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汉克尔变换

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汉克尔变换（零阶）是一种积分变换，相当于二维傅里叶变换径向对称积分核也叫Fourier-Bessel转换。其定义为

g（u，v）=F_r[F（r）]（u，v）
(1)
=int_（-infty）^inftyint_（-inty）^infcyf（r）e^（-2pii（ux+vy））dxdy。
(2)

让

x+iy=回复（itheta）
(3)
u+iv型=qe^（iphi）
(4)

以便

x个=罗卡斯塔
(5)
年=rsintheta公司
(6)
第页=平方（x^2+y^2）
(7)
u个=qcosphi公司
(8)
v（v）=克辛菲
(9)
q个=平方码（u^2+v^2）。
(10)

然后

克（q）=int_0^inftyint_0^（2pi）f（r）e^（-2piirq（cosphicostheta+sinphisintheta））rdrdtheta
(11)
=int_0^inftyint_0^（2pi）f（r）e^（-2piirqcos（theta-phi））rdrdtheta
(12)
=int_0^inftyint_（-phi）^（2pi-phi”）f（r）e^（-2piirqcostheta）rdrdtheta
(13)
=int_0^inftyint_0^（2pi）f（r）e^（-2piirqcostheta）rdrdtheta
(14)
=int_0^inftyf（r）[int_0^（2pi）e^（-2piirqcostheta）数据集]rdr
(15)
=2piint_0^inftyf（r）J_0（2piqr）rdr，
(16)

哪里J_0（z）是零阶贝塞尔函数第一种.

因此，Hankel变换对是

克（q）=2piint_0^inftyf（r）J_0（2piqr）rdr
(17)
f（r）=2piint_0^输入（q）J_0（2piqr）qdq。
(18)

在Wolfram语言作为汉克尔变换[快递,第页,秒]和逆Hankel变换[快递,秒,第页]分别是。

下表给出了一些常见函数的Hankel变换（Bracewell 1999，第249页）。在这里，J_n（x）是一个贝塞尔第一类函数和Pi_a（右）是一个矩形函数等于10<=r<=a否则为0，以及

M（x）=2pi[x^（-3）int_0^xJ_0（x）dx-x^
(19)
=（π^2）/（x^2）[J_1（x）H_0（x，
(20)

哪里J_n（x）是一个第一类贝塞尔函数,H_n（x）是一个斯特鲁夫功能和L_n（x）是一个修改的Struve函数.

f（r）克（q）
Pi_a（r）（aJ_1（2piaq））/q
（sin（2 iar））/r（Pi（q/（2a））/（平方（a^2-q^2））
1/2三角形（r-a）piaJ_0（2piaq）
M（年）λ（q/（2a））
e^（-pir^2）e^（-piq^2）
（a^2+r^2）^（-1/2）（e^（-2piaq））/q
（a^2+r^2）^（-3/2）（2pie^（-2piaq））/a
1/（a^2+r^2）2piK_0（2piaq）
（2a^2）/（（a^2+r^2）^2）4pi^2aqK_1（2piaq）
（4a^4）/（（a^2+r^2）^3）4pi^3a^2q^2K_2（2piaq）
（a^2-r^2）Pi_a（r）（a^2）/（piq^2）J_2（2piaq）
1个/小时1/季度
电子^（-ar）（2pia）/（（a^2+4pi^2q^2）^（3/2））
（e ^（-ar））/r（2pi）/（平方（a^2+4pi^2q^2））
（δ（r））/（2pir）1
r^2e^（-pir^2）（e^（-piq^2）（1-piq^2
-r^2F（r）（（d^2F）/（dq^2）+1/q（dF）/

秩序的汉克尔变换n个由定义

H_n（f（t））=int_0^inftytJ_n（phit）f（t
(21)

（布朗什坦等。2004年，第706页）。

还可以为整数序列定义不同类型的Hankel变换（Layman 2001）。

另请参见

第一类贝塞尔函数,傅里叶变换,拉普拉斯转换

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阿夫肯，G。物理学家数学方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第795页，1985Bracewell，R.“汉克尔变换”这个傅里叶变换及其应用，第三版。纽约：McGraw-Hill，第244-250页，1999Bronshtein，I.N。；Semendyayev，K.A。；穆索尔，G。；和穆利格，H。手册数学，第四版。纽约：Springer-Verlag，第705-706页，2004年。外行，J·W·。“汉克尔变换及其一些属性。”J.整数序列 42001年第01.1.5号。http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL4/LAYMAN/hankel.Oberhettinger，F、。桌子贝塞尔变换。纽约：施普林格-弗拉格出版社，1972年。桑科，S.G。；基尔巴斯，A.A。；和O.I.Marichev。分数的积分和导数。伊弗登，瑞士：戈登和布雷奇，第23页，1993

参考Wolfram | Alpha

汉克尔变换

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“汉克尔变换。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/HankelTransform.html

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