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想法

概念的概括函子范畴从范畴理论到(∞,1)-高等范畴理论.

定义

让$C类$和$D类$是（∞，1）-类别化身为准范畴.然后

是单纯集合单形集之间的态射$C类$和$D类$（在标准中sSet（设置）-丰富属于$S设置$):

中的对象$趣味（C，D）$是（∞，1）-函子从$C类$到$D类$，形态是相应的自然变换或同伦等。

关于$（\infty，1）$-其他模型中的函子$（\infty，1）$-类别请参见（∞，1）-函子.

属性

模型类别演示

射影和内射函子的全局模型结构（以及Reedy模型结构如果$C类$是一个Reedy类别)礼物 $（\infty，1）$-类别$（\infty，1）$-函子，至少在存在的情况下组合单纯形-结构上的模型密码子 模型类别.

让

• $C类$成为小的 sSet（设置）-丰富的类别;

• $A类$一组合单纯模型范畴和

  $大约$它的满的 sSet（设置）-子类别属于双振动物体;

• $[中、英]$这个sSet（设置）-富足函子范畴配备投影¹ 函子的全局模型结构、和

  $[C，A]^\circ（中文）$它已经满了sSet（设置）-子类别在双振动物体.

• $N\colon设置\text{-}分类\到设置$这个同伦相干神经.

自$\;N个$是一个右伴随它保存 产品所以我们得到了一个态射

由内部hom-辅助属于$Id\冒号[C，A]\至[C，A]$.

注意到双振动物体属于$[中、英]$是富足函子尤其是在双振动物体属于$A类$，这限制为形式的形态

其中，通过内部hom-附加，对应于态射

在这里$A ^\圈$是Kan复合体-富集的，由公理的$sSet_{Quillen}（设置{Quillen）$-丰富的模型类别等等$N（A圈）$是一个准范畴。因此，我们可以将其写成

这是Lurie（2009），提案。4.2.4.4.

以下证据是新的，还需要再次检查。

极限和结肠炎

对于$C类$普通人类别可以容纳小的限制s和上极限s、 和用于$K（K）$一小类别，的函子范畴 $函数（D，C）$具有所有小限制和大肠杆菌，这些都是按对象计算的。请参见极限与结肠炎举例。类似的说法适用于$（\infty，1）$-类别$（\infty，1）$-函子

这是(Lurie，推论5.1.2.3).

等效项

这是由于Joyal（2008），第5章，定理C(第125页).

示例

• 在普通类别之间，它复制了普通类别函子范畴.

• 自标准以来单形集上的模型结构礼物∞Grpd

  $$（sSet_{Quillen}）^\circ\simeq\infty Grpd$$

  这个简单预升模型结构（更准确、更普遍地说富集预升的模型结构)在上相反（∞，1）-范畴 $C^{op}$ 礼物这个（∞，1）-（∞、1）-预升范畴在$C类$:

  $$N（[C^{op}，sSet_{Quillen}]^\circ）\simeq Func（C^{op{，\infty Grpd）=PSh_{（\infty，1）}（C）\,.$$

相关概念

• 函子范畴

• 2-函子2-范畴

工具书类

内在定义见

• 雅各布·卢里,高等地形理论

关于模型类别模型见A.3.4。

等价定理（Prop。)原因如下：

• 安德烈·乔亚尔,拟范畴理论及其应用，讲座高等分类中的简单方法高级课程，CRM（2008）[pdf格式,pdf格式]