定义

对于$\数学{O}$一对称多范畴，写入$\mathcal{O}^\otimes\到FinSet ^{*/}$对于它操作员类别.

在这里$\数学{O}^\otimes$是类别谁的

• 物体是有限序列(元组)对象的$\数学{O}$；

• 态射$（X_1，\cdots，X_{n_1}）到（Y_1，\tots，Y_{n_2}）$由一个态射给出$\α\colon\langle n1至langle n2$在里面$FinSet（FinSet）_*$以及一系列多态

  $$\左\{\phi_j\in\mathcal{O}\left（\left\{X_i\right\}_{i\in\alpha^{-1}\left\{j\right\}}，Y_j\right）\右{1\leqj\leqn2}\,.$$

这个函子 $p\colon\mathcal{O}^\otimes\到FinSet^{*/}$是显而易见的吗遗忘函子.

定义

写入$FinSet ^{*/}$对于的类别指出 有限集合(西格尔的伽玛分类).

对于$n\in\mathbb{n}$我们写作

对于尖头集合具有$n+1$元素。

中的同态$FinSet ^{*/}$

• 被称为惰性态射如果它是一个满射，并且注射在那些未发送到基点的元素上。也就是说，每个非基点的前像是一个单点。

• 称为活动态射如果只有基点指向基点。

对于$n\in\mathbb{n}$和$1号机组$写

对于发送除$我$第个元素到基点。

请注意，对于每个$n\in\mathbb{n}$有一种独特的活动态射 $\兰格至兰格1级$.

定义

这个$（\infty，1）$-的运算符类别$（\infty，1）$-操作的是一个态射

属于准范畴使以下条件保持不变：

1. 对于每个惰性态射在里面$FinSet ^{*/}$以及每个对象在上面，有一个电梯到$第页$-余笛卡尔态射在里面$\数学{O}^\otimes$特别是，对于$f\colon\langle n1\rangle\to langle n2\rangle$惰性的，有一个诱导的（∞，1）-函子

   $$f！\结肠\数学{O}^\otimes_{langle n_1\rangle}\至\数学{O}^\otimes_{langle n_2\rangle}\,.$$

2. 惰性投影态射的余笛卡尔提升导致了导出的hom空间在里面$\数学{O}^{\otimes}$在映射到多个对象和映射到单独对象的乘积之间：

   对于$f\colon\langle n1\rangle\to langle n2\rangle$写$\mathcal{O}^\otimes_f（-，-）\hookrightarrow\mathcal}^\times（-，–）$对于的组件导出hom空间覆盖$（f）$，然后是$（\infty，1）$-函子

   $$\数学{O}^\otimes_f（C_1，C_2）\至\底集{1\leqk\leqn2}{\prod}\数学{O}^\otimes_{\rho^i\circ f}（C_1，（C_2）_i）$$

   如上所述的诱导是等效.

3. 对于每一个有限的对象集合$C_1，\cdots C_n\in\mathcal{O}^\otimes_{langle 1\rangle}$存在多对象$C\in\mathcal{O}^\otimes_{\langlen\rangle}$和一系列$第页$-余笛卡尔态射 $\｛C\到C_i\｝$覆盖$\罗^i$.

   等价（给定前两个条件）：适用于所有$n\in\mathbb{n}$这个$（\infty，1）$-函子$\{（\rho^i）_！}{1\leqi\leqn}$诱导（∞，1）-范畴的等价性

   $$\数学{O}^\otimes_{langlen\rangle}\至（\mathcal{O}^\otimes_{langle 1\rangle}）^{times^n}$$

定义

给定$（\infty，1）$-操作的$p\colon\mathcal{O}^\otimes\到FinSet^{*/}$如定义中所示。，一个同构 $（f）$在里面$\数学{O}^\otimes$被称为惰性态射如果

1. $第（f）页$是一个惰性态射在里面$FinSet ^{*/}$按定义。；

2. $（f）$是一个$第页$-余笛卡尔态射.

定义

A类（∞，1）-操作数的态射是他们之间的地图（∞，1）-算子类别结束$FinSet ^{*/}$它保留了def的惰性形态。.

定义

对于$\马查尔{O} _1个，\mathcal{O} 2个$到$（\infty，1）$-操作数，写入

为了全部子（∞，1）范畴的（∞，1）-函子（∞、1）-范畴在那些（∞，1）-操作数的态射按定义。.

定义

这个代数上双模的运算 $B模块$是有色的 对称操作数谁的

• 物体是要表示的三个元素$\马特拉克｛a｝_-，\mathfrak{一}_+$和$\马特拉克{n}$；

• 多态$（X_i）_{i=1}^n\到Y$形式

  • 如果$Y=\mathfrak{一}_-$以及所有$X_i=\mathfrak{一}_-$然后：设置线性订单属于$n个$元素；

  • 如果$Y=\mathfrak{一}_*$以及所有$X_i=\mathfrak{一}_*$再次强调：线性订单属于$n个$元素；

  • 如果$Y=\mathfrak{n}$：线性顺序集$\{i_1\lt\cdots\lti_n\}$只有一个索引$确定（_k）$具有$X_｛i_k｝=\mathfrak｛n｝$和$X_{i_j}=\mathfrak{一}_-$为所有人$j \lt k码$和$X_｛i_j｝=\mathfrak{一}_+$为所有人$千\gt千$.

• 作文由线性阶组成相联操纵词.

这个（∞，1）操作数上的（∞、1）-代数在这个上面$（\infty，1）$-operated是由两个A-∞代数带有（∞，1）-双模超过他们。

定义

（树枝状$（\infty，1）$-操作员类别）

让

是由以下成分给出的树状物体：

• $\欧米茄\hookrightarrow Op$是的函子树类别 $\欧米茄$到对称色的范畴操作的s（超过设置)将一棵树发送给由其自由生成的操作对象；

• $Op\stackrel{C_{（-）}}{\to}类别/最终集_*$发送操作的至其操作员类别；

• $分类/财务设置_*\stackrel{N}{\to}\mathcal（堆叠）{P} 操作_{（\infty，1）}$采用神经被视为标记单形集结束$N（FinSet_*）$，其标记边是操作类别中的惰性变形。

定义

（卢里的树突神经-$\英菲$-操作）

函子

发送一个标记单形集 $A至N（FinSet_*）$到树状集合它发送一个树 $T型$到的态射集合$\Ω（T）$进入之内$A类$

是树突神经属于$A类$.