群论中的5/8界

Question

这个群体通勤中两个随机元素的概率是组的共轭类数

$$\压裂{{（g，h）：ghg^{-1}小时^{-1}=1\}}{|G|^2}=\压裂{c（G）}{|G|}$$

如果这个数字超过5/8，那么这个群就是阿贝尔群（我忘了是哪些群实现了这个界限）。

这一事实有没有特征理论证明？这个结果的概括是什么。。。也许这是关于半单代数而不是群的结果？

Answer 1

如果$c（G）>5|G|/8$，则平均字符的维数平方小于$8/5$，因此至少$4/5$的字符是维数$1$（因为下一个最小的维数平方是$4$），因此每个一维字符都有一个元素的abelinization是组大小的一半以上，所以换向器子群的大小小于$2$，所以是微不足道的。

Answer 2

Guralnick和Wilson给出了一个很好的概括，生成有限可解群的概率.结果：

1） 如果$G$的两个随机选择的元素生成可解群的概率大于$\frac｛11｝｛30｝$，则$G$本身是可解的，

2） 如果$G$的两个随机选择的元素生成幂零群大于$\frac{1}{2}$，则$G$为幂零，

3） 如果$G$的两个随机选择的元素生成一组奇数顺序的概率大于$\frac{11}{30}$，则$G$本身具有奇数顺序。

有趣的是，这些概率是最有可能的。还要注意基本的McHale文章关于交换性的概率。

Answer 3

使用特征理论的一个基本结果是，如果$\{\chi_1，\chi_2，\ldots，\chi_c\}$是$G$的复杂不可约字符，其中$c=c（G）$是$G的共轭类的数目，然后由Cauchy-Schwarz得到$\sum_{i=1}^{c}\chi_i（1）\leq\sqrt{c}\sqrt}{|G|}$，因此$\frac{c（G ^{c}\chi_i（1）}{|G|}\right）^{2}.$。