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想法

$抗体$表示类别属于abel群：它有阿贝尔群物体和群同态在这些之间作为态射.

阿贝尔群的典型例子是群$\矩阵{Z}$整数，对于许多目的来说，考虑$抗体$与模块类别结束$\矩阵{Z}$

类别$抗体$作为基础浓缩中的类别同调代数.那里Ab富集类别扮演与设置-丰富的类别(本地小类别)一般情况下玩。

在这种情况下$抗体$在里面同伦理论–或者更确切地说，在稳定同伦理论–是的类别光谱，或视为稳定同伦范畴或者更精确地说稳定（无穷大，1）-谱范畴.谱很像阿贝尔群相干的 同伦和典型阿贝尔群的作用$\矩阵{Z}$是由演奏的吗球形光谱 $\mathbb｛S｝$.

属性

自由阿贝尔群

直和、直积和张量积

我们讨论了阿贝尔群范畴上二元运算的基本性质：直接产品,直接和和张量积。中的以下单、双单体结构我们将这些结构置于更抽象的上下文中。

请参阅阿贝尔群的张量积了解详细信息。

对称单、双单体结构

根据上述定义和属性直接和等。我们有以下产品

很容易看出，在直接和或张量积下，Ab可以转化为对称单体范畴为其配备合适的编织图。例如，在$\奥普拉斯$，编织是$\σ{A，B}（A，B）=（B，A）$.

指向的对象

$抗体$是一个单体范畴具有张量单位 $\矩阵{Z}$，所以指向的对象在里面$抗体$是物体$A类$用一个群同态 $\mathbb{Z}\到A$.

闭单体结构

阿贝尔群是等价的$\矩阵{Z}$-模块。因为类别$R（右）$-模块 $模式_R$对所有人来说都是闭单胞的为交换环 $R（右）$,$Ab=Mod_{\mathbb{Z}}$也是闭的单体。

自然数对象

这个自然数对象在里面$抗体$是自由阿贝尔群 $\mathbb{Z}[\mathbb{N}]=\bigoplus_{N\in\mathbb2{N}}\mathbb{Z}$上自然数，并带有组同态$z_0:\mathbb{z}\to\mathbb2{z}[\mathbb{N}]$和$z_s:\mathbb{z}[\mathbb2{N}]\to\mathbb{z}[\mathbb{N}]$对于所有阿贝尔群$A类$和群同态$f： \mathbb{Z}\到A$,$g： A\至A$，存在唯一的群同态$\phi_{f，g}:\mathbb{Z}[\mathbb{N}]\到A$使下图通勤：

阿贝尔群是$\矩阵{Z}$-模块，所以免费$\矩阵{Z}$-模块$\mathbb{Z}[\mathbb{N}]$有一个函数$v： \mathbb{N}\to\mathbb2{Z}[\mathbb{N}]$代表基础属于$\mathbb{Z}[\mathbb{N}]$; 它具有以下属性：对于所有整数$m\in\mathbb{Z}$,$m \cdot v（0）=z0（m）$以及所有人$n\in\mathbb{n}$,$m\cdot v（s（n））=z_s（m\cdotv（n）$，其中$m\cdot v型$是元素的标量乘法$五$乘以一个整数$米$在一个$\矩阵{Z}$-模块。

这个戒指上的结构$\mathbb{Z}[\mathbb{N}]$由double定义归纳在$\mathbb{Z}[\mathbb{N}]$，我们定义

通过

对所有人来说$m、 n\in\mathbb{Z}$和$v、 w\in\mathbb{Z}[\mathbb{N}]$（回顾附加在中自然数，归纳定义为$0（p）+0（q）=0（p\cdot q）$,$s（m）+0（p）=s（m+0（p））$,$0（p）+s（n）=s（0（p$、和$s（m）+s（n）=s（s（m+n））$对所有人来说$p、 q\in\mathbb{1}$和$m、 n\in\mathbb{n}$). 它是一个交换环和表示中的乘法多项式环 $\矩阵{Z}[X]$; 群同态$z0（零）$表示将整数转换为常数多项式的函数，以及$z秒$表示取多项式并乘以不确定项的函数$X（X）$.

浓缩$抗体$

类别丰富结束$抗体$被称为预加类别或者有时只是添加类别。如果它们满足一个额外的精确条件，则称为阿贝尔范畴。请参阅加法范畴与阿贝尔范畴.

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