n实验室微线性空间(第1版)
目录
想法
传统意义上微分几何光滑的歧管可以被认为是“局部线性空间”:与向量空间 .
在更广泛的背景下综合微分几何可能存在空间s–在光滑地形 使用线条对象–比歧管更通用。虽然对他们所有人来说都有一个概念切线束 (带有这个无穷小区间),并非所有这些切线束都必须具有-线性纤维!
A类微线性空间本质上是一个对象在一个光滑地形,因此其切线束确实有-线性纤维。
事实上,这个定义比这个定义强一点,但微线性实践中的要点是,切线束光纤的线性允许将大多数常见的结构应用于微分几何到这些空间。
定义
定义
(微线性空间)
让成为光滑地形使用线条对象.对象是一个微线性空间如果用于每个图属于无穷小空间中的以及每个古柯碱 在它下面生成一个限制图表,,也在向生成极限图:.
该定义的要点是以下属性。
提议
(切线束的纤维线性)
对于每个微线性空间,的切线束 具有天然纤维-模块-结构。
结构和证明
我们首先描述切线向量的相加,然后是-然后证明这是一个模块-结构。
-
添加使用这个无穷小区间和我们有一个古柯
使得
是一个限制由Kock-Lawvere公理.自是微线性的,也是正则映射
是一个同构。使用然后我们定义纤维状加法的对角线图在中切线束 由地图给出
对于元素,这将发送两个元素在同一根光纤中连接到元件属于由地图给出.
乘法 按组件定义
.
我们检查一下,这确实是单位的、结合的和分配的…
示例
以下命题隐含了一大类示例。
提议
(微线性空间集合的封闭性)
在每个光滑地形 我们有以下内容。
-
标准线是微线性的。
-
微线性空间的集合在限制中的:
对于一限制微线性空间,同时是微线性的。
-
将空间映射到微线性空间是微线性的:对于任何微线性空间和任何空间,也包括内部hom 是微线性的。
证明
从限制s和事实内部hom-函子保留限制。(请参见极限与结肠炎举例如果你觉得不明显。)
-
根据定义
-
让是古柯的尖端无限小空间的.然后
-
具有如上所述,我们有(书面对于内部hom其他等效表示)
工具书类
上述微线性空间的概念是由于
并以这个名字进一步研究强无穷小线性
- 安德斯·科克,R.Lavendhome,强无穷小线性,应用于字符串差分和仿射连接,Cahiers de Top。25 (1984)
这类似于中给出的早期“条件(E)”,但比其更强
这显然也被称为“无穷小线性”(没有“强”)。
满足此条件的空间被称为无穷小线性空间,例如在
那本书后来的重新打印
附录D中包含上述微线性的定义。
微线性的全面讨论见