n实验室Gabriel–Ulmer对偶

这个想法

Gabriel–Ulmer二元性说有一个等效属于2类（或者换句话说，a双当量)

哪里莱克斯是以下两类：

• 小的有限完备范畴,

• 有限极限$\:$ 保存 仿函数、和

• 自然变换,

LFP是

• 局部有限可表示范畴,

• 有限的正确的 伴随函子和

• 自然变换.

想法是一个物体$Lex中的C\$可以被认为是本质代数理论，其类别为模型 $Lex（C，集合）$Gabriel–Ulmer对偶说，这类模型是局部有限可表示的，所有LFP类别都是这样出现的，我们可以恢复理论$C类$从它的模型类别来看。其他类别的理论也有类似的二重性，例如正规理论.

Gabriel–Ulmer对偶的一个版本丰富范畴理论被证明是马克斯·凯利（参见LackTendas公司). 让$\数学{V}$是一个对称单体闭完备和余完备范畴，它是局部有限可表示为闭范畴的。那么让$\数学{V}$-$莱克斯$是有限完全的2范畴$\数学{V}$-类别($\数学{V}$-具有有限加权极限的范畴），有限极限保持$\数学{V}$-函子，和$\数学{V}$-自然转化，以及$\数学{V}$-$LFP公司$局部有限可表示的2-范畴$\数学{V}$-类别，右伴随$\数学{V}$-保持过滤性结肠炎的函子，以及$\数学{V}$-自然转化。那么就有了双重等效性

例如，在真值-丰富的情况下，二元性介于满足半格和代数格.

加布里埃尔-尤默二元性是2-楚建筑,$楚（猫，套装）$.

工具书类

原始来源为：

• 彼得·盖布瑞尔,弗里德里希·乌尔默,Lokal Paresenierbare Kategorien公司施普林格数学讲稿221柏林，1971年。

双等效性的仔细讨论和证明见

• 吉里·阿达梅克汉斯·伯哈德·波尔斯特，拟变分的代数理论，J.代数208（1998）第379-398页。

Gabriel-Ulmer对偶的一些其他一般处理（以及对其他学说):

• C.Centazzo，E.M.维塔尔,与极限学说相关的二重性《理论与应用》。类别的10第20期，2002年，486–497，pdf格式

• 斯蒂芬·莱克,约翰·鲍尔,Gabriel–Ulmer对偶和Lawvere理论在一般基础上得到了丰富,pdf格式

• M.Makkai先生,A.皮特斯,关于局部有限可表示范畴的一些结果，事务处理。阿默尔。数学。Soc公司。299(1987), 473-496,MR88a:03162,国防部,pdf格式

有关二维模拟，请参阅Makkai 2010年演讲中的幻灯片：pdf格式

使用的正式分类帐户KZ理论可以在中找到

• 伊万·迪·利贝蒂,福斯科·洛雷吉,2-范畴中的可访问性和可呈现性，《纯粹与应用代数杂志》227.1（2023）(arXiv:1804.08710)

关于Gabriel–Ulmer二重性和相关二重性的讨论丰富范畴理论看见

• 斯蒂芬·莱克,贾科莫·腾达斯,丰富的规则理论，J.纯应用。藻类。226，第6号（2020）106268(arXiv:1907.02301,doi:10.1016/j.jpaa.2019.106268)

这讨论了（见定理2.1）Kelly关于$五$-丰富的类别，其中$五$是一个封闭的对称单体范畴，其基础范畴$V_0（V）$局部小、完全和余完全，参见

• 马克斯·凯利,在丰富的上下文中由有限极限定义的结构、Cahiers de Topologie et Géométrie Différentiele catégoriques，23第1期（1982年），第3-42页，MR648793型,编号

将Gabriel–Ulmer对偶扩展为Cauchy-complete公司 氏族和局部有限可表示范畴配备了一种行为良好的弱因子分解系统看见

• 乔纳斯·弗雷,家族的二重性：加布里埃尔·尤默二重性的精化(arXiv:2308.11967年)

对于到的连接塔纳卡对偶理论见

• nCafé讨论在这里

• 布莱恩·代伊,丰富的塔纳卡对偶、JPAA108（1996）第17-22页，MR97d:18008年 国防部

为了讨论$\英菲$-有限完备和幂等完备之间的Gabriel-Ulmer对偶$（\infty，1）$-范畴和局部有限可表示$（\infty，1）$-类别见此MO讨论.