}{to{f（f）（a'））$ .局部较小 $C类$ 意味着只有一组这样的 $（f）$ 和当地的小规模 $F（c）$ 意味着每个 $（f）$ 只有一套这样的 $\阿尔法$ 的。

例如，考虑规范索引？属于局部小类别 $A类$ 即伪函子 $将^｛op｝\设置为Cat$ 发送每组 $X（X）$ 到类别 $A^X（A ^X）$ .这满足上述定理的条件，因此其Grothendieck构造是家庭对象的 $A类$ ，局部较小。

fibrations与伪函子的等价性

可以描述形象格罗森迪克建筑中的那些物体 $类别/C$ 那是格罗森迪克纤维第条。

我们回顾了双类别的Grothendieck腓骨和伪函子然后陈述主要的等价定理。

伪函子的双范畴

A类伪函子从1开始-类别 $C类$ 到2类(双类别的) $A类$ 只不过是一个（非限定）2-函子在两个类别之间，普通类别被视为一个特殊的两个类别。

我们写作 $[C^{op}，A]$ 对于2-函子2类，来自相反类别属于 $C类$ 到 $A类$ （该 $操作$ 这只是惯例）：

对象是伪函子 $F:C^{op}\到A$ ;
形态是伪自然变换;
2-同构是修改第条。

腓骨的二分类

定义

A类函子 $p:E\到C$ 是一个格罗森迪克纤维如果针对每个对象 $e中的e$ 和每个态射 $f:c\到p（e）$ 在里面 $C类$ 存在一个态射 $\帽子f:\hat c\to e$ 在里面 $E类$ 可以提升的 $（f）$ 在那里面 $p（\hat f）=f$ 哪一个是笛卡尔态射.

A类Grothendieck腓骨的形态 $F:（p:E\到C）\到（p'：E'到C）$ 是

函子 $F:E\至E'$
这样的话
- $F类$ 发送笛卡尔态射s到笛卡尔态射；
- 图表
  
  $\阵列{E&&\stackrel{F}{\to}&&E'\\&{}{\mathllap{p}}\searrow&&\swarrow{\mathrlap{p′}}\\&&C类}$
  
  在里面猫（严格地）通勤。
一2-同构在同构之间 $\eta:F\到F'$ 是一个自然转化在基本函子中，这也使得明显的图2是可交换的，即 $p'\cdot\eta$ 是微不足道的。

合成是由潜在的函子和自然变换引起的。

这定义了2类Grothendieck腓骨

Fib（C）\hookrightarrow类别/C

结束 $C类$ ，2分-子类别的过度分类属于猫结束 $C类$ .

备注

笛卡尔升降机不要求是唯一的，但在独特的垂直方向上是自动唯一的同构连接他们的域。

等效性声明

提议

格罗森迪克建筑因素Grothendieck腓骨结束 $C类$

\文本样式｛\int｝\;\冒号\；[C^{op}，类别]\长向右箭头纤维（C）\钩右箭头类别/C

并建立双范畴的等价性

\文本样式{\int}\;\冒号\；[C^{op}，类别]\重叠{\simeq}{\longrightarrow}纤维（C）\,.

事实上，它不仅仅是这样：它相当于严格的2类，在严格的2范畴理论意义上，即 $猫$ -丰富的类别.

当限制为通过因子的伪函子时Grpd公司 $\钩右箭头猫$ it因素通过群胚中的纤维

\文本样式{\int}\;\冒号\；[C^{op}，Grpd]\长向右箭头图{Grpd}（C）\钩右箭头类别/C

并建立了类似的等价关系

[C^{op}，Grpd]\simeq Fib_{Grpd}（C）\,.

证明

这可以通过简单但有些乏味的检查来验证。详细信息请参见约翰斯通（2002），B1.3（语句本身就是定理B1.3.6，所有定义和引理都在前面的几页上。）

模型类别版本

Grothendieck建筑经过改进模型类别.

请参阅模型类别的Grothendieck构造.

Grothendieck结构的这个模型类别体现概括为（∞，1）-Grothendieck构造.

Grothendieck建筑的附属建筑

Grothendieck构造函子

\文本样式{\int}\;\冒号\；[C^{op}，类别]\长向右箭头类别/C

有一个左边和a正确的伴随函子.

仅限于广群-值函子和群胚中的纤维，两者都表现出上述等效性伴随等价s.这方面的直觉是，群胚的所有范畴结构都包含在自同构群中，因此不需要研究函子 $[C^{op}，GpdProf]$ 为了获得的所有对象 $Gpd/C公司$ .

请注意，许多传统文献都讨论（只是）右伴随词。

左边的伴随词

这个左伴随是函子

L:（p:E\到C）\mapsto（（-）/p:C^{op}\到Cat）

赋值给函子的 $第页$ 发送的预兆 $c \以c表示$ 到逗号类别 $付款交单$ 对象成对给出 $（e，c至p（e））$ 和交换三角形的态射

\阵列{&&c（c）&&\\&\swarrow&&\searrow&\\p（e_1）&&\至&&p（e_ 2）}

即。

L（E\stackrel｛p｝｛\to｝C）：C\mapsto C/p\,.

这个函子可以等价地表示如下。

就锥体结构而言

对于给定的 $（E\stackrel{p}{\to}C）$ 考虑一下（3,1）-推出

\阵列{E&\hookrightarrow&E^{\triangleright}\\\向下箭头^{\mathrlap{p}}&\sw箭头&\向下箭头\\C&\到K（p）}

属于（2,1）-类别，其中 $K^{\triangleright}$ 是 $K（K）$ 有一个终端对象 $v（v）$ 相邻的参加类别）。（此处 $E类$ , $C类$ 和 $E^{\triangleright}$ 1个类别被视为微不足道的吗 $（2，1）$ -类别和位置 $K（p）$ 通常会是（2,1）-类别非平凡的2-同构s） ●●●●。

提议

我们有

c{/p}\，\simeq\，Hom_{K（p）}（c，v）\,.

因此左伴随Grothendieck结构可以作为发送 $p冒号E到C$ 到伪函子

L（p）：=Hom_{K（p）}（-，v）：C^{op}\到猫\,.

证明

通过嵌入来自猫进入更大的背景（∞，1）-类别并使用模型由提供的sSet（设置）：的拟范畴的模型结构这也有助于将参数从1类推广到更高的类。

所以等效地考虑弱推出图

\阵列{N（E）&\hookrightarrow&N（E”^{\triangleright}\\\向下箭头^{\mathrlap{N（p）}}&\sw箭头&\向下箭头\\N（C）至&N（K（p））}

属于准范畴，其中 $N（-）$ 是神经操作和位置 $N（E）^{\triangleright}=N（E*$ 是单形集的联接属于 $北（东）$ 使用指向.

通过普通瑜伽同伦大肠杆菌s（详见此处）我们知道 $\英菲$ -这里的推力可以作为普通推力计算推出在1类中sSet（设置）如果推出图 $N（C）\左箭头N（E）\至N（E$ 具有以下属性

这三个对象都是共纤维的；
两个语态中至少有一个是共构词

在中准范畴的模型结构 $sSet_{乔亚尔}$ .

但这是微不足道的验证，因为 $sSet_{乔亚尔}$ 只是单态中的sSet（设置）单形集的逐步内射映射。所以每个物体 $设置_｛Joyal｝$ 是共纤维和内含物 $N（E）\hookrightarrow（E）^{\直角}$ 是一种共纤维化。

（由于标准中相同的简单原因，同样的结论也成立单纯集上的模型结构 $sSet_{Quillen}（设置{Quillen）$ .)

从这里可以看出，这仅仅是因为我们从类别传递到了神经s、弱推出的计算简化为普通推出的计算（人们可能认为传递给神经是提供了一种共纤维替代物：因为在神经中，所有的成分k态射s是“自由”的，neurve是一个适合计算的类别的适当“膨胀”版本 $\英菲$ -推出）。

所以我们只能计算普通的推出

\阵列{N（E）&\hookrightarrow&N（E”^{\triangleright}\\\向下箭头^{\mathrlap{N（p）}}&&\向下箭头\\N（C）&\至&Q}

在里面sSet（设置）.纤维替代 $问$ 那么是神经属于这个双类别的 $K（p）$ 我们所追求的。

如在极限与结肠炎举例在节中预处理类别中的极限,上极限在预切-类别sSet（设置） $=函数（\Delta^{op}，Set）$ 为每个对象计算 $[n] \ in \增量$ 作为普通的结肠炎设置.

对于 $n=0$ 我们看到了 $问题_0$ 是的对象的集合 $C类$ 和一个附加顶点 $v（v）$ :

Q_0=N（C）_0\coprod\{v\}=p（对象（E））\copro1\{v\}

对于 $n=1$ 类似地，我们发现 $问题_1$ 由中的1个单元格组成 $C类$ 以及一个1-电池 $e:c\到v$ 对于每个 $对象（e）中的e$ 具有 $p（e）=c$ （这个1号电池实际上是终端1号电池 $e到v$ 在里面 $E^{\triangleright}$ 但其来源被重新解释为 $p（e）=c$ 根据鉴定 $问题_0$ 同上）。在纤维替代物中 $问$ 原始1-细胞的合成 $c_1\到c_2$ 和新的1-细胞 $e:c_2\到v$ 将被自由添加，因此一般的1-态射 $c1\到v$ 将由1-态射组成 $c1\到c2$ 在里面 $C类$ 连同电梯 $二氧化碳$ 到 $E类$ 。这与逗号类别 $付款交单$ .

对于 $n=2$ 我们进去了 $问题2$ 中的2个单元格 $C类$ 以及一个2芯电池

\阵列{c1&&至&&c2\\&\searrow&{}^{（e_1\到e_2）}\swArrow&\swArrow\\&&v（v）}

每个1单元 $（e_1\至e_2）$ 在里面 $北（东）$ 具有 $p（e_1\至e_2）$ = $（c1\到c2）$ .

特别是，这意味着如果 $e_2:c2\到v$ 是中的同态 $问$ 和 $c1\到c2$ 是中的同态 $C类$ ，然后是复合材料 $c1\到c2\到v$ 在里面 $问$ 与任何兼容的直接同伦 $c1\到v$ 在里面 $问$ .

这意味着形成纤维替代物 $问$ 在里面 $设置_｛Joyal｝$ 不会在我们在前一段已经讨论过的基础上添加多余的1-语态…

现在更进一步…

Grothendieck结构的这一公式是附加

（L\dashv\textstyle{\int}）\;\冒号\；纤维（C）\右向左箭头[C^{op}，类别]

使用左伴随由hom-objects在pushout对象中给出，如上所述是它的起点垂直分类描述于（∞，1）-Grothendieck构造.

右边的伴随词

我们还有一个附加功能

（R\vdash\textstyle{\int}）\;\冒号\；纤维（C）\右向左箭头[C^{op}，类别]\,,

其中右伴随 $R（右）$ 发送一个格罗森迪克纤维 $F类$ 结束 $C类$ 到预切

c（c）\;\地图\；Hom（\textstyle{\int}y（c），F）\,,

哪里 $\整数y（c）$ Grothendieck构造是否适用于集合的可代表预处理（因此离散类别)上的 $c（c）$ 和 $霍姆$ 表示两个Grothendieck腓骨之间的形态类别。

非正式地 $R（F）（c）$ 通过选择沿着每个同态与余域的拉回来给出 $c（c）$ ，这些回调必须是功能性的。

单纯神经下的行为

提议

对于 $F\colon\mathcal{D}\到猫$ 一函子，让

｛\vert N（F（-））\vert｝\;\冒号\；\数学{D}\重叠{F}{\longrightarrow}猫\堆垛机{\vert N（-）\vert}{\to}顶部

是它的后合成范畴的几何实现

那么我们有一个弱同伦等价

{\left\vert N\left（\textstyle{\int}F\right）\right\vert}\西马克hocolim{\vert N（F（-））\vert}

展示同伦大肠杆菌在里面顶部结束 $\垂直N（F（-））$ 作为的几何实现格罗森迪克建筑 $\整数F$ 属于 $F类$ .

这是由于(托马森79).

其他属性

提议

给定一个逆变的伪函子

\阵列{\mathbf{D}^{op}&\重叠{C_{（-）}}{\longrightarrow}&猫\\\mathbf{x}&\地图到&C_{\mathbf{x}}\\\大\下箭头\mathrlap{{}^{\mathbf{f}}}&&\大\uparrow\mathrlap{{}^{mathbf{f}^\ast}}\\\mathbf{x}'&\地图&C_{\mathbf{x}'}}

和一双伴随函子表单的

\数学{D}\过盈不足{\下集{R}{\左箭头}}{\重叠{L}{\右箭头}}{\；\；\bot\；\；}\矩阵{D}

然后有一个诱导附加在Grothendieck结构在 $C_{（-）}$ 和上的 $C｛L（-）｝$ 覆盖给定的附加词

\阵列{\比格\{\数学可控硅{垂直}_{x}\xrightarrow{\phi{f}}\mathscr{V}'_{x'}\;\显示样式｛\Bigg\vert｝\；\阵列{\mathscr{V}&\xrightarrow{\phi}&L（f）^\ast\mathscr{V}'&\在C_{L（x）}中\\x个&\xrightarrow{f}&x’&\in\mathcal{D}}\比格\}\，\等同&\大(\低于{x\in\mathcal{D}}{\textstyle{\int}}C_{L（x）}\大）&\过盈不足{\underset{\widehat R}{\longleftarrow}}{\重叠{\widehat L}{\longrightarrow}}{\；\；\bot\；\；}&\大(\低于｛\mathbf｛x｝\in\mathbf｛D｝｝{\textstyle{\int}}C_｛\mathbf｛x｝｝\大）&\相等的\,\比格\{\数学可控硅{垂直}_{\mathbf{x}}\xrightarrow{\phi_{\mathbf{f}}}\mathscr{V}'_{\mathbf{x}'}\;\显示样式{\Bigg\vert}\；\阵列{\mathscr{V}&\xrightarrow{\phi}&\mathbf{f}^\ast\mathscr{V}'&\在C_{\mathbf{x}}中\\\mathbf{x}&\xrightarrow{\mathbf{f}}&\mathbf｛x｝'&\in\mathbf{D}}\比格\}\\&\大\向下箭头&&\大\向下\\&\数学{D}&\过盈不足{\下集{R}{\左箭头}}{\重叠{L}{\右箭头}}{\；\；\bot\；\；}&\矩阵{D}}

哪里 $\宽海特L$ 充当 $L（左）$ 在潜在的语素和作为身份在组件上：

\阵列{\数学可控硅{垂直}_{x}\\\大\下箭头\mathrlap{{}^{\phi_{f}}}\\\mathscr{V}'_{x'}}\;\;\;\;\;\;\;\重叠{\widehat L}{\mapsto}\；\；\；\；\；\阵列{\数学可控硅{垂直}_｛L（x）｝\\\大\下箭头\mathrlap{{}^{\phi_{L（f）}}}\\\矩阵{V}'_{L（x'）}\马特拉普{\，，}}

虽然 $\宽海特R$ 充当 $R（右）$ 在潜在的语素和组件基本更改沿着辅助装置 $\epsilon_{mathbf{x}}\colon L\circ R（\mathbf}x}）\to\mathbf{x}$ :

\阵列{\数学可控硅{垂直}_{\mathbf{x}}\\\大\下箭头\mathrlap｛｛｝^｛\phi_｛\mathbf｛f｝｝｝｝｝\\\mathscr{V}'_{\mathbf{x}'}}\;\;\;\;\;\;\;\重叠{\widehat R}{\mapsto}\;\;\;\;\;\阵列{\大（\epsilon{\mathbf{x}}^\ast\mathscr{V}\大）_{R（\mathbf{x}）}\\\大\向下箭头\mathrlap{{}^{（\epsilon_\mathbf{x}^\ast\phi）_{R（\mathbf{f}）}}}\\\大（\epsilon_{\mathbf{x}'}^\ast\mathscr{V}\big）{R（\mathbf{x}'）}}

和附加词是同一态射在覆盖潜在的附加词:

(3)

\ε^{\宽hat{L}\dashv\widehat{R}}_{\数学可控硅{垂直}_｛\mathbf｛x｝｝}\;\冒号\；\宽海特{L}\宽边帽{R}\大（\mathscr{垂直}_{\mathbf{x}}\big）=\大(\大（\epsilon^{L\dashvR}_{\mathbf{x}}\big）^\ast\mathscr{V}\大）_{LR（\mathbf{x}）}\重叠{（id）_{\epsilon^{L\dashvR}_{\mathbf{x}}}}{\右箭头}\数学可控硅{垂直}_{\mathbf{x}}

证明

首先注意到 $\宽海特R$ 确实定义明确，因为我们有自然同构关于…的权利

\epsilon_{\mathbf{x}}^\ast\mathscr{V}\xrightarrow{\epsilon_{\mathbf{x}}^\ast\phi}\epsilon_{\mathbf{x}}^\ast\mathbf{f}^\ast\mathscr{V}'\西马克\大（L R（\mathbf{f}）\big）^\ast\epsilon_{\mathbf{x}'}^\ast\mathscr{V}'

由逆变的假功能属于 $C_{（-）}$ 应用于交换性的自然广场的附加词:

\阵列{L R（\mathbf{x}）&\重叠{LR（\mathbf{f}）}{\longrightarrow}&L R（\mathbf{x}'）\\\mathllap{{}^{\epsilon{\mathbf{x}}}}\大\向下箭头&&\大\向下箭头\mathrlap｛｝^｛\epsilon_｛\mathbf｛x｝'｝｝｝｝\\\mathbf{x}&\underset{\；\；\mathbf{f}\；\{\longrightarrow}&\mathbf{x}'\马特拉普{\，.}}

现在如果我们写 $f\冒号x\到R（\mathbf{x}'）$ 对于 $（L \dashv R）$ -辅助的 $\mathbf{f}\colon L（x）\to\mathbf}'$ 然后我们有自然的猜测

\开始{array}{ll}\大\{\宽大L（\mathscr{五} _x（x）\大）\xrightarrow{\phi_{\mathbf{f}}}\mathscr{V}'_{\mathbf{x}'}\大\}\\\;\模拟\；\大\{\数学可控硅{垂直}_{L（x）}\xrightarrow{\phi_{\mathbf{f}}}\mathscr{V}'_{\mathbf{x}'}\大\}&\文本｛按定义｝\\\;\模拟\；\大\{\数学可控硅{垂直}_{x}\xrightarrow{\phi{f}}\大(\epsilon^\ast_{\mathbf{x}'}\mathscr{V}'\大）_{R（\mathbf{x}'）}\大\}&\文本{见下文}\\\;\模拟\；\大\{\数学可控硅{垂直}_{x}\xrightarrow{\phi{f}}\宽帽子R\大(\mathscr{V}'_{\mathbf{x}'}\大）\大\}&\文本{按定义，}\结束{数组}

其中打开了一个非定义步骤潜在的形态 $（L \dashv R）$ -同源异形

\开始{array}{ll}\大\{L（x）\xrightarrow{\mathbf{f}}\mathbf{x}'\大\}\;\模拟\；\大\{x\xrightarrow{f}R（\mathbf{x}'）\大\}\结束{数组}

在组件上使用以下自然双射

\开始{array}{ll}\大\{\mathscr{V}\xrightarrow{\phi}\mathbf{f}^\ast\mathscr{V}'\大\}\\\;\模拟\；\大\{\mathscr{V}\xrightarrow{\phi}\大（\epsilon_{\mathbf{x}'}\，\circ\，L（f）\big）^\ast\mathscr{V}'\大\}&\文本{附加词公式}\\\;\模拟量\；\大\{\mathscr{V}\xrightarrow{\phi}L（f）^\最后\大(\ε{\mathbf{x}'}^\ast\mathscr{V}'\大）\大\}&\文本{伪功能，}\结束{数组}

其中第一步使用通用公式 $\mathbf{f}\，=\，\epsilon_{\mathbf{x}'}\circ L（f）$ (在这里)它表达了附加词根据科尼特第二步是逆变的假功能性属于 $C_{（-）}$ .

这建立了一个同源异形展示伴随函子 $\宽帽L\dashv\宽帽R$ 此外同一态射在 $\宽帽{R}（-）$ 在这个hom-isomorphism之下是声称的counit(3).

概括

$n=0$

格罗森迪克建筑的一个分类维度的类比是元素类别的预切.

$n=（infty，0）$

Grothendieck结构的模拟∞-群胚在中进行了详细检查Heuts-Moerdijk 13号.

群胚中的预升类别被简单预升的模型范畴配备有投影模型结构群胚中的Grothendieck fibrations范畴被群胚上的单形集模型范畴所取代神经源类别的，配备逆变模型结构.

在这种情况下，推广Grothendieck结构的不是一个而是两个不同的函子。

第一函子 $啊！$ 是一个左伴随，它实现了同伦大肠杆菌使用双单纯形集的对角线，和第二函子 $第页^*$ 是一个右伴随，它使用共对角线的（也称为总体化)关于双单纯形集。两个函子都适合附加词 $啊！\破折号h^*$ 和 $r_！\行车记录仪^*$ ，其中其他两个伴随可以看作是校正函子：右伴随 $小时^*$ 概括了劈理结构，而左边的伴随 $r_！$ 概括了上述逗号范畴结构。

两个函子 $啊！$ 和 $第页^*$ 一旦我们得到但它们不是同构的。函子 $第页^*$ 仅限于群胚预升的完整子范畴，恢复了上述经典格罗森迪克构造的神经。函子 $啊！$ 限制于同一个完整子范畴甚至不在拟范畴中，因此在经典情况下，它不会产生新的结构。

$n=（infty，1）$

类似Grothendieck结构（∞，1）-类别描述于笛卡尔纤维和（∞，1）范畴的泛fibration.

之间的通信 $（\infty，1）$ -分类的笛卡尔纤维 $E至C$ 和（∞，1）-预升 $C\to（\infty，1）类别^{op}$ 是已建模由奎伦等效在带标记单形超集的模型结构和投影简单预升的整体模型结构.

有关更多详细信息，请参阅

（∞，1）-Grothendieck构造

正规松弛函子到 $教授$

Grothendieck构造可以从伪函子推广到 $猫$ 将正规lax函子转换为教授.而不是扯谎 $C类$ ，这样的正规lax函子对应于 $C类$ 。请参阅显示的类别了解更多信息。

术语警告

在文献中，术语“Grothendieck结构”至少用于两种非常不同的结构（以及格罗腾迪克为数学引入了如此多的新思想和新结构，也许还有其他的！）。一个是关于纤维类来自伪函子并将在格罗森迪克纤维另一个是指构建格罗森迪克集团是在K理论从空间上向量丛的同构类出发，通过引入形式逆，即虚丛。这从同构类的半群构造了一个阿贝尔群。

示例

例子

（可表示函子和切片类别）
A类可表示函子 $C（-，X）\colon C^{op}\设置\hookrightarrow类别$ 格罗森迪克建造的地图切片类别 $C/X公司$ .相应的腓骨 $C/X\至C$ 也被称为可代表的纤维类别.

例子

（切片类别和箭头类别）
对于 $\数学{S}$ 任何类别，让

\马查尔{宋体}_{(-)}\，\冒号\，\数学{S}\长向右箭头猫

成为伪函子它发送

一个对象 $B\，\in\，\mathcal｛S｝$ 到切片类别 $\马查尔{宋体}_{/B}$ ,
一同构 $f\冒号B\至B'$ 在左边基本更改函子 $f！\，\冒号\，\mathcal{C}（C）_{B} \到\马塔尔{C}（C）_{/B'}$ 邮寄-作文在里面 $\数学{C}$ .

这个格罗森迪克建筑在这个函子上是箭头类别 $\数学{S}^{I}$ 属于 $\数学{S}$ :

\数学{S}^{I}\;\;\;\西马克\;\;\;\文本样式{\int}_{B\in\mathcal{S}}\马查尔{宋体}_{/B}\马特拉普{\，.}

这很容易通过展开定义来实现。在对模型类别的Grothendieck构造（此处：切片模型类别和函子的模型结构)例如，在Harpaz&Prasma（2015），高于Cor.6.1.2.

相应的格罗森迪克纤维也被称为共结构域纤维化，先验光学纤维.

但如果 $\数学{S}$ 拥有所有拉回，然后还有逆变的伪函子

\马查尔{宋体}_{(-)}\，\冒号\，\数学{S}^{op}\向右长箭头猫

它发送

一个对象 $B\，\in\，\mathcal{S}$ 到切片类别 $\马查尔{宋体}_{/B}$ ,
一同构 $f\冒号B\至B'$ 到基本更改函子 $f^\ast\，\colon\，\mathcal{C}（C）_{B'}\到\马塔尔{C}（C）_{/B}$ 由提供拉回在里面 $\数学{C}$ .

相应的（逆变）Grothendieck结构仍然是箭头类别属于 $\数学{S}$ ，但现在作为格罗森迪克纤维（代替或更确切地说：除了作为手术纤维化)超过 $\数学{S}$ 。这通常是该术语的默认含义共结构域纤维化.

Exp略有变化。:

例子

（尖片类别和收缩空间）
让 $\数学{S}$ 成为一个包含所有内容的类别推出并考虑伪函子

\大（\mathcal{宋体}_｛（-）｝\big）^｛\ast/｝\，\冒号\，\数学{S}\长向右箭头猫

它发送

一个对象 $B\，\in\，\mathcal{S}$ 到类别指向的对象在中切片类别 $\马查尔{宋体}_{/B}$ ,
一同构 $f\冒号B\至B'$ 到函子 $f！\；\冒号\；\大（\mathcal{宋体}_{/B}\big）^{\ast/}\to\big（\mathcal{宋体}_｛/B'｝\big）^｛\ast/｝$ 它构成了推出属于回缩图表:

相应的格罗森迪克建筑也是已知的（至少当 $\数学{S}$ 被视为“空间”的一个类别） $\马查尔{宋体}_{\mathcal{R}}$ 第页，共页“伸缩空间“在中 $\数学{S}$ :

\马查尔{宋体}_{\mathcal{R}}\;\;\;\西马克\;\;\;\int_{B\in\mathcal{S}}\大(\马查尔{宋体}_{/\mathcal{B}}\大）^{\ast/}\,.

这很容易遵循定义，但也可参见Braunack-Mayer（2021年），第1.15页;Hebesterit，Sagave&Schlichtkrull（2020），Lem。2.14，其中这是模型类别表示的切线 $\英菲$ -类别的单纯定位第页，共页） $\数学{S}$ .

在替代方案中，Exp。:

例子

（交换切片类别和切线类别）对于 $\数学{S}$ 一个类别有限极限，让

Ab\大(\马查尔{宋体}_{/(-)}\大）\；\；\结肠\；\；\数学{S}^{op}\长向右箭头猫

成为逆变的伪函子它发送

任何对象 $B\in\mathcal公司{S}$ 到类别 $Ab\大（\mathcal{宋体}_{/B}\大）$ 属于阿贝尔的组对象内部的到切片类别 $\马查尔{宋体}_{/B}$
任何同构 $f\冒号B\至B'$ 到基本更改函子 $f^\ast\colon Ab\big（\mathcal{宋体}_{/B'}\big）\到Ab\big（\mathcal{宋体}_{/B}\大）$ 由提供拉回在里面 $\数学{C}$ （其中保存组对象).

这个格罗森迪克建筑在这个函子上可以称为切线类别属于 $\数学{S}$ .

工具书类

格罗森迪克建筑起源于：

亚历山大·格罗滕迪克第六章第8节：Revétements Etales et Groupe Fondamental-Séminaire de Gémeterie Algébrique du Bois Marie 1960/1961年(SGA 1号机组)、LNM224施普林格（1971）[更新版本，由M.雷诺德评论：arxiv.0206203年]

审查：

安吉洛·维斯托利第3.1.3节：Grothendieck拓扑、纤维类别和下降理论，单位：基本代数几何——格罗森迪克的FGA解释、数学调查和专著123阿默尔。数学。社会学（2005）1-104[国际标准图书编号：978-0-8218-4245-4,数学。AG/0412512]

更多教科书说明：

弗朗西斯·博尔塞克斯，第8.3节：范畴代数手册，第2卷：类别和结构数学及其应用百科全书50剑桥大学出版社（1994）(doi:10.1017/CBO9780511525865)
皮特·约翰斯通，第A1.1.7、B1.3.1节：大象素描(2002)
尼尔斯·约翰逊,邱唐纳（Donald Yau），第10章：二维类别，牛津大学出版社2021(arXiv:2002.06055年6月,doi:10.1093/oso/9780198871378.001.0001)

一般性调查浓缩的-,内部-和 $\英菲$ -范畴理论（另请参见浓缩的-和 $\英菲$ -格罗森迪克建筑):

王梁泽,丰富、内部和∞范畴理论中的格罗森迪克结构，华盛顿大学博士论文（2019年）[pdf格式,pdf格式]

这个几何实现格罗森迪克建筑的

R.W.托马森,小类别类别中的同伦结肠炎，数学。程序。剑桥菲洛斯。Soc.85（1979），第1期，91109。

Grothendieck结构的左伴随在

乔治·马尔锡炎,格罗森迪克同伦

关于Grothendieck结构中的极限和共鸣：

安德烈·塔莱基,罗德·M·伯斯托尔,约瑟夫·高根,计算语义的一些基本代数工具：第3部分。索引的类别，理论计算机科学912 (1991) 239-264 [doi:10.1016/0304-3975（91）90085-G]

单形集而非群胚的模拟在

Gijs Heuts公司,列克·莫尔迪克,左腓骨和同伦性结肠炎(arXiv公司：1308.0704).

另请参见

A类模型类别Grothendieck结构的介绍参见模型类别的Grothendieck构造.

关于Grothendieck建筑作为结肠松弛包括（另请参阅（无穷大，1）-Grothendieck构造)

大卫·格普纳,鲁恩·豪森,托马斯·尼古拉斯,松弛性结肠炎和游离腓骨 $\英菲$ -类别(arXiv:1501.02161)

在强化格罗森迪克建筑:

乔纳森·比尔兹利,王梁泽,丰富的格罗森迪克建筑，数学进步，344(2019) 234-261 [arXiv:1804.03829,doi:10.1016/j.aim.2018.12.09]
乔纳森·比尔兹利,王梁泽,手术神经、相关神经与Grothendieck结构，范畴理论与应用，3413 (2019) 349-374 [塔克：34-13]

A类单体的版本：

乔·默勒,克里斯蒂娜·瓦西拉科波卢,单体Grothendieck结构, 2019 (arXiv:1809.00727)

上次修订时间：2024年1月9日19:46:23。请参阅历史获取所有贡献的列表。