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定义

阿提尼亚环

每戒指 $对$有一个规范$对$-$对$-双模结构，具有左动作 $\alpha_L:R\次R\到R$和正确的行动 $\alpha_R:R\乘以R\到R$定义为上的乘法二进制操作$对$和偏置 $\alpha:R\次R\次R至R$定义为上的三元乘积$对$:

让$\数学{双面理想}（R）$成为双边理想范畴在里面$对$，其对象是双边理想 $我$在里面$对$,子-$对$-$对$-双模块属于$对$关于上的正则双模结构$对$和谁的态射是$对$-$对$-双模单态.

双边理想的下降链$对$是一个逆序列中的双边理想$对$，一个序列双边理想$A： \mathbb{N}\to\mathrm{TwoSidedIdeals}（R）$具有以下功能相依序列属于$对$-$对$-双模单态性：对于自然数$n\in\mathbb{n}$，一名家属$对$-$对$-双模单态$i_n:A_{n+1}\hookrightarrow A_{n}$.

A类戒指 $对$是阿提尼安人如果它满足下降链状态关于它的双边理想：对于双边理想的每个下降链$（A，i_n）$在里面$对$，存在一个自然数$m\in\mathbb{N}$对于所有自然数$n \geq米$，的$对$-$对$-双模单态$i_n:A_{n+1}\hookrightarrow A_{n}$是一个$对$-$对$-双模同构.

左侧Artinian环

让$\数学{LeftIdeals}（R）$属于左翼理想在里面$对$，其对象是左翼理想 $我$在里面$对$，左下角-$对$-的模块$对$关于规范左侧模块结构$（-）\cdot（-）:R\次R\到R$在$对$和谁的态射是左边的$对$-模单态。

左理想的下降链$对$是一个逆序列中的左理想$对$，一个序列左派理想$A： \mathbb{N}\to\mathrm{LeftIdeals}（R）$具有以下功能相依序列左侧的$对$-模单态：对于自然数$n\in\mathbb{n}$，一个左翼家属$对$-模单态性$i_n:A_｛n+1｝\hookright箭头A_｛n｝$.

A类戒指 $对$是左Artinian如果它满足下降链状态关于它的左理想：对于左理想的每个下降链$（A，i_n）$在里面$对$，存在一个自然数$m\in\mathbb{N}$对于所有自然数$n \geq米$，左边$对$-模单态$i_n:A_{n+1}\hookrightarrow A_{n}$是左边的$对$-模块同构。

右侧Artinian环

让$\数学{RightIdeals}（R）$属于正确的理想在里面$对$，其对象是正确的理想 $我$在里面$对$，子右-$对$-的模块$对$关于规范右侧模块结构$（-）\cdot（-）:R\次R\到R$在$对$和谁的态射是正确的$对$-模单态。

右理想的下降链$对$是一个逆序列正确的理想$对$，一个序列正确的理想$A： \mathbb{N}\to\mathrm{RightIdeals}（R）$具有以下功能相依序列右侧的$对$-模单态性：对于自然数$n\in\mathbb{n}$，从属权利$对$-模单态$i_n:A_{n+1}\hookrightarrow A_{n}$.

A类戒指 $对$是右Artian如果它满足下降链状态关于它的右理想：对于右理想的每个下降链$（A，i_n）$在里面$对$，存在一个自然数$m\in\mathbb{N}$对于所有自然数$n \geq米$，右边$对$-模单态$i_n:A_{n+1}\hookrightarrow A_{n}$是一项权利$对$-模块同构。

属性

在一个阿提尼安环中$对$这个雅各布森根 $J（右）$是幂零的.左Artian环是半本原的当且仅当零理想是唯一的幂零理想。

Artian环和Noetherian环

双重条件是noetherian：诺特环是理想上满足升链条件的环。如果考虑幺正环，对称性将被严重破坏：例如，每个幺正亚丁环都是诺以太环。对于逆，有一个强条件：左（酉）环$对$是左翼阿提尼安的iff$R/J（右）$是半单的$_R Mod（R模式）$和雅各布森根$J（右）$是幂零的。直观地说，Artinian环比一般的noetherian环小得多。

另请参阅

• Artinian双模

• 阿提尼安天体?

交换环	缩径环	积分域
局部环	约化局部环	局部积分域
阿提尼亚环	半单环	领域
Weil环	领域	领域

工具书类

• Stacks项目

  • 10.100. Artinian环上的平坦度准则