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Forier-Legendre系列

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因为勒让德多项式表格a完全正交系在间隔期间[-1,1]关于加权函数 w（x）=1,任何功能 f（x）可以将其扩展为

f（x）=sum_（n=0）^inftya_nP_n（x）。
(1)

获取系数a_n（名词）在展开中，将两边乘以mm（x）（_m）和集成

int_（-1）^1P_m（x）f（x）dx=sum_（n=0）^inftya_nint_（-1^1P_n（x）P_m。
(2)

但勒让德多项式遵循正交关系

int_（-1）^1P_n（x）P_m（x）dx=2/（2m+1）增量_（mn），
(3)

哪里增量（mn）是克罗内克三角洲，所以

整数_（-1）^1P_m（x）f（x）dx=总和（n=0）^（infty）a_n2/（2m+1）增量（mn）
(4)
=2/（2m+1）a_m
(5)

和

a_m=（2m+1）/2int_（-1）^1P_m（x）f（x）dx。
(6)

例如，对于f（x）=sin（pix），Fourier-Legendre系列的前几个术语是

f（x）=3/piP_1（x）+（7（pi^2-15））/（pi^3）P_3（x。。。。
(7)

另请参见

Fourier-Bessel系列,傅里叶级数,广义傅里叶级数,杰克逊定理,拉普拉斯系列,勒让德多项式,Picone的定理

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Kaplan，W.“Fourier-Legendre系列”，第7.14节高级微积分，第4版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，第508-512页，1992年。

引用的关于Wolfram | Alpha

Forier-Legendre系列

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Fourier-Legendre系列。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Fourier-LegendreSeries.html

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