热带格拉斯曼G′_2,7单形复数的“面”数？

Question

在Bernd Sturmfels一篇文章的摘录中，我发现：

定理5.5。热带格拉斯曼星系是一个简单的复合体，称为系统发育树空间。。。。它由$T_n$表示，定义如下。顶点集由所有无序对$\left\{A，B\right\}$组成，其中$A$和$B$是$\left[n\right]：=\left\{1,2，…，n\right\}$的不相交子集，其基数至少为2，$A\cup B=\left[n\right]$。这种对称为分裂。分割数为$2^{n−1}−n−1$。两个分割$\left\{A，B\right\}$和$\left \{A^{'}，B^{'{right\{}$由简单复数$T_n$中的边连接当且仅当

（5） $A\sqsubsetq{A}“$或$A\squesteq{B}”$或$B\sqsubesteq{A{“$或者$B\squesteq{B}'$。

我们将$T_n$定义为具有此边图的最大单形复数。。。。在代数组合学语言中，$T_n$是（5）在所有$2^{n−1}−n−1$分裂集上指定的兼容性图的标志复数。

示例5.6。（$n=6$）二维单纯形复数$T_6$有$25$个顶点、$105$个边和$105$s个三角形。。。

问题：564901260945$是$T_7$的“面值”数字吗？

Answer 1

你有正确的数字$\mathrm{Trop}\G（2，n）$是在比勒拉·霍姆斯-沃格曼。它有$1\乘3\乘5\乘cdots\乘（2n-5）$maximum面和$2^{n-1}-n-1$顶点，与您的$945$和$56$匹配。

前几个面部数字是$$\开始{矩阵}1 & & & & \\1 & 3 & & & \\1 & 10 & 15 & & \\1和25&105和105&\\1 & 56 & 490 & 1260 & 945 \\\结束{矩阵}$$

写$f（n，k）$表示$\mathrm{Trop}\G（2，n）$中$k$个面的数量，我们有$$f（n，k）=（k+1）f（n-1，k）+（n+k-2）f（n-1，k-1）$$我很容易出错，所以请对照上表进行检查。

对于小的固定$r$，很容易得到$f（n，r）$或$f（n，n-r）$的闭合公式，但似乎没有简单的中间项表达式。Billera-Holmes-Vogtman表示，以下练习5.40中有更多讨论枚举组合数学I斯坦利；我没有带复印件来检查。