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想法

一般来说$\英菲$-代表是一个∞-作用的高等代数中某个对象上的结构较高类别高达相干的 同伦也有人提到同伦前的表示或者也许sh-演示.

我们激发了$\英菲$-通过回忆最初的一些范畴论表现的普通概念的各个方面，然后引入类比（∞，1）-范畴理论概念。

表示为函子

回忆一下$G公司$一离散群具有去循环 广群 $\马特布夫{B} G公司=（G\stackrel{\to}{\to{）$，以及$k个$Vect公司的类别向量空间s（在一些基础上领域 $k个$)，普通线性表示第个，共个$G公司$是等价的函子秒

这样的函子接受$\马特布夫{B} G公司$到某个向量空间$V（V）$并接受每个态射$（*\stackrel{g}{\to}*）$在里面$\马特布夫{B} G公司$由元素标记$g \单位g$到线性自同构 $\ρ（g）：V至V$这样才能尊重组成和身份。我们有一个范畴的等价性

这里是类别$Vect公司$可以被其他类别取代，而不必阿贝尔范畴或者说是线性的。例如，如果我们选择类别设置本身，然后是函子

就是所谓的置换表示.英寸拓扑结构一个人对以下内容的表示感兴趣顶部

（然而，几乎不足以将它们视为1-范畴的函子$顶部$相反，为了谈论拓扑纤维束s和fibrations，我们需要考虑顶部这里作为（∞，1）-范畴并尊重$\rho:\mathbf{B} G公司\到顶部$作为（∞，1）-函子。这是我们下面要讨论的∞-表示)

此外，我们可能会更换$\马特布夫{B} G公司$由一个更一般的广群。对于$K（K）$任意广群，函子

称为的线性表示$K（K）$。现在，它不仅选择单个向量空间$静脉注射$，但只有一个向量空间$V_x（_x）$对于每个对象 $x\单位：K$.以及每个态射$（x\stackrel{g}{to}y）$在里面$K（K）$被分配了一个线性地图 $\ρ（g）：V_x\到V_y$.

例如，如果$K=\Pi_1（X）$是基本广群的歧管 $X（X）$，然后是表示

是一个向量束结束$X（X）$具有平的 捆绑上的连接.

我们甚至不需要假设$K（K）$这是一个广群。例如，如果$天$是一个有向图（或颤动)和$F（D）$它的路径类别，然后是函子

称为颤动-代表$天$.

因此，原则上可以说是函子

作为“箭矢排列表示法”，但在实践中似乎没有太多使用这个术语。然而，这些例子确实表明表示和，共函子.

2-拓扑中作为态射的结构化表示

更一般地说，我们可以说保留额外结构的表示，例如光滑结构。例如$G公司$一李群我们有这个$\马特布夫{B} G公司$是一个李广群：中的对象（2,1）-拓扑属于（2,1）-滑轮超过网站 $C类=$ CartSp公司或$C=$ 差异.

我们也可以推广该类别Vect公司到这个$(2,1)$-topos，通过将其替换为堆栈 $VectBund公司$，分配给每个测试歧管$U\在C中$光滑的广群向量束s结束$U型$.然后是一个态射

在中（2,1）-拓扑 $Sh_{（2,1）}（C）$是一个平滑表示属于$G公司$线性自同构$\ρ（g）：V至V$平稳地依赖于这一点$g \单位g$.

我们可以通过应用全局部分函子$\γ：Sh_{（2,1）}（C）到Grpd$。这是通过评估终端对象 ${*}\（C）$，这只是普通的指向，被视为smmoth流形。

这将生成底层的裸表示

相反，人们发现将这样一个空表示从点扩展到中的所有测试空间$C类$相当于给它配备平滑的结构。

和以前一样，这并不局限于有联系的对象：我们可以替换$\马特布夫{B} G公司$这里有任何李广群。例如$X（X）$一光滑歧管和$\马特布夫{P} _1个（十）$是平滑的路径类群代表

因为2-拓扑中的同态是向量束在$X（X）$具有捆绑上的连接或者，如果我们考虑非线性表示

是一个$G公司$-主束具有捆绑上的连接在$X（X）$。请参阅平行运输获取更多详细信息和参考。

只需更改网站在这里，我们可以实现其他几何结构。例如$G公司$一个代数群我们可能会想到$\马特布夫{B} G公司$作为代数堆栈比如说fppf-site公司结构$C=CAlg_k^{op}$关于交换的形式对偶$k个$-代数或类似的。

在这种情况下，有一个众所周知的很好的概括$VectBund公司$：不只是向量束，我们可以将其完成视为准相干带。它们的堆栈是（2,1）-拓扑由提供

右边是的群胚模块s结束$A类$。说到这里，这又是一个$k个$-模块，因此a向量空间因此是一种表示

代数群的表示$G公司$在向量空间上。

但在这里，我们也可以允许所表示的结构具有多个对象。例如$X（X）$任何方案被视为$Sh_{（2,1）}（C）$的表示$X（X）$在…的背景下$质量控制$是一个态射

相当于a拟相干束上的模块（共个）$X（X）$如前所述，我们可以将其视为分配给$X（X）$一个表示空间，仅限于方案中的表示空间$X（X）$没有任何形态会对这些产生作用。

但更普遍的是$K（K）$一个代数堆栈，表示

分配给每个点$K_0公司$一个表示空间，使这些模块粘合在一起，形成一个准相干的模块束，并连接到每个模块同构在里面$K（K）$如前所述，对应表示空间之间的同构。

类似的建筑可用于更一般的场地，我们可以有效地$C类$成为相反类别属于$T型$-Lawvere理论上的代数对于$T型$任何代数理论包含以下理论阿贝尔群例如，如果我们采取$T型=$ CartSp公司我们又回到了前面讨论的顺利案例。

还要注意，如果我们以站点为重点，$C=*$然后它上面的滑轮只是集合，上面的堆栈只是裸群胚，所以我们在一开始就恢复了讨论。

$\英菲$-陈述

我们在上面已经发现，术语“表示”在很大程度上与术语“具有余域的（2,1）-拓扑中的同态-模堆栈”一致。

这种表示的思维方式直接概括为高等范畴理论尤其是（∞，1）范畴理论/同伦理论.

首先再次简单讨论一下这一点$\英菲$-有用的模块是（∞，1）-范畴 $Ch_\项目符号（k）$那就是提出了由链状络合物的模型结构.

如果再次$G公司$是一个离散群，然后是（∞，1）-函子（等价地：“强同伦五函子”或“同伦相干函子”，详见此处）

受让人

• 对…的唯一敬意$\马特布夫{B} G公司$连锁复合体$V_\项目符号$;

• 到组元素$g \单位g$连锁图$\rho（g）：V_\bullet\到V_\bullet$;

• 到一对组元素$g、 g’$链同伦论

  $\rho（g，g'）：\rho（g'）\circ\rho$;

• 到群元素的三元组之间同伦的同伦$\ρ（g，g’），\rho（g，g''）$和$\ρ（g'，g''）$等等

  （请参阅以下位置的图表群上同调了解更多细节）。

换句话说，这很像$G公司$与之前在普通向量空间上一样，现在只有$\ρ$仅保留高达相干的 同伦因此，人们也谈到同伦之前的表示(阿巴德·克雷尼克)以及强同伦表示以及许多其他变体。

和以前一样，原则上没有理由将自己局限于这里的群像表示。对于$K（K）$任何∞-广群甚至是（∞，1）-范畴（回忆一下颤动表示）和$国防部$任何（∞，1）-范畴属于$\英菲$-模块（例如提出了由操作数上代数上模的模型结构)我们可以叫（∞，1）-函子

一个$\英菲$-代表$K（K）$.

如果我们想考虑$\英菲$-概括置换表示我们还可以考虑更一般的密码子$（\infty，1）$-类别。例如，如果我们∞Grpd自身，然后是$\英菲$-置换表示

被称为（∞，1）-预处理。对于$K（K）$这个去循环普通集团或轨道类别的拓扑群，从表示的角度来看，这是真实的，例如等变上同调和等变同伦理论。请注意，通过同伦假说-定理我们有一个（∞，1）-范畴的等价性

因此，上述内容相当于（∞，1）-函子

因此字面意思是同伦前的表示在古典意义上同伦理论.

和以前一样，所有这些都可以从一点提升到（∞，1）-拓扑es来装备概念$\英菲$-用几何结构表示（代数结构、光滑结构等）

在路径群胚的表示和丛上的连接之间存在上述关系的类似物。有关更多信息，请参阅高级并行传输一般来说，在每个局部∞连通（∞，1）拓扑 $\矩阵{H}$有一个概念基本∞-广群 $\矩阵{P}（X）$任何对象的$X（X）$.代表$\mathbf{\Pi}（X）$定义通用摘要平坦微分上同调和本地系统上的$X（X）$，通常也在非贝拉上同调（有关更多属性和示例，请参阅此处）。

例如dg-几何是对（∞，1）-拓扑超过（∞，1）-位置形式对偶的dg-代数s.这也是规范∞-堆栈

在这个网站上，但是现在$A Mod系列$表示∞-广群（或（∞，1）-范畴如果我们进行更全面的讨论）链式复合体配备有结构的模块关于dg-代数$A类$.

对于$X（X）$任何∞-堆栈然后是态射

是等效的拟相干∞叠加上的模块（共个）$X（X）$，或一个$\英菲$-用“dg-代数结构”表示。

如果其中一个替换$X（X）$就在这里de Rham堆栈 $X_{dR}$然后dg-代数$\英菲$-表示

是D模块上的$X（X）$.

关于这些高级范畴结构的讨论表象理论在中(本·兹维纳德勒).

$n个$-陈述

如果密码子$国防部$是一个（∞，1）-范畴那只是一个（n，1）-类别（全部k态射s的$k \gt n$是有效的身份）然后$\英菲$-表示称为$n个$-代表。这些是同伦之前的表示从哪个角度$n个$所有同伦实际上都是恒等式：$n个$-截断的同伦表示。

一如既往高等范畴理论，低的情况$n个$更具限制性，但通常会接受更易于驾驭的详细分析和构建。

2-的表示2组和Lie 2-群s的各种变体2-向量空间例如(施赖伯,BaezBaratin FreidelWise公司和其他地方）。

与以下情况类似$n=1$，2-陈述$\马特布夫{P} _2（X） \至2 Vect$光滑的路2-广群的光滑歧管描述2束上的连接。有关详细信息，请参阅此处。

定义

同伦类型理论

在一般抽象上下文中同伦型理论我们可以定义$\英菲$-表示如下。

对于$\数学函数｛H｝$一个（∞，1）-拓扑，让$组中的G（\mathbf{H}）$成为组对象在里面$\矩阵{H}$，因此∞-组.然后切片（∞，1）-拓扑 $\马特布夫{高}_{/\mathbf{B} G公司}$在其上去循环是（∞，1）-范畴属于∞-动作属于$G公司$

因此可能是“非线性”的$\英菲$-陈述。（请参阅∞-作用详细信息）。A正品（线性）$\英菲$-然后表示为阿贝尔∞群中的对象$法案（G）$.

相关概念

• （∞，1）-模丛

• 行动,∞-作用

• 模块,∞-模块

• 表示,$\英菲$-代表

  • 2-表示,

• 相关联束,关联∞束

工具书类

2-的表示2组和Lie 2-群s，如字符串2组在2-向量空间中讨论了

• Urs Schreiber公司,AQFT来自$n个$-功能QFT

  (arXiv:0806.1079)（附录）

• 约翰·贝兹阿里斯蒂德·巴拉丁、劳伦特·弗雷德尔、德里克·怀斯，2-群的无穷维表示(arXiv:0812.4969)

2和3表示的参考路径n-广群s位于高级并行传输.

$\英菲$-的陈述群胚和李代数体上的$（\infty，1）$-链配合物的种类在术语下进行了讨论同伦之前的表示在里面

• 卡米洛·阿里亚斯·阿巴德,马吕斯·克雷尼奇,李群胚的同伦表示和Bott谱序列(arXiv公司)

关于拟相干的讨论$\英菲$-堆栈和D模块表象理论例如，在

• 大卫·本·兹维,大卫·纳德勒,

  复杂群的特征理论(arXiv:0904.1247)

  循环空间和表示(arXiv:1004.5120)