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多级方程式

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A类（k，l）-多级方程式是丢番图方程 属于表格

sum_（i=1）^ln_i^j=总和_（i=1）^lm_i^j
(1)

对于j=1,...,k个,哪里米和n个是我-向量。如果常量为添加到的每个元素米和n个（Madachy 1979），所以多级总是可以放在一种形式中其中向量之一的最小分量为1。

Moessner和Gloden（1944）给出了一组多级方程。小阶示例为（2，3）-多级m={1,6,8}和n={2,4,9}:

总和_（i=1）^（3）m_i^1=总和_（i=1）^（3）n_i^1=15
(2)
总和_（i=1）^（3）m_i^2=sum_（i=1）^（3）n_，
(3)

（3，4）-多级m={1,5,8,12}和n={2,3,10,11}:

总和_（i=1）^（4）m_i^1=总和_（i=1）^（4）n_i^1=26
(4)
总和_（i=1）^（4）m_i^2=总和（i=1）^（4）n_i^2=234
(5)
总和_（i=1）^（4）m_i^3=总和_（i=1）^（4）n_i^3=2366，
(6)

和（4，6）-多级m={1,5,8,12,18,19}和n={2,3,9,13,16,20}:

总和_（i=1）^（6）m_i^1=sum_（i=1）^（6）n_i^1=63
(7)
总和_（i=1）^（6）m_i^2=总和（i=1）^（6）n_i^2=919
(8)
总和_（i=1）^（6）m_i^3=sum_（i=1）^（6）n_i^3=15057
(9)
总和_（i=1）^（6）m_i^4=总和_（i=1）^（6）n_i^4=260755
(10)

（Madachy 1979）。

一个壮观的例子k=9和l=10由提供n={+/-12，+/-11881，+/-20231，+/-20885，+/-23738}和m={+/-436，+/-11857，+/-20449，+/-20667，+/-23750}（盖伊1994），其中有个总数

总和_（i=1）^（9）m_i^1=sum_（i=1）^（9）n_i^1=0
(11)
总和_（i=1）^（9）m_i^2=总和_（i=1）^（9）n_i^2=3100255070
(12)
总和_（i=1）^（9）m_i^3=sum_（i=1）^（9）n_i^3=0
(13)
总和_（i=1）^（9）m_i^4=总和_（i=1）^（9）n_i^4=1390452894778220678
(14)
总和_（i=1）^（9）m_i^5=sum_（i=1）^（9）n_i^5=0
(15)
sum_（i=1）^（9）m_i^6=总和_（i=1）^（9）n_i^6=666573454337853049941719510
(16)
总和_（i=1）^（9）m_i^7=sum_（i=1）^（9）n_i^7=0
(17)
总和_（i=1）^（9）m_i^8=总和_（i=1）^（9）n_i^8=330958142560259813821203262692838598
(18)
总和_（i=1）^（9）m_i^9=sum_（i=1）^（9）n_i^9=0。
(19)

里维拉考虑涉及素数、连续素数等的多级方程。

与拉马努扬形式的四次幂恒等式类似的多级恒等式

a_1^4+a_2^4+a_3^4=2a_4^m
(20)

也可以表示第三方和第五方，前者是

（a^2+ab）^r+（a^2-ab）^r+（b^2+ab）^r=2（p^2+q^2）^（kr）
(21)

具有r=1,2，3，对于任何正整数k个，以及其中

一=1/2[（p-qi）^k+（p+qi）*k]
(22)
b条=1/2i[（p-qi）^k-（p+qi）*k]
(23)

第五次方

[（a+c）^n+（b+c）|n+（a+b+c
(24)

对于n=1,3，5，任意正整数小时，以及其中

一=（ω（p-ω）^（2h）-（p-Ω^2）^
(25)
b条=（（p-ω）^（2h）-（p-Ω^2）^
(26)
c（c）=1/2（p^2+pq+q^2）^h
(27)

具有欧米茄一个综合体多维数据集根团结一致一和b条对于这两种情况，任意理性都是合理的第页和q个.

作为二元二次型的多级和积恒等式也存在于三次、四次、五次幂。这是下面的第二对。

对于第三方可4.4,

（ax+v_1y）^k+（bx-v_1y=（ax-v_1y）^k+（bx+v_1y（ax^2-v_1xy+bwy^2）^k+（bx^2+v_1xy+awy^2=（a^k+b^k+c^k+d^k）（x^2+wy^2）^k
(28)

对于k=1,三，（v_1，v_2）=（c^2-d^2，a^2-b^2）,和w=（a+b）或（c+d）用于任意一,b条,c（c）,d日,x个,和年.

对于四次幂可3.3,

（ax+v_1y）^k+（bx-v_2y）^k+（cx-v_3y）^k=（ax-v_1y）^k+（bx+v_2y）^k+（cx+v_3y）^k+（ax^2+2v_1xy-3ay^2）^k+（bx^2-2v_2xy-3by^2）
(29)

对于k=2,4,（v1，v2，v3，c）=（a+2b，2a+b，a-b，a+b）,用于任意一,b条,x个,年.

对于五次方k.6.6节,

（a_1x+v_1y）^k+（a_2x-v_2y）^k+（a_3x+v_3y）^k+（a_4x-v_3y=（a_1x-v_1y）^k+（a_2x+v_2y）^k+（a_3x-v_3y）^k+（a_4x+v_3y=（a_1x^2+2v_1xy+3a\u6y^2）^k+（a_2x^2-2v_2xy+3a\u5y^2）^k+（a_3x^2+2v_3xy+3a\u4y^2）^k+（a_4x^2-2v_3xy+3a\u3y^2）^k+（a_5x^2+2v_2xy+3a\u2y^2）^k+（a_6x^2-2v_1xy+3a\u1y^2）^k=（a_1^k+a_2^k+a_3^k+a_4^k+a_5^k+a _6^k）（x^2+3y^2）^k
(30)

对于k=1,2, 3, 4, 5,（a1、a2、a3、a4、a5、a6）=（a+c、b+c、-a-b+c、a+b+c，-b+c，-a+c）,（v1，v2，v3）=（a+2b，2a+b，a-b）（两者相同v_i四次方）任意一,b条,c（c）,x个,年还有一个是七次幂平方米（2）.

对于七次幂k.8.8号机组,

（a_1x+v_1y）^k+（a_2x+v_2y）^k+（a_3x+v_3y）^k+（a_4x+v_4y）^k+（a5x-v4y）^k+（a6x-v3y）^k+（a7x-v2y）^k+（a8x-v1y）^k=（a_1x-v_1y）^k+（a_2x-v_2y）^k+（a_3x-v_3y）^k+（a_4x-v_4y）^k+（a5x+v4y）^k+（a6x+v3y）^k+（a7x+v2y）^k+（a8x+v1y）^k+（a_1x^2+v_1xy+a_8y^2）^k+（a_2x^2+v_2xy+a7y^2+（a_3x^2+v_3xy+a_6y^2）^k+（a_4x^2+v_4xy+a_5y^2+（a_5x^2-v_4xy+a_4y^2）^k+（a_6x^2-v_3xy+a_3y^2+（a_7x^2-v_2xy+a_2y^2）^k+（a_8x^2-v_1xy+a_1y^2=（a_1^k+a_2^k+a_3^k+a_4^k+a_5^k+a _6^k+a _7^k+a _8^k）（x^2+y ^2）^k
(31)

对于k=1至7，（a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8）=,（v1，v2，v3，v4）=（2sqrt（2）b，-2sqrt，（2）a，-2（a+b），2（a-b））,对于任意的，一,b条,c（c）,x个,年（Piezas 2006）。

存在多级五参数二次型恒等式可4.4具有k=1, 2, 3, 5. 给定任意变量一,b条,c（c）,x个,年并定义u=a^2-b^2和v=b^2-c^2，然后

[（-a+b+c）x^2+2（cu-bv）xy-（a+b+c）uvy^2]^k+[（a-b+c+c）x^2+2（-bu+av）xy+
(32)

对于k=1,2，3，5（T.Piezas，pers.comm.，2006年4月27日）。

Chernick（1937）给出了多级二进制二次型参数化可4.4对于k=2，4，6由给出

（5m^2+9mn+10n^2）^k+（m^2-13mn-6n^2）^k+（7m^2-5mn-8n^2）^k+（9m^2+7mn-4n^2）^k=（9m^2+5mn+4n^2）^k+（m^2+15mn+8n^2，
(33)

一个依赖于求解的方程4a^2+ab+b^2=7c^2.

Sinha（1966ab）对可5.5对于k=1，3，5，7由给出

（-7m^2+62mn-30n^2）^k+（7m^2+38mn-50n^2=（-9m^2+66mn-42n^2）^k+（5m^2+42mn-62n^2
(34)

这取决于解决系统a_1^j+a_2^j+a_3^j=b_1^j+b2^j+b_3^j对于j=2和4，带有a_i和BI公司满足某些其他条件。

Sinha（1966ab）使用Letac的结果，也对可5.5对于k=1,2、4、6、8由

（a-r）^k+（a+r）^k+（3b-t）^k=（3b+t）^k+（4a）^k=（b-t）^k+（b+t）^k+（3a-r）^k=（3a+r）^k=（4b）^k，
(35)

哪里a^2+12b^2=r^2和12a^2+b^2=t^2.一个重要的解决方案可以通过a=109,b=11869/2Sinha和Smyth在1990年证明无穷多个不同的非平凡解。

另请参见

丢番图方程,Prouhet-Carry-Escott问题

本条目的部分内容由蒂托皮埃萨斯三世

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

Chernick，J.“Tarry-Escott问题的理想解”阿默尔。数学。每月 44, 62600633, 1937.A.格洛登。梅赫杰拉迪格格莱春根。荷兰格罗宁根：诺德霍夫，1944年。A.格洛登。“苏拉多级A_1类,A_2,A_3类,A_4类,A_5=^kB_1,B_2号,B_3号,B_4号机组,B_5号机组(k=1, 3, 5, 7)."修订版欧几里德 8, 383-384,1948盖伊，R.K。未解决数论问题，第二版。纽约：Springer-Verlag出版社，第143页，1994Kraitchik，M.“多级”第3.10节数学娱乐。纽约：W.W。诺顿，第79页，1942年。马达西，J.S.公司。马达西的数学娱乐。纽约：多佛，第171-173页，1979年。莫斯纳，A.和Gloden，A.“Einige Zahlentheoretische Untersuchungen und Resultate”牛市。科学。埃科尔理工学院。蒂米索拉 11, 196-219, 1944.馅饼，T.“拉马努扬和第五权力身份。”http://www.geocities.com/titus_piezas/Ramweth.html.馅饼，T.“二元二次型为等幂和。”http://www.geocities.com/titus_piezas/Binary_quad.html.里维拉，C.“问题与困惑：困惑065-多级关系。”http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_065.htm.辛哈，关于Tarry-Escott问题阿默尔。数学。每月 73,280-2851966a之间。Sinha，T.“一些丢番图方程组Tarry-Escott类型。"J.印度数学。Soc公司。 30，1966b年15月25日。

引用的关于Wolfram | Alpha

多级方程式

引用如下：

提托三世（Tito III Piezas）和埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“多级方程式”，摘自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/MultigradeEquation.html

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