内容

想法

概念$2$-向量空间应该是一个分类的概念向量空间像在“分类”游戏中一样，这需要我们深入思考一个普通的向量空间到底是什么，然后尝试对这个概念进行分类。

什么是向量空间？

向量和向量空间在数学中至少扮演三个不同的概念角色：

1. 向量是数字列这就是向量空间在量子力学、线束部分、初等线性代数等中出现的方式。

2. 向量是空间方向这类向量空间通常是某些全局结构的无穷小数据，例如流形的切线空间、李群的李代数等。

3. 向量是模块在底座上戒指/领域.

第一个可能被认为是激发了

• 卡普兰诺夫·沃沃茨基$2$-向量空间

第二个概念是

• Baez-Crans公司$2$-向量空间

第三个概念是

• $2$-模块.

卡普兰诺夫-沃沃德斯基$2$-向量空间

这些是在Kapranov&Voevodsky 1991年.

这里的想法是，正如向量空间可以被视为模块超过地面磁场 $k个$，一个$2$-向量空间$周$应该是类别这是一个单体范畴模在适当的单体范畴 $V（V）$它起着分类地面场的作用。然后有一个明显的二分类这些模块类别的。

事实上，卡普兰诺夫和沃沃德斯基定义了一个卡普兰诺夫-沃沃德斯基$2$-向量空间作为阿贝尔人$\兽医$-模块类别等效于$\检查^n$对一些人来说$n个$.

虽然这个定义很有意义，但它并没有给出2-向量空间的抽象特征。也就是说，简单地将2向量空间定义为等价于$检查^n$.

因为卡普拉诺夫-沃沃德斯基$2$-向量空间将向量空间的概念分类为系统的“状态空间”，它们是$2$-向量空间，位于扩展TQFT的右侧（来自更高级的函子合作主义类别到更高的向量空间）。

Kapranov–Voevodsky的一个例子$2$-向量空间是$代表（G）$，类别表示有限群的$G公司$.

Baez–起重机$2$-向量空间

这些在Baez&Crans 2004年.

A类Baez–起重机$2$-向量空间定义为类别内部到兽医他们将向量的概念归类为“空间方向”，并在考虑无穷小方向结构的，例如在更高的谎言理论事实上，（例如，从Dold-Kan定理Brown和Higgins），严格欧米伽范畴内部到$\兽医$在非负度上等价于链式络合物，可以被视为严格的$圆盘（k）$-$\英菲$-模块。这使我们可以设想同调代数许多结构出现在谎言理论–例如$L_\输入$-代数，因为$\英菲$-向量空间。将链式复合体视为$\英菲$-向量空间在概念上有助于理解链复合体上某些结构的含义，当然链复合体本身非常适合用$\英菲$-它们等价的向量空间。（另请参阅下面关于2-向量空间不同概念的注释。）

他们也被独立介绍和研究弗雷斯特·巴克（2004）.

$2$-模块和$2$-作为代数和双模的线性映射

可以从一个统一的角度构想Kapranov–Voevodsky和Baez–Crans类型的2-向量空间。即，通过考虑地面磁场自身作为离散范畴我们可以将其视为单体范畴.A型$圆盘（k）$-模范畴是一个范畴，它的对象空间和形态空间都是$k个$-模–普通向量空间！–使所有结构形态（源、目标、身份、组成）都尊重$k个$-动作&因此是线性映射。这些是内部类别$\兽医（_k）$它们等价于集中在0度和1度的向量空间的链复数。

换言之，贝兹起重机$2$-向量空间可以被认为是卡普拉诺夫-沃沃德斯基（Kapranov–Voevodsky）$2$-向量空间，如果人们通过简单地将地面场视为离散的单体范畴来“分类”地面场。

对于$V（V）$一般对称闭单体范畴全部的双类别单体范畴模结束$V（V）$通常很难控制，但更容易控制的是亚二分类，它可以被称为$V（V）$-模块有基础即类别$V-Mod（V型）$在某种意义上丰富范畴理论具有

• 对象是类别$C$ 浓缩过 $V（V）$，被认为是其类别的占位符模块,$模式C：=[C，V]$

• 态射$C至D$是双模块 $C^{op}\otimes D\到V$;

• $2$-形态是自然变换。

请注意，所有$V（V）$-类别$模式_C$的模块$V（V）$-类别$C$都是天生的张量的结束$V（V）$因此单体范畴模结束$V（V）$类似于向量空间$周$（a）$k个$-模块）通过查找集合来配备基础$S公司$这样的话$W \ simeq[S，k]$，我们可以想出一个将军单体范畴模 $周$结束$V（V）$通过提供等效 $W \simeq[中，V]$，对于一些$V（V）$-类别$C$在这个意义上$V-Mod（V型）$是的类别$V（V）$带基的2-向量空间。

本页上的所有示例都是此示例的特例。

$\兽医$-丰富的类别

根据上述a$兽医$-富集类别 $C$可以被视为$兽医$-模块$Mod_C=[C，Vect]$.A型$兽医$-丰富的类别只是一个代数体。如果它只有一个对象，则为代数和$模式_C$是代数上常见的模类。

请注意，根据森田当量，两个代数（代数体）具有等价的模范畴，因此可以视为同一代数的不同基$\兽医$ $2$-向量空间，如果它们是Morita等价的。

$兽医$-2向量空间的模型出现在

• 雅各布·卢里，拓扑场论的分类(pdf格式)（参见示例1.2.4）

• B.托恩，G.Vezzosi，关于Chern特征、循环空间和导出代数几何的一个注记, (arXiv公司，第6页）

$2$-代数亚二范畴中的向量空间($兽医$-单对象的丰富范畴）、双模块和交织器在

• U.Schreiber，AQFT来自$n个$-功能QFT(arXiv公司)（附录A）

和

• U.Schreiber和K.Waldorf，非阿贝尔gerbes的联系及其完整性(arXiv公司)

关于这一点的一些博客讨论位于Trodheim中的2-矢量.

$Ch（兽医）$-丰富的类别

更一般地，可以用向量空间的复数替换向量空间，并考虑$Ch（Vect）\修改$作为$2$-类别$2$-向量空间（带基）：其对象为dg-类别.

它在

• B.托恩，G.Vezzosi，关于Chern特征、循环空间和导出代数几何的注记, (arXiv公司，第6页）

从$检查\修改$到$Ch（Vect）\修改$有必要很好地理解2-矢量束截面的高带轮，即高相干带轮。

再论Kapranov–Voevodsky 2-向量空间

进一步限制$\检查\修改$到基为离散范畴，即一组$S公司$（或$兽医$-丰富的类别超过$S公司$它只有地面磁场对象位于的每个元素上$S公司$)一个到达$兽医$-表单的模块

（其中$千^n$表示对角线的代数$n次n$-矩阵）。这些就是卡普拉诺夫-沃沃德斯基$2$-向量空间。

埃尔格塔$2$-向量空间

中给出了2-向量空间的另一个概念，其中也包括Kaparanov–Voevodsky作为特定实例

• Josep Elgueta，广义2-向量空间与广义线性2-群(arXiv公司)

其思想是将向量空间的构造归类为任意集合中元素的有限线性组合的空间$S公司$。而不是$S公司$，我们现在从任何类别开始$C$，先免费$k个$-线性类别由生成$C$，然后完成此操作。卡普兰诺夫-沃沃德斯基$2$-向量空间在以下情况下恢复$C$是离散的。在某些情况下，这会导致非贝拉主义甚至非贝拉-卡鲁比亚语（即非幂等完备）范畴。例如，当我们将$C$由自然数的加法幺半群定义的单目标范畴。这个类别生成的2向量空间可以用free类别来标识$k【T】$-模块，这是非Karoubian的。

无穷维K-V 2-向量空间

我们可以把$n个$-多维卡普拉诺夫-伏伏德斯基$2$-向量空间$检查^n$–它们是$n个$-向量空间的元组&作为有限集上的向量束$n个$元素。这对任何拓扑空间上的向量丛都有明显的推广——就模而言，这些模是该空间上连续函数代数的有限生成投影模。因此，向量丛的范畴可以看作是无穷维2-向量空间。对于底层拓扑空间是测量空间在

• John C.Baez、Aristide Baratin、，劳伦特·弗雷德尔德里克·怀斯，2-群的无限维表示(arXiv公司)

使用模张量范畴

模块类别作为2-向量空间模型的相关性显然是在共形场理论，其中单体类$V（V）$有疑问的是模张量范畴Victor Ostrik的结果表明全部的 $V（V）$-模块类别相当于$模式_A$对于$A类$某个单一对象$V（V）$-丰富范畴（即$V（V）$)英寸

• V.奥斯特里克，模范畴、弱Hopf代数和模不变量(arXiv公司,博客)

2-模块作为双环上的模块

我们可以更进一步，从更基本的模概念出发，导出带有代数和双模的2-模和2-线性映射的标识2个环。目前请参阅2环–兼容的单体可呈现类别了解更多详细信息。

关于$2$-向量空间

如上表所示，有两种截然不同的向量空间。没有这个2-向量空间的概念是普遍正确的答案。向量空间的不同概念在不同的情况下适用且有用。这可以看作是一个更明显的体现，即已经普通的向量空间以不同的风格出现，在不同的情况下很有用（实向量空间、复向量空间、有限域等）

例如$圆盘（k）$-模块类别对更高级别的谎言理论而是2束光纤$圆盘（k）$-就一般的2-bundle而言，模块类别相对来说比较乏味，因为它们本质上是普通向量bundle的复合体。请参见

• 零。A.巴斯?Marcel Bökstedt、Tore August Kro、，两类丛及其分类空间，J.K-Theory，10（2012）299-369，初步版本见(arXiv公司)

$2$-希尔伯特空间

2-向量空间在很大程度上受到（二维）的启发并应用于量子场论在这种情况下，需要分类的通常不是平面向量空间的概念，而是希尔伯特空间的概念。

2-Hilbert空间作为$\希尔布$-丰富的类别其中描述了一些额外的特性

• 约翰·贝兹，高维代数II:2-Hilbert空间(arXiv公司) .

在应用中，人们通常假设这些2-Hilbert空间是半单形在这种情况下，这样的2-Hilbert空间是Kapranov–Voevodsky$2$-具有额外结构的向量空间。

综述了2-Hilbert空间的这些思想以及2-Hilber空间在有限群表示理论中的应用

• 布鲁斯·巴特利特，有限群的酉2-表示与拓扑量子场论(arXiv公司)

属性

塔纳卡对偶

相关概念

• 向量空间

• 模块类别, (“行为”)

• 2-向量空间,2-表示

  • 2个环

  • 2个月

  • 2-矢量束

  • TwoVect公司是一个用于具有2-向量空间的计算机代数的Mathematica软件包

• n向量空间

工具书类

作为$n个$-向量空间的元组

2-向量空间的概念是$n个$-向量空间的元组是由于

• 米哈伊尔·卡普拉诺夫,弗拉基米尔·沃沃德斯基,$2$-范畴与Zamolodchikov四面体方程在里面代数群及其推广：量子和无穷维方法，宾夕法尼亚州大学公园（1991）（编辑：W.J.Haboush和B.J.Parshall），Proc。交响乐。纯数学。56（Amer.Math.Soc.，Providence RI 1994），第177-259页[pdf格式]

作为2项链复合体

2-向量空间作为2-项的概念链状复合体是由于

• 约翰·贝兹,Alissa S.Crans公司，第3条，共3条：高维代数VI：李2-代数，提奥。应用。承押记人。12(2004) 492-528 [arXiv:数学/0307263]

并用于

• 马格努斯·弗雷斯特·巴克,交叉模的表示$类别^1$-组，博士论文U.Wales Bangor（2004）[pdf格式]

作为二模之间的代数

具有两个线性映射的2-向量空间的概念，作为具有两个模的代数（包含Kapranov&Voevodsky 1991年作为代数的特例直和的地面磁场)是由于

• Urs Schreiber公司第§A条：来自n-functional QFT的AQFT、Commun。数学。物理学。291(2009) 357-401 [arXiv:0806.1079,doi:10.1007/s00220-009-0840-2]

按照前面的讨论

• Urs Schreiber公司,特隆赫姆的2-矢量(2006)

• Urs Schreiber公司,2向量丛上Trondheim和Kro、Baas和Bökstedt的拓扑(2007)

它是在

• Urs Schreiber公司,康拉德·沃尔多夫第4.4条：非阿贝尔Gerbes上的联系及其完整性，理论应用。类别。，2817 (2013) 476-540 [arXiv:0808.1923号,电话号码：28-17]

并进一步发展成为2-矢量束（通过代数束和它们之间的双模束）：

• 彼得·克里斯特尔,马蒂亚斯·卢德维格,康拉德·沃尔多夫,代数丛的阴险二范畴[arXiv:2204.03900]

本质上，同样的概念也出现在，显然是独立的：

• 丹尼尔·弗里德,迈克尔·霍普金斯,雅各布·卢里,康斯坦丁·特勒曼，第7.1条和第2.13条：紧李群的拓扑量子场论[arXiv:0905.0731]

该概念在BDSPV15，但不引用它。

另请参阅

• 物理学几何学:物理几何-模块

关于2个模块的部分。

进一步讨论

审查内容包括

• 布鲁斯·巴特利特,克里斯托弗·道格拉斯,Chris Schommer-Pries公司,杰米·维卡里,2-向量空间的族，附录A：模范畴作为三维bordism 2范畴的表示[arXiv:1509.06811]

2模块的另一个定义2个环（更多信息请参见此处）已加入

• 亚历山德鲁·奇瓦西托,西奥·约翰逊-弗雷德,仿射2-格式的基本原群《应用分类结构》，第21卷，第5期（2013年），第469-522页。(内政部,arXiv公司：1105.3104)

治疗2表示法属于李2-群在中

• 甄欢，李2-群和2-向量丛的2-表示(arXiv:2208.1042)