结构和证明

我们首先描述切线向量的相加，然后是$R（右）$-然后证明这是一个模块-结构。

• 添加使用$D=R | x ^2中的ε$这个无穷小区间和$D（2）=\{（\epsilon_1，\epsilen_2）\R乘以R|\epsiln_i^2=0\}$我们有一个古柯

  $$\阵列{D（2）&\左箭头&D\\\向上箭头&&\向上箭头\\D&\左箭头&{*}}$$

  使得

  $$\阵列{R^{D（2）}&\到R^D\\\向下箭头&&\向下箭头\\研发至研发}$$

  是一个限制由Kock-Lawvere公理.自$X（X）$是微线性的，也是正则映射

  $$r:X^{D（2）}\到X^D\时间_X^D$$

  是一个同构。使用$\Id\次Id:D\到D（2）$然后我们定义纤维状加法的对角线图$X^D\times_X X^D\到X^D$在中切线束 $X ^D（X ^D）$由地图给出

  $$+：X^D\times_XX^D\stackrel{r^{-1}}{\to}X^{D（2）}\stackrel{X^{Id\times-Id}}{\t到}X ^D（X ^D）\,.$$

  对于元素，这将发送两个元素$X^D中的v_1、v_2$在同一根光纤中连接到元件$v_1+v_2$属于$X ^D（X ^D）$由地图给出$（v_1+v_2）：d\mapstor^{-1}（v_1，v_2）（d，d）$.

  乘法 $\cdot:R\次X^D\到X^D$按组件定义

  $\cdot（\alpha，v）：d\mapsto（v（\alpha\cdot d））$.

我们检查一下，这确实是单位的、结合的和分配的…

证明

从限制s和事实内部hom-函子$（-）^Y:\mathcal{T}\to\mathcal{T}$保留限制。（请参见极限与结肠炎举例如果你觉得不明显。）

1. 根据定义

2. 让$\三角洲$是古柯的尖端$\增量（_j）$无限小空间的$\lim_j R^{\Delta_j}=R^\Delta$.然后

   $$\开始{对齐}X^{\Delta}&=（\lim_i X_i）^\增量\\&\simeq\lim_i X_i^{\增量}\\&\simeq\lim_2\lim_j X_i^{\Delta_j}\\&\simeq\lim_j\lim_i X_i^{\Delta_j}\\&\simeq\lim_j X^{\Delta_j}\结束{对齐}$$

3. 具有$\三角洲$如上所述，我们有（书面$[甲，乙]$对于内部hom其他等效表示$B^A公司$)

   $$\开始{对齐}[\Delta，[\Sigma，X]]和\simeq[\Delta\ times\Sigma、X]\\ &\simeq[\Sigma，[\Delta，X]]\\&\simeq[\Sigma，\lim_j[\Delta_j，X]]\\&\simeq\lim_j[\Sigma，[\Delta_j，X]]\\&\simeq\lim_j[\Delta_j，[\Sigma，X]]\结束{对齐}$$

证明

这个对于是这个陈述属于$\数学{F}$和$\数学{G}$这是关于MSIA第五章第7.1节.