n实验室无限作用

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高等代数

\阵列{\光盘&\stackrel{\longrightarrow}{\stackrel{\longlightarrow}{\stackrel}\longright箭头}{\longhrightarrow{}}}&V\倍G\倍G&\stackrel{\longrightarrow}{\stackrel{\longlightarrow}{\longrightarrow{}&V\倍G&\stackrel{\overset{\rho}{\longrightarrow}}{\underset{p1}{\longrightarrow{}&V（V）\\&&\downarrow&&\ downarror&&\向下箭头\\\光盘&\stackrel{\longrightarrow}{\stackrel{\longlightarrow}{\stackrel}\longright箭头}{\longhrightarrow{}}}&G次G&\stackrel{\longrightarrow}{\stackrel{\longlightarrow}{\longrightarrow{}&G公司&\stackrel{\overset{}{\longrightarrow}}{\underset{}}{\ longright箭头}}&* }

构成广群对象的态射 $V\slash G\到*\slash G$ .

这个（∞，1）-范畴这些操作中的一部分是groupoid对象 $*\S间隙G$ 在这些对象上。

有一个等效的公式，它没有引用（∞，1）范畴中的广群对象明确地。这是基于基本事实，在∞-组，那个去耦构成（∞，1）-范畴的等价性

\mathbf{B}:Grp（\mathbf{H}）\to\mathbf{H}^{*/}_{geq1}\,.

形式将对象分组到（∞，1）范畴中到（∞，1）-范畴属于有联系的指向的对象在里面 $\矩阵{H}$ .

提议

每 $\英菲$ -行动 $\rho:V\乘以G\到V$ 具有分类态射 $\马特布夫{c}_\rho:V\slash G\to\mathbf{B} 克$ 其中有一个光纤序列

\阵列{V（V）\\\向下箭头\\V\slash G&\stackrel{上划线{\rho}}{\to}&\mathbf{B} 克}

这样的话 $\ρ$ 是 $G公司$ -上的操作 $V（V）$ 被视为相应的 $G公司$ -主∞束由调制 $\上划线{\rho}$ .

这允许描述 $\英菲$ -以以下方便的方式进行操作。请参见(NSS公司)以进行详细讨论。

定义

对于 $V\in\mathbf{H}$ 一个对象，一个 $G公司$ - $\英菲$ -行动 $\ρ$ 在 $V（V）$ 是一个光纤序列在里面 $\矩阵{H}$ 表单的

\阵列{V&\到&V\slash G\\&&\向下箭头^{\mathrlap{\overline{\rho}}}\\&&\马特布夫{B} 克}\,.

这个（∞，1）-范畴属于 $G公司$ -中的操作 $\矩阵{H}$ 是切片（∞，1）-拓扑属于 $\数学函数｛H｝$ 结束 $\马特布夫{B} 克$ :

行为{\mathbf{H}}（G）\;\冒号\；\马特布夫{高}_{/\mathbf{B} 克}\,.

备注

至少在特殊情况下 $\mathbf{H}\，=\，Grpd_\infty$ ，这也可以理解为“基本定理 $\英菲$ -拓扑理论“，请参阅那里。对于模型类别-演示另请参阅Borel模型结构——与单纯分类空间上切片的关系.

备注

A类 $\rho\在Act_{mathbf{H}}（G）中$ 对应于表示的一个态射 $\上划线{\rho}:V\slash G\to\mathbf{B} 克$ 在里面 $\矩阵{H}$ 因此成为一个物体 $\上划线{\rho}\in\mathbf{高}_{/\mathbf{B} 克}$ .

形态 $\φ：\rho1\至\rho2$ 在里面 $行为{\mathbf{H}}（G）$ 对应于图表

\阵列{V_1\slash G&&\stackrel{}{\to}&&V_2\slash G\\&{}{\mathllap{\overline{\rho1}}\searrow&&\swarrow{\mathrlap{\ overline}}}\\&&\马特布夫{B} 克}

在里面 $\矩阵{H}$ .

备注

捆绑包 $\上划线{\rho}$ 在定义中。是普遍的 $\ρ$ -相关 $V（V）$ -光纤∞束.

备注

以定义的形式。 $\英菲$ -动作在内部语言属于同伦型理论：a $G公司$ -上的操作 $V（V）$ 只是一个从属类型结束 $\马特布夫{B} 克$ 带光纤 $V（V）$ :

*：\mathbf{B} 克\vdash V（*）：类型\,.

高等表征理论中的概念

我们讨论一些基本的表象理论概念 $\英菲$ -行动。

总之，对于 $\mathbf{c}:\mathbf{B} 克\vdash V（\mathbf{c}）：类型$ …的动作 $G公司$ 在 $V（V）$ ，我们有

这个相依和

$\vdash\sum_{\mathbf{c}:\mathbf{B} 克}V（\mathbf{c}）：类型$

是商 $V\slash G公司$ 属于 $V（V）$ 通过 $G公司$ ;
这个从属产品

$\vdash\prod_{\mathbf{c}:\mathbf{B} 克}V（\mathbf{c}）：类型$

是的集合不变性(同伦不动点)活动的。

对于 $V_1、V_2$ 我们有两个行动

这个从属产品超过依赖的函数类型

$\vdash\prod_{\mathbf{c}:\mathbf{B} 克}（V_1（\mathbf｛c｝）\到V_2（\mathbf｛c｝））：类型$

是的集合 $G公司$ -同态( $G公司$ -等变的地图）；
这个相依和超过依赖的函数类型

$\vdash\sum_{\mathbf{c}:\mathbf{B} 克}（V_1（\mathbf{c}）\到V_2（\mathbf{c{））：类型$

是商属于全部的功能 $V_1至V_2$ 由共轭作用属于 $G公司$ .

不变式

定义

这个不变性(同伦不动点)的 $G公司$ - $\英菲$ -行动 $\ρ$ 是部分态射的 $V\slash G\to\mathbf{B} 克$ ,

不变量（V）=\prod_{\mathbf{B} 克\到*}（V\slash G\to\mathbf{B} 克)\,,

哪里 $\产品{\mathbf{B} 克\到*}:\mathbf{高}_{/\mathbf{B} 克}\to\mathbf{H}$ 是直接图像的基变换几何态射.

在同伦型理论语法对于

\mathbf{c}:\mathbf{B} 克\vdash V（\mathbf{c}）：类型

言语中的行为，其类型为不变性是从属产品

\vdash\prod_{\mathbf{c}:\mathbf{B} 克}V（\mathbf｛c｝）：类型\,.

备注

这是内部极限在里面 $\矩阵{H}$ 的内部示意图

\rho\colon\mathbf{B} 克\到类型\,.

请参阅内部极限–示例–同伦不变量.

共变量/商

来自定义。我们宣读：

定义

这个商的 $G公司$ -行动

\mathbf{c}:\mathbf{B} 克\vdash V（\mathbf｛c｝）：类型

是从属总和

\vdash\sum_{\mathbf{c}:\mathbf{B} 克}V（\mathbf{c}）：类型\,.

备注

这是内大肠杆菌在里面 $\矩阵{H}$ 的内部示意图

\rho\colon\mathbf{B} 克\到类型\,.

请参阅内部极限–示例–同伦硬币变体.

共轭作用

备注

按定义。和基本事实切片（∞，1）-拓扑，的（∞，1）-范畴 $行为{\mathbf{H}}（G）$ 是一个（∞，1）-拓扑尤其是笛卡尔闭（∞，1）范畴.

我们在这里描述了笛卡尔乘积和内部hom属于 $\英菲$ -以这种方式给出的操作。以下陈述基本上是同伦型理论.

提议

对于 $动作（G）中的（V_1，\rho_1），（V_2，\rho2）$ 他们的笛卡尔乘积是一个 $G公司$ -对产品的作用 $第1版$ 具有 $第2版$ 在里面 $\矩阵{H}$ .

证明

让

\阵列{V_i到&V_i\slash G\\&&\向下箭头^｛\bar\rho_i｝\\&&\马特布夫{B} 克}

成为主∞-丛展示这两个动作。

按照在局部笛卡尔闭范畴我们发现了 $第（G）幕中的（V_1，\rho_1）次（V_2，\rho2）$ 在中给出 $\矩阵{H}$ 由（∞，1）-回拉

\总和{B} 克}\条形图\rho_1\times\巴\rho2\西马克V_1\slash G\times_{\mathbf{B} 克}V_2\slash G型

在里面 $\矩阵{H}$ ，产品作用由主∞束

\阵列{V_1\时间V_2&\到&V_1\刷新G\times_{\mathbf{B} 克}V_2\slash G型\\&&\向下箭头^{\mathrlap{\overline{\rho_1\times\rho_2}}}\\&&\马特布夫{B} 克}\,.

这里是同伦纤维左侧标识为 $V_1\乘以V_2$ 通过使用它（∞，1）-极限互相通勤。

提议

对于 $\动作（G）中的rho_1，\rho_2$ 他们的内部hom $[\rho_1，\rho_2]\在Act_{mathbf{H}}（G）中$ 是一个 $G公司$ -对的操作内部hom $[V_1，V_2]\in\mathbf{H}$ .

证明

采集光纤

pt_{mathbf{B} 克}^*：\mathbf{高}_{/\mathbf{B} 克}\to\mathbf｛H｝

是反像的etale几何态射，因此是笛卡尔闭函子（请参见示例有关详细信息，请参见。因此它可以保存指数对象:

\开始{对齐}pt_{mathbf{B} 克}^*[\bar\rho_1，\bar\rro_2]&\西马克[pt_{\mathbf{B} 克}^*\bar\rho_1，pt_{\mathbf{B} 克}^*\bar\rho_2]\\&\模拟[V_1，V_2]\结束{对齐}\,.

备注

上述内部活动

\阵列{[V_1，V_2]&\到&V_1\slash G\times_{\mathbf{B} 克}V_2\slash G型\\&&\向下箭头^{\mathrlap{\上划线{[\rho_1，\rho_2]}}\\&&\马特布夫{B} 克}

对共轭作用属于 $G公司$ 在 $[V_1，V_2]$ 通过前后组合功能 $V_1至V_2$ 使用 $G公司$ -上的操作 $第1版$ 以及 $第2版$ 分别是。

另请参阅共轭作用如下所示。

同态的内部对象

备注

这个不变量，定义。共轭作用的支撑。是行动吗同态（另请参阅示例-共轭作用.)

因此

定义

对于 $\bar\rho_i:V_i\slash G\to\mathbf{B} 克$ 二 $G公司$ -操作同态对象是

\产品{\mathbf{B} 克\到*}[\bar\rho_1，\bar\rro_2]\在\mathbf{H}中\,.

在语法属于同伦型理论

\vdash\prod_{\mathbf{c}:\mathbf{B} 克}V_1（\mathbf{c}）到V_2（\mathbf{c{）：类型\,.

稳定器总成

请参阅稳定器总成.

线性化

我们讨论线性化属于 $\英菲$ -使用公理的操作差异凝聚力.

让 $0\colon\ast\到V$ 成为指向的物体.

让 $G公司$ 成为 $\英菲$ -作用于的组 $V（V）$

\阵列{垂直向右箭头和垂直/G\\&&\向下箭头\\&&\马特布夫{B} 克}

这样，此操作保留了 $V（V）$ ，即该点是不变量活动的。这意味着有一个升力，如

\阵列{\ast&\stackrel{0}{\longrightarrow}&V&\longright箭头&V/G\\&\searrow&&\nearrow&\向下箭头\\&&\ast&\longrightarrow&\mathbf{B} 克}

这反过来意味着通过稳定器组 $Stab_G（0）$

\阵列{\ast&\longrightarrow&\mathbf{B} 刺_G(0)\\\向下箭头&\近行&\向下箭头&\searrow\\\马特布夫{B} 克&\longrightarrow&V/G&\longlightarrow&\mathbf{B} 克}

（使用左态射是1-同态和右态射a1-单态).

接下来是粘贴法下图中的顶部方块是同伦拉回

\阵列{\ast&\右箭头&\ast/G\\{}^{\mathllap{0}}\向下箭头&&\向下箭头\\垂直向右箭头和垂直/G\\\向下箭头&&\向下箭头\\\ast&\longrightarrow&\mathbf{B} 克}

表明 $G公司$ -对的操作 $V（V）$ 限制点上的琐碎操作 $0$ 属于 $V（V）$ .

现在让我们 $\int{inf}$ 表示无穷小形状模态。由于它保留了顶部同伦回调，因此应用正交分解系统( $\int{inf}$ -等价物，形式etale态射)到顶部的垂直态射产生了形式的同伦回缩的粘贴图

\阵列{\ast&\右箭头&\ast/G\\\向下箭头&&\向下箭头\\\mathbb{D}^V_0&\longrightarrow&\mathbb{D}^V_0/G\\\向下箭头&&\向下箭头\\\向下箭头&&\向下箭头\\垂直向右箭头和垂直/G\\\向下箭头&&\向下箭头\\\ast&\longrightarrow&\mathbf{B} 克}

哪里 $\矩阵{D}^V_0$ 是无穷小磁盘围绕 $0$ 在里面 $V（V）$ .

这里是笛卡尔子图

\阵列{\mathbb{D}^V_0&\longrightarrow&\mathbb{D}^V_0/G\\\向下箭头&&\向下箭头\\\ast&\longrightarrow&\mathbf{B} 克}

因此展示了 $G公司$ -上的操作 $\矩阵{D}^V_0$ .

任何 $G公司$ -无穷小圆盘上的作用是线性作用，由同态给出 $G到GL（V）\coloneqq\mathbf{Aut}（\mathbb{D}^V_0）$ 到自同构无穷群的无穷小磁盘，的一般线性群的切线空间属于 $V（V）$ 位于0。

示例

集合上的离散组操作

作为最简单的特例，我们讨论了离散群作用于套(“置换表示”）是从上述一般抽象概念中恢复出来的。

写入Grpd公司对于（2,1）-类别属于群胚，的完全子（无穷大，1）范畴属于∞Grpd上1-截断对象.

我们写作

X_\bullet=（X_1\stackrel{\longrightarrow}{\longlightarrow}X_0）

对于广群对象通过显式选择对象集和语态给出，然后写入 $Grpd中的X$ 对于它在 $(2,1)$ -类别。鉴于任何此类情况 $X$ ，我们通过选择任何本质满射函子 $S至X$ （一）地图集)在一组中 $S公司$ （视为广群）和背景

X_\bullet=（S\sunderset｛X｝｛\times｝S\stackrel｛\longrightarrow｝｛\longrightarrow｝S）

因此采取 $S公司$ 作为对象集同伦纤维制品属于 $S公司$ 就这样结束了 $X$ 作为态射集。

对于 $G公司$ 一离散群，然后 $\马特布夫{B} 克$ 表示广群提交人 $（\mathbf{B} 克)_\项目符号=（G\stackrel{\longrightarrow}{\longlightarrow}\ast）$ 具有作文组中产品给出的操作。在两种可能的识别方法中，我们同意使用

\阵列{&&\最后\\&｛｝^｛\mathllap｛g_1｝｝\nearrow&&\searrow ^｛\mathllap｛g_2｝｝｝\\\ast&&\ underset｛g_1\cdot g_2｝｛\longrightarrow｝&&\ ast}\,.

定义

给定离散群 $G公司$ 和一个行动 $\ρ$ 属于 $G公司$ 在上设置 $S公司$

\rho\冒号S\次G\右长箭头S

然后是相应的作用广群是

（S//G）_\项目符号\上校（coloneq）\左(S次G\stackrel{\overset{p1}{\longrightarrow}}{\underset{\rho}{\lengrightarror}}S公司\右侧）

具有作文由中的产品给出 $G公司$ 。因此物体属于 $S公司$ 是的元素 $S公司$ 和形态 $s\stackrel{}{\右箭头}t$ 由元素标记 $g \单位g$ 并且是这样的 $t=\rho（s）（g）$ .

示意图：

（S//G）_\项目符号=\左\{\阵列{&&\rho（s）（g）\\&{}^{\mathllap{g_1}}\nearrow&&\searrow^{\mathrlap{c_2}}\\s&&\underset{g_1g_2}{\longrightarrow}&&\rho（s）（g_1g_2）}\右\}\,.

例子

为了独特和琐碎 $G公司$ -对单例集的操作 $\上一次$ ，我们有

\ast//G\simeq\mathbf{B} 克\,.

这表明：

提议

在定义的情况下。，存在群胚的标准态射

（p\rho）_\项目符号\；\冒号\；（S//G）_\bullet\longrightarrow（\mathbf{B} 克)_\子弹

在上面的演示中，它忘记了对象的标签，是语态标签上的同一性。

这个态射是一个异构化.

提议

对于 $G公司$ 一离散群，给定两个 $G公司$ -行动 $\rho_1$ 和 $\ρ2$ 在集合上 $S_1号机组$ 和 $S_2号机组$ ，则有一个自然对等在动作集之间同态(“交织器”) $\rho_1到rho_2$ ，被视为只具有同一态射的群胚，并且hom广群的片 $组{/\mathbf{B} 克}$ 在他们之间动作群通过道具中的贴图在切片中观察。

G动作（\rho_1，\rho_2）\西马克组{/\mathbf{B} 克}（p{\rho1}，p{\rro2}）\,.

证明

查看此信息的一个快速方法是使用，通过以下网址的讨论切片（无穷大，1）-类别，那个块状群在切片中由同伦拉回无片断的家庭群体

\阵列{组{/\mathbf{B} 克}（p_｛\rho_1｝，p_｛\rho_2｝）&\长向右箭头&Grpd（S_1//G，S_2//G）\\\向下箭头&（pb）&\向下箭头^{\mathrlap{Grpd（S_1//G，p_{\rho_2}）}}\\\ast&\stackrel{}{\longrightarrow}&Grpd（S_1//G，\mathbf{B} 克)}\,.

从现在起 $（p_{\rho_2}）_\项目符号$ 是一个异构化，也是 $Grpd（（S_1//G）_\项目符号，（p_{\rho_2}）_\bullet）$ 因此，这被计算为普通回调（在上面的演示中）。这反过来又提供了霍姆塞特在1-分类切片中。这由函子组成

\phi_\bullet\colon（S_1//G）_\bullt\longlightarrow（S_1//G）_\ bullet

它严格保留了 $G公司$ -形态上的标签。这些显然是交织在一起的。

\phi_\项目符号\;\冒号\；\左(\阵列{秒\\\向下箭头^{\mathrlap{g}}\\\ρ（s）（g）}\右侧）\地图\左(\阵列{\φ（s）\\\向下箭头^{\mathrlap{g}}\\\φ（\rho（s）（g））&=}\右侧）\,.

提议

这个同伦纤维属性中的同态。是相等的到集合 $S公司$ ，被视为只具有同一态射的群胚，因此我们有一个同伦纤维序列表单的

\阵列{S&\向右长箭头&S//G\\&&\向下箭头^{\mathrlap{p\rho}}\\&&\马特布夫{B} 克}\,.

证明

在演示文稿中 $（S//G）_\项目符号$ 定义的。, $p\rho$ 是一个异构化，道具。因此同伦纤维属于 $p\rho$ 相当于普通纤维 $（p\rho）_\项目符号$ 在1-群胚的1-范畴中计算。自 $（p\rho）_\项目符号$ 是本演示中语素标签上的恒等式，这个普通纤维就是 $（S//G）_\项目符号$ 只包含同一态射，因此集合是 $S公司$ 被视为广群。

相反，下面的构造从这种形式的群胚的同伦纤维序列中提取群作用。

定义

给定同源纤维序列属于群胚表单的

\阵列{S&\stackrel{i}{\longrightarrow}&E（&E）\\&&\向下箭头^{\mathrlap{p}}\\&&\马特布夫{B} 克}

这样的话 $S公司$ 是相等的到设置 $S公司$ ，定义一个 $G公司$ -行动如下所示。

考虑一下同伦纤维制品

S\underset{E}{times}S\stackrel{\overset{}{\longrightarrow}}{\underset{}}{\ longright箭头}}S公司

属于 $我$ 和它自己。由粘贴法应用于全同伦拉回图

\阵列{S\underset{E}{\times}S&\右箭头&S\\\向下箭头&&\向下箭头^{\mathrlap{i}}\\S&\stackrel{i}{\longrightarrow}&E（&E）\\\向下箭头&&\向下箭头^{\mathrlap{p}}\\\ast&\longrightarrow&\mathbf{B} 克 }\;\;\;\;\西马克\;\;\;\;\阵列{S\times G&\stackrel{p_1}{\longrightarrow}（&S）\\\向下箭头&&\向下箭头\\G&\stackrel{}{\longrightarrow}&\ast\\\向下箭头&&\向下箭头\\\ast&\longrightarrow&\mathbf{B} 克 }

有一个规范群胚的等价性

S\sunderset｛E｝｛\times｝S\simeq S\times G

这样，从光纤产品到 $S公司$ 是对第一个因素的预测。这个其他我们表示的这个等价下的映射 $\ρ$ :

S次G\stackrel{\overset{p1}{\longrightarrow}}{\underset{\rho}{\lengrightarror}}S公司\,.

备注

函子 $i冒号S到E$ 神采奕奕基本上是满腹的（每个连接的组件 $E类$ 在其映射下有一个同构纤维 $\马特布夫{B} 克$ ). 这意味着 $E类$ 由介绍

E_\bullet\coloneqq（S\underset{E}{times}S\stackrel{\overset{p_1}{\longrightarrow}}{\underset{p_2}{\lengrightarror}}S）

因此，通过def中的构造。，由

E_\bullet\simeq（S\times G\stackrel{\overset{p_1}{\longrightarrow}}{\underset{\rho}{\lengrightarror}}S）\,.

但这已经展示了 $E类$ 作为作用广群尤其是男人 $\ρ$ 真的是一个行动:

提议

形态 $\ρ$ 在定义中构造。是一个 $G公司$ -行动因为它满足了动作属性，也就是说图表（第页，共页套)

\阵列{S\次G\次G&\stackrel{（id，（-）\cdot（-））}{\longrightarrow}&S\次G\\\向下箭头^{\mathrlap{（\rho，id）}}&&\downarrow^{\mathrlap}}\\S\times G&\stackrel{\rho}{\longrightarrow}（&S）}

通勤.

提议

对于 $G公司$ 一离散群，有一个范畴的等价性

G动作（组）\stackrel{\simeq}{\longrightarrow}（Grpd_{/\mathbf{BG}}）_{\leq0}

在类别之间置换表示属于 $G公司$ 和完整的子类别切片（2,1）-类别属于Grpd公司结束 $\马特布夫{B} 克$ 上0-截断对象.

此等效对其作用广群.

证明

通过备注动作拟群的构造是基本上是满腹的.通过道具。它是完全忠实.

$\英菲$ -中的组操作 $\英菲$ -地形

让 $\矩阵{H}$ 成为（∞，1）-拓扑然后让 $组中的G（\mathbf{H}）$ 成为∞-组在里面 $\矩阵{H}$ .

以下列出了一些基本类的示例 $\英菲$ -的操作 $G公司$ 和其他规范 $\英菲$ -小组。通过讨论在上面这些动作可以由分类态射给出。

微不足道的行动

考虑一下étale几何态射

行为{\mathbf{H}}（G）\coloneqq\马特布夫{高}_{/\mathbf{B} 克}\stackrel{\覆盖{p^*\coloneqq（-）\times\mathbf{B} 克}{\leftarrow}}{\underset{}{\to}}\矩阵{H}\,.

定义

对于 $V\in\mathbf{H}$ 任何对象微不足道的行为属于 $G公司$ 在 $V（V）$ 是 $p^*V\在Act_{mathbf{H}}（G）中$ ，由分裂的光纤序列显示

\阵列{V&\到&V\次\mathbf{B} 克\\&&\向下箭头\\&&\马特布夫{B} 克}\,.

基本行动

这个正确的 $\英菲$ -行动属于 $G公司$ 其本身由光纤序列给出

\阵列{G公司\\\向下箭头\\*&\到&\mathbf{B} 克}

哪些展品 $\马特布夫{B} 克$ 作为去耦属于 $G公司$ .

G\slash G\simeq公司*\,.

伴随作用

光纤序列

\阵列{G公司\\\向下箭头\\\数学｛L｝\mathbf{B} 克&\stackrel{ev_*}{\to}&\mathbf{B} 克}

由自由循环空间对象 $\数学{L}\mathbf{B} 克$ 表现出较高的伴随作用属于 $G公司$ 自身：

G\slash公司_{广告}G\simeq\mathcal{L}\mathbf{B} 克\,.

有关此的更多信息，请参阅分类空间的自由循环空间.

自同构作用

定义

对于 $V\in\mathbf{H}$ 任何对象，都有内部的规范动作自同构无穷群 $\矩阵{Aut}（V）$ :

\阵列{V（V）\\\向下箭头\\V\slash\mathbf{Aut}}

共轭作用

我们讨论的是笛卡尔闭范畴属于 $G公司$ -套（G-置换表示)的 $G公司$ 普通人离散群作为内部hom的简单说明 $\英菲$ -动作、道具。.

此示例完整地列出了组件中的所有内容：

例子

让 $\矩阵{H}=$ ∞Grpd，让 $组内（组内）$ 成为普通人离散群然后让 $五、 \西格玛，X$ 是套配备有 $G公司$ -行动(置换表示).

在这种情况下 $[\西格玛，X]$ 只是一组功能 $f:\Sigma\到X$ 共个集合。它 $G公司$ -行动是 $G公司$ -针对每个 $g \单位g$ 和 $\西格玛$ ，由

g（f）（西格玛）=g（f（g^{-1}（西格马））\,,

（在这里我们一般地写 $克（-）$ 对于参数类型隐式指定的集合上的给定操作）。

因此 $G公司$ -行动

\phi:V\到[\Sigma，X]

是一个函数 $\φ$ 对于所有 $V \以V表示$ , $g \单位g$ 以及所有 $\西格玛$ 我们有

（1）

\φ（g（v））（σ）=g（φ（v）（g^{-1}（σ\,.

另一方面，动作的形态

\psi:V\倍\Sigma\至X

是基础集的函数，因此对于所有这些项，我们都有

\psi（g（v），g（σ））=g（psi（v，σ）

相当于

(2)

\psi（g（v），σ）=g（psi（v，g^{-1}（σ））\,.

的比较（1）和(2)表明身份

\psi（v，σ）\coloneqq\phi（v）（σ）

建立一个自然对等（a）自然双射（在本例中为个集合，共个集合）

行为{\mathbf{H}}（G）（V，[\Sigma，X]）\西马克Act_{mathbf{H}}（G）（V\times\Sigma，X）\,,

展示如何 $[\西格玛，X]$ 确实是内部hom属于 $G公司$ -行动。

备注

一般来说 $G公司$ 一离散∞群我们有一个（∞，1）-范畴的等价性

\infty Grpd_{/\mathbf{B} 克}\西马克\infty函数（\mathbf{B} 克，\infty Grpd）

（由（∞，1）-Grothendieck构造)，因此

行为{\infty Grpd}（G）\西马克\infty函数（\mathbf{B} 克，\infty Grpd）

是（∞，1）-范畴属于∞-置换表示.

一般协方差

让 $X\in\mathbf{H}$ 成为模无限堆叠对于中的字段规范理论或sigma模型.让 $\西格玛\in\mathbf｛H｝$ 是对应的时空或世界卷分别是。

我们有自同构作用，def。

\阵列{\西格玛&\到&\西格玛\slash\mathbf{Aut}（\Sigma）\\&&\向下箭头\\&&\mathbf{B}\mathbf{Aut}（\Sigma）}\,.

切片 $\马特布夫{高}_{/\mathbf{Aut}（\Sigma）}=Act_{\mathbf{H}}（\tathbf{Auto}（\siga））$ 是以下类型的上下文一般协变结束 $\西格玛$ .

打开 $X$ 考虑琐碎的事情 $\mathbf{Aut}（\Sigma）$ -动作，定义。然后是支柱的内孔动作。

[\Sigma，X]\slash\mathbf{Aut}（\Sigma]）\西马克[\Sigma\sslash\mathbf{Aut}（\Sigma），X\times\mathbf{B}\mathbf2{Aut{（\Sigma）]_{mathbf}B}\mathbf{Auto}（\siga）}

是上字段的配置空间 $\西格玛$ 模自同构（微分同构，in平滑内聚力)第页，共页 $\西格玛$ 。这是“一般协变“场论 $\西格玛$ .

半直接产品组

让 $G、 Grp中的A\（\mathbf｛H｝）$ 是0-截断的组对象，并让 $\ρ$ 是…的行动 $G公司$ 在 $A类$ 通过群同态。这相当于 $G公司$ 在 $\马特布夫{B} A类$ ，因此是光纤序列

\阵列{\马特布夫{B} A类&\到&\mathbf{B}（G时间A）\\&&\向下箭头\\&&\马特布夫{B} 克}\,.

相应的作用广群 $（\mathbf{B} A类)\sslash G\simeq\mathbf｛B｝（G\时间A）$ 是对应的半直乘积群.

$G公司$ -模块

定义

对于 $组中的G（\mathbf{H}）$ 这个 $\英菲$ -类别 $G公司$ -模块是

刺（\mathbf{高}_{/\mathbf{B} 克})\simeq Stab（G动作）\,,

这个稳定的 $\英菲$ -类别 $G公司$ -行动。

例子

对于 $G公司$ 和 $A类$ 0-截断组， $A类$ 一个阿贝尔群具有 $G公司$ -模块结构，半直积群 $时间A$ 从在上面展览 $A类$ 作为一个 $G公司$ -定义意义上的模块。.

切片中的操作

考虑一个对象 $B\in\mathbf{H}$ 和一个对象

L\in\mathbf{高}_{/B}

在切片中。通过讨论共轭作用在上面，的自同构∞群属于 $L（左）$ 作为中的对象 $\数学函数｛H｝$ 是从属产品超过自同构∞群 $\马特布夫{自动}_{\mathbf{H}}（L）\in\mathbf{高}_{/B}$ 在切片中。

\马特布夫{自动}_{\mathbf{H}}（L）\上校（coloneq）\底部｛B｝｛\prod｝\mathbf｛Aut｝（L）\英寸\mathrm｛Grp｝（\mathbf｛H｝）\,.

由附加从它的回拉到切片自同构群有一个典型同构

\ε\结肠B^\ast\mathbf{B}\mathbf{自动}_{\mathbf{H}}（L）\长向右箭头\mathbf{B}\mathbf}Aut}（L）\,.

因此，规范 $\矩阵{Aut}（L）$ -上的操作 $L（左）$ 在切片中拉回以给出一个动作 $B^\ast\mathbf{自动}_{\mathbf{H}}（L）$ 在 $L（左）$ :

\阵列{L（左）&\长向右箭头&L//（B^\ast\mathbf{自动}_{\mathbf{H}}（L））&\长向右箭头&L//\mathbf{Aut}（L）\\\向下箭头&&\向下箭头&&\向下箭头\\\上一次&\长向右箭头&\马特布夫{B} B类^\ast\mathbf{自动}_{\mathbf{H}}（L）&\堆叠箭头&\mathbf{B}\mathbf}Aut}（L）}

提议

基础 $B^\ast\mathbf{自动}_{\mathbf{H}}（L）$ -上的操作 $L（左）$ 是一个 $\马特布夫{自动}_{\mathbf{H}}（L）$ -上的操作

X\coloneqq\underset{B}{sum}L

和

\底部｛B｝｛\sum｝\left（L//B^\ast\mathbf｛自闭症｝_{\mathbf{H}}（L）\右）\;\模拟\；X//\mathbf{自动}_{\mathbf{H}}（L）

证明

应用 $\下划线{B}{\sum}$ 到笛卡尔图，该图定义了 $\英菲$ -上的操作 $L（左）$

\阵列{L（左）&\长向右箭头&L//\mathbf{自动}_{\mathbf{H}}（L）\\\向下箭头&&\向下箭头\\\上一次&\长向右箭头&\马特布夫{B} B类^\ast\mathbf{自动}_{\mathbf{H}}（L）}

收益率

\阵列{X&\长向右箭头&\下置{X}{\sum}\左（L//\mathbf{自动}_{\mathbf{H}}（L）\右）\\\向下箭头&&\向下箭头\\B&\长向右箭头&\下划线{B}{\sum}B^\ast\mathbf{B}\mathbf{自动}_{\mathbf{H}}（L）}

它仍然是笛卡尔的，通过这个命题。使用此处左下角的对象等效 $B\simeq\underset{B}{sum}B^\ast（\ast）$ 并形成粘贴使用自然广场的 $（\underset{B}{\sum}\dashv B^\ast）$ -科尼特.

\数组{X&\右长箭头&\下集{B}{\sum}\left（L//\mathbf{自动}_{\mathbf{H}}（L）\右）\\\向下箭头&&\向下箭头\\\底部｛B｝｛\sum｝B^\ast\ast&\长向右箭头&\下划线{B}{\sum}B^\ast\mathbf{B}\mathbf{自动}_{\mathbf{H}}（L）\\\向下箭头&&\向下箭头\\\ast&\longrightarrow&\mathbf{B}\mathbf{自动}_{\mathbf{H}}（L）}\,.

由这个命题这个自然方块也是笛卡尔的。因此粘贴法总矩形为笛卡尔。这展示了 $\马特布夫{自动}_{\mathbf{H}}（L）$ -上的操作 $X=\底集{B}{sum}L$ .

备注

更直观地说，道具。表示形式的切片自同构

\马特布夫{自动}_{\mathbf{H}}（L）=\左\{\阵列{X&&\stackrel{\simeq}{\longrightarrow}&&X\\&{}{\mathllap{L}}\searrow&\swArrow{\simeq}&\swArrow{\mathrlap{L}}\\&&B}\右\}

对…采取行动 $X$ 通过对水平当量的明显限制，

\左\{\阵列{X&&\stackrel{\simeq}{\longrightarrow}&&X}\右\}

形成这个作用的同伦商 $L（左）$ 制造 $L（左）$ 下降同伦商 $X$ 通过这个动作来屈服

\阵列{X//\mathbf{自动}_｛\mathbf｛H｝｝（L）\\\向下箭头^｛\mathrlap｛L//\mathbf{自动}_{\mathbf{H}}（L）}}\\B}\,.

（例如，如果 $B$ 是一个模堆栈对一些人来说前量子n束，那么这说明量子点n-群作用于此会产生更高和预先量化的结果”辛约化“将这些束中的一个束映射到商空间。）

行动的共同分散

让 $\矩阵{H}$ 成为局部（∞，1）-拓扑（例如内聚（∞，1）-拓扑)然后写 $\尖锐的$ 因为它尖锐形态.写入 $\sharp_n（锐化）$ 对于n个图像第页，共页单元.

提议

给定一个∞-组 $G公司$ 在里面 $\矩阵{H}$ 和a $G公司$ -动作，定义。，在一些 $X$ ，然后 $\sharp_n G$ 本身在规范上是 $\英菲$ -具有规范诱导操作的组 $\sharp_n X（锐化_n X）$ 这样投影 $X\至\sharp_n X$ 具有同态的结构 $G公司$ -行动。

我们指出了两个证明，第一个是非初等的（利用Giraud Rezk-Lurie定理)，第二个初级的.（以下这讨论。）

证明

请注意 $\sharp_n（锐化）$ 保存产品，自 $\尖锐的$ 是（作为右伴随)和依据这个命题。现在使用同伦商 $垂直/垂直$ 是实现单纯形对象 $（V/G）_\项目符号=G^{\times_{\项目符号}}\times V$ 。所以申请 $\sharp_n（锐化）$ 由此产生一个简单的对象 $（（\sharp_n V）/（\sharp_n G））_\bullet=（\sharp_n G）^｛\times_｛\bullet｝｝\times（\sharp_n V）$ 它显示了所需的操作。

证明

一般来说，让 $A： B\到类型$ 是任何从属类型家人（说话）同伦型理论). 我们声称有一个诱导家庭 $A^{\sharp_n}:\sharp_{n+1}B\到类型$ 这样的话 $A ^｛\sharp_n｝（\eta_｛n+1｝（b））=\sharp_n（A（b））$ 对于任何 $b： b类$ ，其中 $\eta_{n+1}:B\ to \ sharp_{n+1}B$ 是包含项。在以下情况下应用此选项 $A\至B$ 是 $V/G\至\mathbf{B} 克$ 以及何时 $b条$ 是（必然）这个的基点 $\马特布夫{B} 克$ 给出所需类型的所需操作。

首先，我们有复合材料 $B\xrightarrow{A}类型\xright arrow}类型_{\sharp}$ ，其中 $Type_{\sharp}=\sum_{X:Type}是\sharp（X）$ .自 $类型{\sharp}$ 就是它自己 $\尖锐的$ （自 $\尖锐的$ 是lex），此因素通过 $\锋利的B$ ，给出类型族 $A ^\夏普：\夏普B\到类型{\夏普}$ 这样的话 $A^{\sharp}（\eta（b））=\sharp（A（b）$ 对于任何 $b： b类$ ，其中 $\eta:B\到\尖B$ 是的单位 $\尖锐的$ .

现在修复 $y： \夏普B$ 和 $x： A ^\夏普（y）$ 。对于任何 $b： b类$ 和 $p： \t（b）=y$ ，我们可以定义类型 ${\big\Vert\sum_{（a:a（b））}p_ast（\eta（a））=x\big\ Vert}_n$ 。这是一个 $n个$ -类型，并且由于的类型截断的类型 $n\text（文本）{-}类型$ 是一个 $（n+1）$ -类型，作为的函数 $（b，p）：sum_{b:b}\eta（b）=y$ ，此构造因素通过 $\big\Vert\sum_{b:b}\eta（b）=y\big\Vert_{n+1}$ 因此，对于 $y： \尖锐的B$ 和 $x： A ^\夏普（y）$ 和 $\xi:{\big\Vert\sum_{（b:b）}\eta（b）=y\big\ Vert}_{n+1}$ 我们有一种类型 $P（y，x，\xi）$ ，因此

P\big（y，x，{|（b，P）|}_{n+1}\big）={left\Vert\sum_{（a:a（b））}P_ast（\eta（a））=x\right\Vert}_n。

现在根据定义， $\sharp_{n+1}B\coloneqq\sum_{（y:\sharp B）}{\big\Vert\sum_{$ 因此，我们可以定义 $A^{\sharp_n}:\sharp_{n+1}B\到类型$ 通过 $A^{\sharp_n}（y，\xi）=\sum_{x:A^\sharp（y）}P（y，x，\xi）$ .从那以后 $\eta{n+1}（b）=（eta（b），{|（b，1）}{n+1}）$ ，我们有 $A^{\sharp_n}（eta_{n+1}（b））=\sum_{x:\sharp（A（b）$ ，这是 $\sharp_{n}（A（b））$ 根据定义。

无限：的动作 $L_\输入$ -代数体

请参见李无穷代数体表示.

属性

模型类别演示

在以下背景下几何离散∞-群胚一模型类别结构表示（∞，1）-范畴属于 $\英菲$ -动作是Borel模型结构(80丹麦克朗).

同伦型理论	表象理论
指出有联系的上下文 $\马特布夫{B} 克$	∞-组 $G公司$
从属类型在 $\马特布夫{B} 克$	$G公司$ -∞-作用/∞-表示
相依和沿着 $\马特布夫{B} 克\至\ast$	货币变体/同伦商
上下文扩展沿着 $\马特布夫{B} 克\到\最后$	平凡表示
从属产品沿着 $\马特布夫{B} 克\至\ast$	同伦不变量/∞-群上同调
从属产品属于内部hom沿着 $\马特布夫{B} 克\至\ast$	等变上同调
相依和沿着 $\马特布夫{B} 克\至\mathbf{B} H（H）$	诱导表示
上下文扩展沿着 $\马特布夫{B} 克\至\mathbf{B} H（H）$	限制性陈述
从属产品沿着 $\马特布夫{B} 克\至\mathbf{B} H（H）$	创造表象
光谱对象在里面上下文 $\马特布夫{B} 克$	G作用谱(原始G谱)

工具书类

概述

的操作A-∞代数在一些对称单（∞，1）-范畴在第4.2节中进行了讨论

雅各布·卢里,高等代数

关于 $\英菲$ -上述措施如下：

托马斯·尼古拉斯,Urs Schreiber公司,丹尼·史蒂文森第I§4.1条：主∞束-理论、表示和应用《同伦与相关结构杂志》（2014）[arXiv:1207.0248]
希沙姆·萨蒂,Urs Schreiber公司：第2.2条：真Orbifold上同调[arXiv:2008.01101号]
希沙姆·萨蒂,Urs Schreiber公司：§3.2.3英寸：等变原理 $\英菲$ -束[arXiv公司：2112.13654]

中的讨论同伦型理论:

Ulrik Buchholtz公司,弗洛里斯·范·道恩,埃格伯特·里杰克,同伦类型理论中的高级群，LICS’18：第33届ACM/IEEE计算机科学逻辑年会论文集(arXiv公司：1802.04315,数字对象标识代码：10.1145/3209108.3209150)
乌尔里克·巴赫霍尔茨,关于高群和射影空间的注记, 2016 (pdf格式)

关于将空间上的作用扩展为其上定义的几何结构上的作用：

Severin Bunk公司,卡洛斯·沙巴齐.流形上的高级几何结构与指定上同调的规范理论(2023). (arXiv公司：2304.06633).

对于离散几何体

对于 $\mathbf{H}=\infty Grpd$ 同伦类型覆盖的语句 $B G公司$ 是等价的 $G公司$ -无限作用是（通过Borel模型结构)是由于

E.德罗，威廉·德怀尔,丹尼尔·阚,自同伦等价的等变映射，程序。阿默尔。数学。Soc.80（1980），编号4，670–672(jstor:2043448号)

例如，在

威廉·德怀尔,分类空间的同伦理论，哥本哈根演讲稿（2008年6月）pdf格式

另一种证据是相对类别在中

阿米特·夏尔马，关于同伦理论 $G公司$ -空格，《国际数学与统计发明杂志》，2019年第7卷第2期(arXiv公司：1512.03698,已发布pdf)

同伦纤维序列和同伦作用的密切相关讨论Segal空间位于第5节

马坦·普雷兹玛,同伦法线映射阿尔盖布。地理。白杨。第12卷，第2期（2012），1211-1238。(arXiv:1011.4708,欧几里德：agt/1513715387)

在那里，给出了同态化的条件 $A至B至B$ 到缩减Segal空间有一个固定的同伦光纤，因此编码 $B$ 在那根纤维上。

对于拓扑组的动作

那个 $G公司$ -的操作 $G公司$ 一拓扑群在某种意义上G-空格在里面等变同伦理论（因此与 $G公司$ 不视为几何离散∞-组它的底层同伦型)是中的等效对象切片（∞，1）-拓扑结束 $\马特布夫{B} 克$ 是埃尔门多夫定理以及在本文中强调的事实

查尔斯·雷兹克,整体同伦理论与内聚, 2014

那个

G空格\simeq PSh_\infty（Orb_G）\simeq-PSh_\inffy（Orb_{/\mathbf{B} 克})\西马克PSh_\infty（球）_{/\mathbf{B} 克}

因此是 $\英菲$ -地形全球轨道类别通过 $\马特布夫{B} 克$ .

雷兹克-全局等变同伦论:

内聚（∞，1）拓扑	它的（∞，1）-位置	基（∞，1）-拓扑	它的（∞，1）-位置
整体等变同伦理论 $PSh_\infty（全局）$	全局等变索引范畴 $全球$	∞Grpd $\simeq PSh_\infty（\ast）$	指向
…切片在终端上或显示屏: $PSh_\infty（全局）_{/\mathcal{N}}$	$全球{/\mathcal{N}}$	或显示屏 $PSh_\infty（球）$	全球轨道类别
…切片结束 $\马特布夫{B} 克$ : $PSh_\infty（全局）_{/\mathbf{B} 克}$	$全球{/\mathbf{B} 克}$	$G公司$ -等变同伦理论属于G-空格 $L_{we}G顶\simeq PSh\infty（Orb_G）$	$G公司$ -轨道类别 $Orb_{/\mathbf{B} 克}=Orb_G$

请参阅等变同伦理论更多参考。

上次修订时间：2024年4月15日15:01:39。请参阅历史获取所有贡献的列表。

n实验室无限作用

上下文

高等代数

代数理论

代数和模

高等代数

模型类别演示

代数形式对偶上的几何

定理

目录

想法

定义

定义

提议

定义

备注

备注

备注

备注

高等表征理论中的概念

不变式

定义

备注

共变量/商

定义

备注

共轭作用

备注

提议

证明

提议

证明

备注

同态的内部对象

备注

定义

稳定器总成

线性化

示例

集合上的离散组操作

定义

例子

提议

提议

证明

提议

证明

定义

备注

提议

提议

证明

∞\英菲-中的组操作∞\英菲-地形

微不足道的行动

定义

基本行动

伴随作用

自同构作用

定义

共轭作用

例子

备注

一般协方差

半直接产品组

G公司G公司-模块

定义

例子

切片中的操作

提议

证明

备注

行动的共同分散

提议

证明

证明

无限：的动作L（左） ∞L_\输入-代数体

属性

模型类别演示

相关概念

工具书类

$\英菲$ -中的组操作 $\英菲$ -地形

$G公司$ -模块

无限：的动作 $L_\输入$ -代数体