n实验室（无穷大，1）-单子

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上下文

高等代数

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想法

概念 $（\infty，1）$ -单子是垂直分类的单子从上下文类别到的（∞，1）-类别.

它们与（∞，1）-附加作为单子与…有关附加词.

属性

Barr-Beck单子定理

提议

给定（∞，1）-单子 $T型$ 在上（∞，1）-范畴 $\数学{C}$ ，有一个（∞，1）-附加

（F\dashv U）\;\冒号\；Alg_{mathcal{C}}（T）\堆叠｛\overset｛F｝｛\left-rightarrow｝｝｝｛\underset｛U｝｛\long-rightarrow｝｝\数学{C}\,,

哪里 $算术｛C｝｝（T）$ 是（艾伦伯格-穆尔）（∞，1）-单子上代数的（∞、1）-范畴以及在哪里 $U型$ 是健忘函子记住潜在的对象属于 $\数学{C}$ .

这出现在(Riehl-Verity 13，定义6.1.14).

以下是对（∞，1）范畴理论经典的Barr-Beck单子定理它规定了识别（∞，1）-附加作为标准相等的到道具里的那个。，因此成为单数附加词.

定理

让 $（L \dashv R）$ 一双伴随（∞，1）-函子这样的话

$R（右）$ 是一个保守（∞，1）函子;
这个领域（∞，1）-范畴属于 $R（右）$ 承认几何实现(（∞，1）-大肠杆菌)第页，共页简单对象;
和 $R（右）$ 保存这些

然后针对 $T\coloneqq R\循环L$ 本质上是独一无二的 $（\infty，1）$ -复合内函子上的单子结构，有一个（∞，1）-范畴的等价性识别领域属于 $R（右）$ 使用（∞，1）-单子上代数的（∞、1）-范畴 $Alg_{mathcal{C}}（T）$ 结束 $T型$ 和 $R（右）$ 自身作为规范遗忘函子 $U型$ 来自道具。.

这显示为(高等代数，定理6.2.0.6，定理6.2.2.5,Riehl-Verity 13，第7节)

同伦相干

备注

安（∞，1）-附加 $（L\dashv R）\冒号\mathcal{C}\leftrightarrow\mathcal{D}$ 已由其在同伦2-范畴(Riehl-Verity 13，定理5.4.14). 这通常不是真的 $（\infty，1）$ -单子 $T\colon\mathcal{C}\to\mathcal{C}$ .按现状（∞，1）范畴中的幺半群属于自同态，它们通常具有相关性一致性数据在程度上一直在上升。然而，根据前面的陈述和单数定理，用于 $（\infty，1）$ -通过指定的给定单子（∞，1）-附加作为 $模拟电路L$ 由更少（更多）的相干数据决定(高等代数，备注6.2.0.7，支持。6.2.2.3,Riehl-Verity 13，第6页). （当然，选择 $\数学{D}$ .）这应该证明简单模型范畴-中的理论讨论(赫斯10)英寸（∞，1）范畴理论.

相关概念

高级单子血统
代数理论/劳弗尔理论/（∞，1）-代数理论
单子/2个月/学说/ $（\infty，1）$ -单子
- 幂等元（∞，1）-单子
- 模态类型理论
操作的/（∞，1）-运算器

工具书类

对…的一般处理 $（\infty，1）$ -单子（∞，1）范畴理论在中

雅各布·卢里，第3节非交换代数(数学。CT/0702299)

后来被吸收为

雅各布·卢里，第6.2节高等代数

在以下方面进行更详细的讨论准范畴和单纯形集:

艾米丽·里尔,Dominic Verity公司,同伦相干附加词与单子形式理论《数学进展》，第286卷，2016年1月2日，第802-888页(arXiv:1310.8279,doi:10.1016/j.aim.2015.09.011)

一些同伦理论(丰富)上的单子(简单的)模型类别讨论（着眼于高级单子血统)英寸

凯瑟琳·赫斯,同伦下降和编码的一般框架(arXiv/10011.556)

上次修订时间：2020年9月22日13:58:49。请参阅历史获取所有贡献的列表。