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想法

所谓的巴纳赫-塔斯基悖论是定理通过巴纳赫和塔斯基1924说的是选择公理意味着任何两个有界子集在里面欧几里德空间属于维 $第3天$可以通过有限数成对同余的子集.

这被视为悖论由于它的反直觉解释，如果将第二个有界子集作为不相交联合第一个的两个副本：在这种情况下，定理直观地说，在3d中可以分解任何形状欧几里德空间到有限数这样，重新组装这些碎片不仅可以得到原始形状，还可以得到两个完整的副本。

已经指出，这不仅仅是使用选择公理这是造成这种感觉的原因悖论，也包括基于点的概念拓扑空间因此，请参阅讨论在无点拓扑中 在下面.

在无点拓扑中

这是由辛普森2012巴纳赫-塔斯基悖论消失了无点拓扑，因此具有区域设置而不仅仅是拓扑空间:

我们将感兴趣的空间视为区域设置，“部分”的概念是由次定位,$[\cdots]$.每个拓扑空间确定区域设置 $[\cdots]$然而，当空间被视为区域设置时次定位产生了空间的新“部分”，它们不仅是子集，而且不需要由它们的点来确定。

避免了常见的矛盾$[$这种方式$]$Vitali、Banach和Tarski定义的分区中的不同部分相互交织在一起。根据我们对“部分”的概念，两个这样交织在一起的部分并不是不相交的，所以加法不适用。对不相交性失败的一个直观解释是，尽管两个这样的块没有共同点，但它们仍然重叠在将相邻点连接在一起的拓扑“胶水”上。

工具书类

原文：

• 斯特凡·巴纳赫,艾尔弗雷德·塔斯基,综合布线是指各方相互尊重的一致性，数学基础6(1924) 244–277 [pdf格式]

教科书帐户：

• Cornelia Druţu,迈克尔·卡波维奇，第17章：几何群论，学术讨论会出版物63，AMS（2018）[国际标准图书编号：978-1-4704-1104-6,pdf格式]

另请参见：

• 维基百科，巴纳赫-塔斯基悖论

中的讨论无点拓扑:

• 亚历克斯·辛普森,测量、随机性和子位置《纯粹逻辑与应用逻辑年鉴》16311 (2012) 1642-1659 [pdf格式,doi:10.1016/j.apal.2011.12.014]